Вырождение спектра системы двух невзаимодействующих частиц

[10110111]

Есть две различимые частицы, гамильтонианы $\hat H_a$ и $\hat H_b$ которых идентичны. Пусть их спектры невырождены. Если мы рассмотрим сумму этих гамильтонианов (действующих в пространствах состояний каждый своей частицы), то спектр этой суммы $\hat H=\hat H_a+\hat H_b$ окажется дважды вырожденным. В принципе понятно, откуда берётся вырождение: ведь для разных одночастичных состояний $|n\rangle$ и $|m\rangle$ существует пара двухчастичных $|n\rangle\otimes|m\rangle$ и $|m\rangle\otimes|n\rangle$, энергии которых в силу идентичности гамильтонианов равны.

Однако я никак не нахожу объяснения для вырождения с точки зрения теории групп: единственная нетривиальная операция симметрии, относительно которой инвариантен $\hat H$, — обмен частиц. Это даёт циклическую группу второго порядка, которая абелева, и неприводимые представления которой действительны. Но тогда откуда вырождение? Ведь для вырождения (которое здесь явно не "случайное"), как я понимаю, необходимо, чтобы группа симметрии была неабелевой (тогда будут сущевовать многомерные неприводимые представления) или чтобы у группы существовали комплексно-сопряжённые неприводимые представления (тогда будут существовать вырожденные состояния, нечётные относительно инверсии времени).

[Red_Herring]

У Вас коллекция неверных утверждений. Вырождения происходят по многим причинам, в т.ч. абсолютно не связанным с симметриями.

Пример 1. Сумма двух одинаковых гармонических осцилляторов со спектрами $\{1,3,5,7,…\}$. Тогда с.з с указанием кратностей:
2 (1+1)
4 (1+3,3+1)
6 (1+5, 3+3, 5+1)
…..
в общем, с.з. $2n$ имеет кратность $n$

Пример 2. Сумма двух разных гармонических осцилляторов со спектрами $\{1,3,5,7,…\}$ и $\{1a,3a,5a,7a,…\}$
Тогда при рациональном $a\ne 1$ некоторые с.з. будут вырожденными (причем кратности м.б. большими), а некоторые нет, а при иррациональном $a$ никаких вырождений не будет.

[10110111]

Как тогда интерпретировать это утверждение из Ландау и Лифшица:

Цитата:

Уровни энергии системы, вообще говоря, вырождены, если имеются две сохраняющиеся физические величины $f$ и $g$, операторы которых некоммутативны.

Следует ли это понимать как утверждение достаточности существования таких величин для вырождения, но не необходимости?

[Munin]

10110111 в сообщении #973898 писал(а):

Ведь для вырождения (которое здесь явно не "случайное"), как я понимаю, необходимо, чтобы группа симметрии была неабелевой

Ну почему? А чем абелева не годится? Та же $\mathbb{Z}_2.$

10110111 в сообщении #973934 писал(а):

Следует ли это понимать как утверждение достаточности существования таких величин для вырождения, но не необходимости?

Я думаю, да. Вообще, не надо воспринимать ЛЛ как строгий математический текст: там есть утверждения, которые в строгом смысле и вовсе неверны (я их не коллекционирую, но слышал от педантов-математиков).

С другой стороны, интересно посмотреть, можно ли найти две такие величины в каждом случае вырождения. Хотя величины могут быть весьма замысловатыми.

-- 05.02.2015 12:37:57 --

Собственно, возьмём простейший случай: система с двумя состояниями, гамильтониан нулевой. Некоммутативные сохраняющиеся величины - например, $\hat{\sigma}_1,\hat{\sigma}_2,\hat{\sigma}_3.$ Очевидно, точно так же можно построить некоммутативные сохраняющиеся величины и для любой другой системы с вырождением: достаточно взять величины, совпадающие на всех состояниях, кроме двух выбранных вырожденных, а на них - те же самые матрицы Паули.

[Red_Herring]

10110111 в сообщении #973934 писал(а):

Уровни энергии системы, вообще говоря, вырождены

Обращаю внимание на "вообще говоря" и да, Вы правы, это достаточное, но отнюдь не необходимое условие, причем его следует читать так: если оно выполнено, то есть вырожденные энергетические уровни.

(Док-во)

$\hat{H}$ коммутирует и с $\hat{F}$ и с $\hat{G}$; тогда этих два оператора переводят собственные подпространства $\hat{H}$ в себя; значит на одномерных собственных подпоространствах они коммутируют. Т.к. $\hat{F}$ и $\hat{G} не коммутируют, то есть собственные подпоространства $\hat{H}$ размерности $>1$[/math] (вырождение!)

В другую сторону оно, конечно, тоже верно но эти операторы $\hat{F}$ и с $\hat{G}$ вовсе не обязаны иметь какой-либо физический смысл.

Вот Вам 2 утверждения, тоже вообще говоря, неверных, но очень часто верных для интересных физических операторов:

1) нижнее собственное значение просто (даже для таких жутко симметричных объектов как Лапласиан на сфере или Шредингер для атома водорода—безспинка)

2) Не бывает собственных значений вложенных в непрерывный спектр