Как правильно доказывать равенства в теории множеств?

[Fichtenholz]

Например, следующие:

1) $A \cup B = B$
2) $A \cap B = A$,

верны тогда и только тогда, когда $A \subset B$.

Я написал две попытки доказательства.
Первая:
От обратного. Пусть $B \subset A$, тогда $A =B \cup (A \setminus B)$

1)
$B \cup (A \setminus B) \cup B = B $
$B \cup (A \setminus B) = B $, противоречие.

2)
$(B \cup (A \setminus B)) \cap B = B \cup (A \setminus B)$
$(B \cap B) \cup (B \cap (A \setminus B)) \cap B = B \cup (A \setminus B)$
$(B \cup \varnothing) \cap B = B \cup (A \setminus B)$
$B \cap B = B \cup (A \setminus B)$
$B = B \cup (A \setminus B)$, противоречие.

Второй способ доказательства:
1)
$A \cup B = B$
Пусть $x \in (A \cup B) \Rightarrow x \in A $ или $ x \in B $
Так как $A \subset B$ , то x всегда принадлежит B.

2)
$A \cap B = A$
Пусть $x \in (A \cap B) \Rightarrow x \in A $ и $ x \in B$
Чтобы выполнялись оба условия, необходимо, чтобы $A \subset B$

Какой из этих способов логичнее и правильнее, или как вообще нужно доказывать подобные равенства?
С помощью этих способов, у меня не получается доказать, что

$A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup C$ верно тогда и только тогда, когда $A \supset C$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Каждая формула должна: 1) начинаться со знака доллара, 2) заканчиваться им, 3) не содержать ни одного доллара внутри.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Nemiroff]

Fichtenholz в сообщении #975364 писал(а):

верны тогда и только тогда, когда $A \subset B$.
...
От обратного. Пусть $B \subset A$,

Чиво?

[provincialka]

Fichtenholz в сообщении #975364 писал(а):

$B \subset A$.

Может, это в каком-то смысле и можно назвать "обратным" к доказываемому утверждению.
Только доказывают обычно "от противного" (то есть от противоположного)

[Fichtenholz]

Тогда как правильно доказывать?
Как строится доказательство?

[arseniiv]

Как правильно обратить? Ну, тут всё просто: $\neg(A\subset B)$ (это даже записывают подчас $A\not\subset B$). Можете перевести это «в элементы»:

$$\neg(\forall x.\; x\in A\Rightarrow x\in B) \Leftrightarrow \exists x.\;\neg(x\in A\Rightarrow x\in B)\Leftrightarrow \exists x.\; x\in A\wedge x\notin B.$$

Это чистейшая алгебра предикатов, ничего кроме. После этого можно свернуть по желанию: $A\setminus B\ne\varnothing$.

[provincialka]

Fichtenholz
А вам как надо -- формально, как у arseniiv, или просто на словах? Если на словах,
(1) скажите, какие элементы входят в $A\cup B$, и в каком случае это будут только элементы из $B$?

[Fichtenholz]

В книге просто написано доказать, и я не знаю, что является достаточным доказательством. Я могу просто нарисовать кружки-диаграммы, и они выглядят для меня достаточно убедительными, но это не доказательство.

[arseniiv]

Fichtenholz в сообщении #975537 писал(а):

В книге просто написано доказать, и я не знаю, что является достаточным доказательством.

Посмотрите на то, как определяются в той же книге сами понятия подмножества, пересечения… Это будет потолком строгости, который, скорее всего, предполагали авторы.

[gefest_md]

Определение 1. $X\subseteq Y\ :=\ \forall x(x\in X\to x\in Y)$.
Определение 2. $X\cup Y\ :=\ \{x\mid x\in X\vee x\in Y\}$.
Логическая теорема 1. Для любых предложений $p,\ q$, $p\vee q\leftrightarrow\neg p\to q$.
Логическая теорема 2. Для любых предложений $p,\ q$, $p\wedge \neg p\to q.$
Использую также правила $\to$-введение и $\forall$-введение.

Доказать, что $\forall A\forall B(A\subseteq A\cup B)$.

Пусть $A, B$ - произвольные множества. Надо доказать, что $A\subseteq A\cup B$. Пользуюсь определением 1: пусть $x\in A$ - призвольный. Надо доказать, что $x\in A\cup B$. По определению 2, надо доказать, что $x\in A\vee x\in B$. По логической теореме 1, надо доказать, что $x\notin A\to x\in B$. Пусть $x\notin A$. По логической теореме 2, $x\in B$. Итак, доказано $x\notin A \to x\in B$. Следовательно, по логической теореме 1, доказано $x\in A\vee x\in B$. Доказано $x\in A\to x\in A\vee x\in B$. Так как $x$ - произвольный, то доказано $\forall x(x\in A\to x\in A\vee x\in B)$. Коротко: $A\subseteq A\cup B$ (понятно, для любых $A,\ B$).

Это утверждение пригодится для доказательства Ваших утверждений. Только не ссылайтесь на то, что я написал. Это утверждение следует из логической теоремы $p\to p\vee q$.

У Вас в т-н доказательсве редко встречаются символы "$\wedge$" "$\vee$", "$\to$", и очень часто "$\subset$", "$\cup$". Делаете наоборот.

[Henrylee]

Удобно через характеристические функции множеств.
Например, первое

$$ A\cup B=B\quad\Leftrightarrow\quad\chi_A+\chi_B-\chi_A \chi_B=\chi_B\quad\Leftrightarrow\quad\chi_A=\chi_A \chi_B\quad \Leftrightarrow\quad\chi_A\leqslant\chi_B\quad\Leftrightarrow\quad A\subseteq B $$