2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вырождение спектра системы двух невзаимодействующих частиц
Сообщение05.02.2015, 09:33 


09/08/11
78
Есть две различимые частицы, гамильтонианы $\hat H_a$ и $\hat H_b$ которых идентичны. Пусть их спектры невырождены. Если мы рассмотрим сумму этих гамильтонианов (действующих в пространствах состояний каждый своей частицы), то спектр этой суммы $\hat H=\hat H_a+\hat H_b$ окажется дважды вырожденным. В принципе понятно, откуда берётся вырождение: ведь для разных одночастичных состояний $|n\rangle$ и $|m\rangle$ существует пара двухчастичных $|n\rangle\otimes|m\rangle$ и $|m\rangle\otimes|n\rangle$, энергии которых в силу идентичности гамильтонианов равны.

Однако я никак не нахожу объяснения для вырождения с точки зрения теории групп: единственная нетривиальная операция симметрии, относительно которой инвариантен $\hat H$, — обмен частиц. Это даёт циклическую группу второго порядка, которая абелева, и неприводимые представления которой действительны. Но тогда откуда вырождение? Ведь для вырождения (которое здесь явно не "случайное"), как я понимаю, необходимо, чтобы группа симметрии была неабелевой (тогда будут сущевовать многомерные неприводимые представления) или чтобы у группы существовали комплексно-сопряжённые неприводимые представления (тогда будут существовать вырожденные состояния, нечётные относительно инверсии времени).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вырождение спектра системы двух невзаимодействующих частиц
Сообщение05.02.2015, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
У Вас коллекция неверных утверждений. Вырождения происходят по многим причинам, в т.ч. абсолютно не связанным с симметриями.

Пример 1. Сумма двух одинаковых гармонических осцилляторов со спектрами $\{1,3,5,7,…\}$. Тогда с.з с указанием кратностей:
2 (1+1)
4 (1+3,3+1)
6 (1+5, 3+3, 5+1)
…..
в общем, с.з. $2n$ имеет кратность $n$

Пример 2. Сумма двух разных гармонических осцилляторов со спектрами $\{1,3,5,7,…\}$ и $\{1a,3a,5a,7a,…\}$
Тогда при рациональном $a\ne 1$ некоторые с.з. будут вырожденными (причем кратности м.б. большими), а некоторые нет, а при иррациональном $a$ никаких вырождений не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вырождение спектра системы двух невзаимодействующих частиц
Сообщение05.02.2015, 10:50 


09/08/11
78
Как тогда интерпретировать это утверждение из Ландау и Лифшица:

Цитата:
Уровни энергии системы, вообще говоря, вырождены, если имеются две сохраняющиеся физические величины $f$ и $g$, операторы которых некоммутативны.


Следует ли это понимать как утверждение достаточности существования таких величин для вырождения, но не необходимости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вырождение спектра системы двух невзаимодействующих частиц
Сообщение05.02.2015, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
10110111 в сообщении #973898 писал(а):
Ведь для вырождения (которое здесь явно не "случайное"), как я понимаю, необходимо, чтобы группа симметрии была неабелевой

Ну почему? А чем абелева не годится? Та же $\mathbb{Z}_2.$

10110111 в сообщении #973934 писал(а):
Следует ли это понимать как утверждение достаточности существования таких величин для вырождения, но не необходимости?

Я думаю, да. Вообще, не надо воспринимать ЛЛ как строгий математический текст: там есть утверждения, которые в строгом смысле и вовсе неверны (я их не коллекционирую, но слышал от педантов-математиков).

С другой стороны, интересно посмотреть, можно ли найти две такие величины в каждом случае вырождения. Хотя величины могут быть весьма замысловатыми.

-- 05.02.2015 12:37:57 --

Собственно, возьмём простейший случай: система с двумя состояниями, гамильтониан нулевой. Некоммутативные сохраняющиеся величины - например, $\hat{\sigma}_1,\hat{\sigma}_2,\hat{\sigma}_3.$ Очевидно, точно так же можно построить некоммутативные сохраняющиеся величины и для любой другой системы с вырождением: достаточно взять величины, совпадающие на всех состояниях, кроме двух выбранных вырожденных, а на них - те же самые матрицы Паули.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вырождение спектра системы двух невзаимодействующих частиц
Сообщение23.03.2018, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
10110111 в сообщении #973934 писал(а):
Уровни энергии системы, вообще говоря, вырождены


Обращаю внимание на "вообще говоря" и да, Вы правы, это достаточное, но отнюдь не необходимое условие, причем его следует читать так: если оно выполнено, то есть вырожденные энергетические уровни.

(Док-во)

$\hat{H}$ коммутирует и с $\hat{F}$ и с $\hat{G}$; тогда этих два оператора переводят собственные подпространства $\hat{H}$ в себя; значит на одномерных собственных подпоространствах они коммутируют. Т.к. $\hat{F}$ и $\hat{G} не коммутируют, то есть собственные подпоространства $\hat{H}$ размерности $>1$[/math] (вырождение!)

В другую сторону оно, конечно, тоже верно но эти операторы $\hat{F}$ и с $\hat{G}$ вовсе не обязаны иметь какой-либо физический смысл.


Вот Вам 2 утверждения, тоже вообще говоря, неверных, но очень часто верных для интересных физических операторов:

1) нижнее собственное значение просто (даже для таких жутко симметричных объектов как Лапласиан на сфере или Шредингер для атома водорода—безспинка)

2) Не бывает собственных значений вложенных в непрерывный спектр


Последний раз поднималось Red_Herring 23.03.2018, 19:39.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group