Стереометрия. Сканави. 11.113

[Charlz_Klug]

Условие:
В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на плоскость основания равна $5$ дециметров, а высота равна $12$ дециметров. Сечение, перпендикулярное боковому ребру, есть ромб с площадью $24$ квадратных дециметра и диагональю, равной $8$ дециметров. Найти боковую поверхность и объём параллелепипеда.

Ответ: $260$ квадратных дециметров и $312$ кубических дециметров.

Моё решение:
Как я вижу фигуру: Здесь $KD \perp AB$, $KD \perp CD$, $MG \perp HE$, $MG \perp FG$, $KM \perp AB$, $KM \perp HE$, $ABEH$ и $DCFG$ - прямоугольники. $ABCD$ и $HEFG$ - параллелограммы. $KMGD$ - ромб, правда на моём чертеже это не очевидно. Из условия задачи $AL=5$ дециметров, $BL=12$ дециметров, $S_{KMGD} = 24$ квадратных дециметра и $MD=8$ дециметров. $S_{KMGD} = 2 \cdot MO \cdot OG \Rightarrow 2 \cdot MO \cdot OG = 24 \Rightarrow MO \cdot OG = 12$ квадратных дециметра. Поскольку $MO = \frac{MD}{2}$, то $MO \cdot OG = 12 \Rightarrow 4 \cdot OG = 12 \Rightarrow OG = 3$ дециметра. $MG = \sqrt{MO^2 + OG^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ дециметров; $KM = 5$ дециметров. $AB = \sqrt{BL^2 + AL^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ дециметров. $\sin{\angle DAB} = \frac{BL}{AB} = \frac{12}{13}$; $\frac{AD}{\sin{\angle DKA}} = \frac{KD}{\sin{\angle DAK}} \Rightarrow \frac{AD}{\sin{\frac{\pi}{2}}} = \frac{5}{\frac{12}{13}} \Rightarrow \frac{AD}{1} = \frac{65}{12} \Rightarrow AD = \frac{65}{12}$ дециметра. Объём параллелепипеда выражается формулой: $V = S \cdot h$, где $V$ - объём, $S$ - площадь основания, $h$ - высота параллелепипеда. $S = AD \cdot AH = \frac{65}{12} \cdot 5 = \frac{325}{12}$. $h = 12$ дециметров. $V = \frac{325}{12} \cdot 12 = 325$ кубических дециметров. $S_{ABCD} = AD \cdot BL = \frac{65}{12} \cdot 12 = 65$ квадратных дециметров. $S_{ABEH} = AH \cdot AB = 5 \cdot 13 = 65$ квадратных дециметров. Площадь боковой поверхности равна: $S_{lt} = 2 (S_{ABEH} + S_{ABCD}) = 2 (65 + 65) = 2 \cdot 130 = 260$ квадратных дециметров. Объём не сходится с ответом данным в задачнике. Пожалуйста, подскажите где я ошибся?

[Nemiroff]

Charlz_Klug в сообщении #974301 писал(а):

$ABEH$ и $DCFG$ - прямоугольники

Почему?

[Charlz_Klug]

Nemiroff в сообщении #974303 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #974301 писал(а):

$ABEH$ и $DCFG$ - прямоугольники

Почему?

Наклонный параллелепипед представлял так: . Где $ABCDEFGH$ - наклонный параллелепипед (боковые грани не перпендикулярны основаниям), а $AB'C'DEF'G'H$ - прямой параллелепипед. Точки $A, B, C, D, B', C'$ - принадлежат одной плоскости, точки $E, F, G, H, F', G'$ - принадлежат одной плоскости. Отрезки $B'F'$ и $BF$ - параллельны. Отрезки $C'G'$ и $CG$ - параллельны. Отсюда, $ABEH$ и $DCFG$ - прямоугольники. Я где-то ошибся?

[provincialka]

Charlz_Klug в сообщении #974796 писал(а):

Я где-то ошибся?

Charlz_Klug в сообщении #974796 писал(а):

Точки $A, B, C, D, B', C'$ - принадлежат одной плоскости,

Можно грань $ABCD$ еще вперед или назад наклонить.

[Nemiroff]

Во-первых, вы зачем-то сменили буквы. Но это неважно.
Что такое параллелепипед? Определение?

[Charlz_Klug]

Nemiroff в сообщении #974799 писал(а):

Во-первых, вы зачем-то сменили буквы. Но это неважно.
Что такое параллелепипед? Определение?

Судя по википедии: параллелепипед - это призма, основанием которой служит параллелограмм. Исправленные буквы:

[provincialka]

Ну не прямая же призма.

[Charlz_Klug]

provincialka в сообщении #974822 писал(а):

Ну не прямая же призма.

Значит, если говорить о наклонном параллелепипеде, то очень даже может быть, что в его гранях нет ни одного прямоугольника?

[provincialka]

Charlz_Klug
Да. Выпускаете из точки $A$ три произвольных некомпланарных вектора $\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AD},\overrightarrow {AA'}$ и натягиваете на них параллелепипед.

[Charlz_Klug]

provincialka в сообщении #974832 писал(а):

Да. Выпускаете из точки $A$ три произвольных некомпланарных вектора $\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AD},\overrightarrow {AA'}$ и натягиваете на них параллелепипед.

Спасибо. Немного прояснилось.

[Nemiroff]

Charlz_Klug в сообщении #974821 писал(а):

Судя по википедии: параллелепипед - это призма, основанием которой служит параллелограмм.

Я вот не понял. Википедия говорит:

Цитата:

Параллелепи́пед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.

[Charlz_Klug]

Nemiroff в сообщении #974858 писал(а):

Я вот не понял. Википедия говорит:

Цитата:

Параллелепи́пед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.

Это был вопрос?

[Nemiroff]

Charlz_Klug в сообщении #974861 писал(а):

Это был вопрос?

Нет.
Вот вам определение "многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм". Никаких прямоугольников.

[Munin]

Моё решение:
1. Повернуть рисунок так, чтобы плоскость сечения была горизонтальной.
2. Уронить параллелепипед на горизонтальную плоскость.

[Charlz_Klug]

Nemiroff в сообщении #974863 писал(а):

Вот вам определение "многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм". Никаких прямоугольников.

Спасибо, понятно. Если следовать формуле: объём параллелепипеда равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро, то получается $24 \cdot 13 = 312$ кубических дециметров.

Munin в сообщении #974876 писал(а):

Моё решение:
1. Повернуть рисунок так, чтобы плоскость сечения была горизонтальной.
2. Уронить параллелепипед на горизонтальную плоскость.

Не понятно как "уронить параллелепипед" на горизонтальную плоскость.