Задача на условный экстремум

[izirekter]

Найти условные экстремумы функции $u=\sin(x)\sin(y)\sin(z)$
при условии $x+y+z=\pi/2$,
$x, y, z>0$

Решить через множители Лагранжа
Собственно получается вот такая система уравнений
$\cos(x)\sin(y)\sin(z)-\lambda=0$
$\sin(x)\cos(y)\sin(z)-\lambda=0$
$\sin(x)\sin(y)\cos(z)-\lambda=0$
$x+y+z-\pi/2=0$

Решая ее я получил что $y=z $ (в чем я кстати не уверен) и дальше не знаю что делать

[provincialka]

izirekter в сообщении #974297 писал(а):

получил что y=z (в чем я кстати не уверен)

Система симметрична относительно перестановки переменных, и решение должно быть таким же. Кроме того, равенство $y=z$ можно подставить в уравнения.
И поправьте формулы (поставьте доллары)

[izirekter]

Ну так по идее теперь мне надо найти лямбду, я решал такие задачи, но в других задачах были уравнения без одной переменной, и все было довольно просто. Что делать дальше тут я понятия не имею

[provincialka]

Чего вы от нас хотите? Чтобы мы решали систему? Она довольно громоздкая и предполагает разбор нескольких случаев. Например, вычитая из первого уравнения второе получаем (после преобразований) равенство $\sin z\sin(x-y)=0$. В силу того, что $0 < x,y,z< \pi/2$ получаем, что $x=y$. Аналогично можно вычесть из второго уравнения третье.
Полученные значения подставляем в третье уравнение. Если нужно $\lambda$ -- то и в первое.

[izirekter]

т.е. получается что $x=y=z$ ?

[provincialka]

izirekter
Да, конечно. Теперь подставьте в последнее уравнение.

[izirekter]

$x=y=z=\pi/6$
спасибо)