2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как правильно доказывать равенства в теории множеств?
Сообщение08.02.2015, 12:29 


08/02/15
7
Например, следующие:

1) $A \cup B = B$
2) $A \cap B = A$,

верны тогда и только тогда, когда $A \subset B$.

Я написал две попытки доказательства.
Первая:
От обратного. Пусть $B \subset A$, тогда $A =B \cup (A \setminus B)$

1)
$B \cup (A \setminus B) \cup B = B $
$B \cup (A \setminus B) = B $, противоречие.

2)
$(B \cup (A \setminus B)) \cap B = B \cup (A \setminus B)$
$(B \cap B) \cup (B \cap (A \setminus B)) \cap B = B \cup (A \setminus B)$
$(B \cup \varnothing) \cap B = B \cup (A \setminus B)$
$B \cap B = B \cup (A \setminus B)$
$B = B \cup (A \setminus B)$, противоречие.

Второй способ доказательства:
1)
$A \cup B = B$
Пусть $x \in (A \cup B)  \Rightarrow  x \in A $ или $ x \in B $
Так как $A \subset B$ , то x всегда принадлежит B.

2)
$A \cap B = A$
Пусть $x \in (A \cap B) \Rightarrow x \in A $ и $  x \in B$
Чтобы выполнялись оба условия, необходимо, чтобы $A \subset B$

Какой из этих способов логичнее и правильнее, или как вообще нужно доказывать подобные равенства?
С помощью этих способов, у меня не получается доказать, что

$A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup C$ верно тогда и только тогда, когда $A \supset C$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.02.2015, 12:46 
Модератор


20/03/14
8218
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Каждая формула должна: 1) начинаться со знака доллара, 2) заканчиваться им, 3) не содержать ни одного доллара внутри.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.02.2015, 19:15 
Модератор


20/03/14
8218
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Как правильно доказывать равенства в теории множеств?
Сообщение08.02.2015, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3883
МФТИ ФУПМ
Fichtenholz в сообщении #975364 писал(а):
верны тогда и только тогда, когда $A \subset B$.
...
От обратного. Пусть $B \subset A$,

:?: Чиво?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как правильно доказывать равенства в теории множеств?
Сообщение08.02.2015, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Fichtenholz в сообщении #975364 писал(а):
$B \subset A$.
Может, это в каком-то смысле и можно назвать "обратным" к доказываемому утверждению.
Только доказывают обычно "от противного" (то есть от противоположного)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как правильно доказывать равенства в теории множеств?
Сообщение08.02.2015, 20:15 


08/02/15
7
Тогда как правильно доказывать?
Как строится доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как правильно доказывать равенства в теории множеств?
Сообщение08.02.2015, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Как правильно обратить? Ну, тут всё просто: $\neg(A\subset B)$ (это даже записывают подчас $A\not\subset B$). Можете перевести это «в элементы»:$$\neg(\forall x.\; x\in A\Rightarrow x\in B) \Leftrightarrow \exists x.\;\neg(x\in A\Rightarrow x\in B)\Leftrightarrow \exists x.\; x\in A\wedge x\notin B.$$Это чистейшая алгебра предикатов, ничего кроме. После этого можно свернуть по желанию: $A\setminus B\ne\varnothing$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как правильно доказывать равенства в теории множеств?
Сообщение08.02.2015, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Fichtenholz
А вам как надо -- формально, как у arseniiv, или просто на словах? Если на словах,
(1) скажите, какие элементы входят в $A\cup B$, и в каком случае это будут только элементы из $B$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как правильно доказывать равенства в теории множеств?
Сообщение08.02.2015, 20:37 


08/02/15
7
В книге просто написано доказать, и я не знаю, что является достаточным доказательством. Я могу просто нарисовать кружки-диаграммы, и они выглядят для меня достаточно убедительными, но это не доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как правильно доказывать равенства в теории множеств?
Сообщение08.02.2015, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Fichtenholz в сообщении #975537 писал(а):
В книге просто написано доказать, и я не знаю, что является достаточным доказательством.
Посмотрите на то, как определяются в той же книге сами понятия подмножества, пересечения… Это будет потолком строгости, который, скорее всего, предполагали авторы. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как правильно доказывать равенства в теории множеств?
Сообщение08.02.2015, 22:49 
Аватара пользователя


01/12/06
533
Определение 1. $X\subseteq Y\ :=\ \forall x(x\in X\to x\in Y)$.
Определение 2. $X\cup Y\ :=\ \{x\mid x\in X\vee x\in Y\}$.
Логическая теорема 1. Для любых предложений $p,\ q$, $p\vee q\leftrightarrow\neg p\to q$.
Логическая теорема 2. Для любых предложений $p,\ q$, $p\wedge \neg p\to q.$
Использую также правила $\to$-введение и $\forall$-введение.

Доказать, что $\forall A\forall B(A\subseteq A\cup B)$.

Пусть $A, B$ - произвольные множества. Надо доказать, что $A\subseteq A\cup B$. Пользуюсь определением 1: пусть $x\in A$ - призвольный. Надо доказать, что $x\in A\cup B$. По определению 2, надо доказать, что $x\in A\vee x\in B$. По логической теореме 1, надо доказать, что $x\notin A\to x\in B$. Пусть $x\notin A$. По логической теореме 2, $x\in B$. Итак, доказано $x\notin A \to x\in B$. Следовательно, по логической теореме 1, доказано $x\in A\vee x\in B$. Доказано $x\in A\to x\in A\vee x\in B$. Так как $x$ - произвольный, то доказано $\forall x(x\in A\to x\in A\vee x\in B)$. Коротко: $A\subseteq A\cup B$ (понятно, для любых $A,\ B$).

Это утверждение пригодится для доказательства Ваших утверждений. Только не ссылайтесь на то, что я написал. Это утверждение следует из логической теоремы $p\to p\vee q$.

У Вас в т-н доказательсве редко встречаются символы "$\wedge$" "$\vee$", "$\to$", и очень часто "$\subset$", "$\cup$". Делаете наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как правильно доказывать равенства в теории множеств?
Сообщение09.02.2015, 02:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1211
Самара
Удобно через характеристические функции множеств.
Например, первое
$$
A\cup B=B\quad\Leftrightarrow\quad\chi_A+\chi_B-\chi_A \chi_B=\chi_B\quad\Leftrightarrow\quad\chi_A=\chi_A \chi_B\quad
\Leftrightarrow\quad\chi_A\leqslant\chi_B\quad\Leftrightarrow\quad A\subseteq B
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group