2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача на условный экстремум
Сообщение05.02.2015, 21:13 
Найти условные экстремумы функции $u=\sin(x)\sin(y)\sin(z)$
при условии $x+y+z=\pi/2$,
$x, y, z>0$

Решить через множители Лагранжа
Собственно получается вот такая система уравнений
$\cos(x)\sin(y)\sin(z)-\lambda=0$
$\sin(x)\cos(y)\sin(z)-\lambda=0$
$\sin(x)\sin(y)\cos(z)-\lambda=0$
$x+y+z-\pi/2=0$

Решая ее я получил что $y=z $ (в чем я кстати не уверен) и дальше не знаю что делать

 
 
 
 Re: Задача на условный экстремум
Сообщение05.02.2015, 21:17 
Аватара пользователя
izirekter в сообщении #974297 писал(а):
получил что y=z (в чем я кстати не уверен)

Система симметрична относительно перестановки переменных, и решение должно быть таким же. Кроме того, равенство $y=z$ можно подставить в уравнения.
И поправьте формулы (поставьте доллары)

 
 
 
 Re: Задача на условный экстремум
Сообщение05.02.2015, 21:38 
Ну так по идее теперь мне надо найти лямбду, я решал такие задачи, но в других задачах были уравнения без одной переменной, и все было довольно просто. Что делать дальше тут я понятия не имею

 
 
 
 Re: Задача на условный экстремум
Сообщение05.02.2015, 21:52 
Аватара пользователя
Чего вы от нас хотите? Чтобы мы решали систему? Она довольно громоздкая и предполагает разбор нескольких случаев. Например, вычитая из первого уравнения второе получаем (после преобразований) равенство $\sin z\sin(x-y)=0$. В силу того, что $0 < x,y,z< \pi/2$ получаем, что $x=y$. Аналогично можно вычесть из второго уравнения третье.
Полученные значения подставляем в третье уравнение. Если нужно $\lambda$ -- то и в первое.

 
 
 
 Re: Задача на условный экстремум
Сообщение05.02.2015, 22:43 
т.е. получается что $x=y=z$ ?

 
 
 
 Re: Задача на условный экстремум
Сообщение05.02.2015, 22:44 
Аватара пользователя
izirekter
Да, конечно. Теперь подставьте в последнее уравнение.

 
 
 
 Re: Задача на условный экстремум
Сообщение05.02.2015, 22:53 
$x=y=z=\pi/6$ :D
спасибо)

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group