2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Логика. ЕГЭ.
Сообщение30.01.2015, 20:57 


01/09/14
251
Условие:
На числовой прямой даны два отрезка: $P=[7,17]$ и $Q=[13,20]$. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок $A$, что логическое выражение $((X \in A) \rightarrow (X \in P)) \rightarrow (X \in Q)$ тождественно истинно, то есть принимает значение $1$ при любом значении переменной $X$.

Ответ:
$[12, 19]$.

Не пойму как решаются такие задачи. Мои рассуждения:
Обозначим $(X \in A)$ через $A$, $(X \in P)$ через $P$ и $(X \in Q)$ через $Q$. Получим следующее выражение:$(A \rightarrow P) \rightarrow Q$. Выражение $A \rightarrow P$ представленное с помощью отрицания и дизъюнкции даёт $ \neg A \vee P$. Следовательно, получаем $(A \rightarrow P) \rightarrow Q = ( \neg A \vee P ) \rightarrow Q = \neg ( \neg A \vee P ) \vee Q = A \wedge \neg P \vee Q$. Поскольку выражение $A \wedge \neg P \vee Q$ тождественно истинно получаем: $A \wedge \neg P \vee Q = 1$, а что дальше делать - не пойму. Подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение30.01.2015, 21:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Может, перейти обратно к отрезкам. Что, например, означает $A\wedge \neg P$? Видимо, принадлежность $X$ какому-то множеству. Какому?

Кстати, обозначать одинаковыми буквами множества и высказывания не есть хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение30.01.2015, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
1717
Charlz_Klug,
я скажу немного иначе. Попробуйте вспомнить, при каком условии импликация истинна независимо от логического значения консеквента (заключения).

Правда, мне пришлось додумать условие задачи, и я не уверен, что сделал это правильно. Здесь имеется в виду, что $X$ - произвольная точка действительной оси? Или из заданного диапазона значений? Или ещё с какими-то ограничениями?
И, кстати, из какого списка отрезков выбирается $A$? Желательно видеть этот список, чтобы убедиться в корректности задания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение30.01.2015, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Mihr в сообщении #971338 писал(а):
Здесь имеется в виду, что $X$ - произвольная точка действительной оси? Или из заданного диапазона значений? Или ещё с какими-то ограничениями?
И, кстати, из какого списка отрезков выбирается $A$?
Честно говоря, я даже по "ответу" не догадалась, что из этого имелось в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение30.01.2015, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
1717
provincialka,
а ответ, по-моему, неверен. Но чтобы быть уверенным в этом, нужна точная формулировка задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение30.01.2015, 23:35 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Точно неверен. Например, для $X=12$ получаем, что $X\in A$, $X\in P$, $X\notin Q$, поэтому $(X \in A) \rightarrow (X \in P)$ истинно, а $X \in Q$ ложно, и всё выражение тоже ложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение31.01.2015, 13:52 


01/09/14
251
provincialka в сообщении #971322 писал(а):
Может, перейти обратно к отрезкам.
Тоже вариант.
provincialka в сообщении #971322 писал(а):
Что, например, означает $A\wedge \neg P$? Видимо, принадлежность $X$ какому-то множеству. Какому?
Mihr в сообщении #971338 писал(а):
Правда, мне пришлось додумать условие задачи, и я не уверен, что сделал это правильно. Здесь имеется в виду, что $X$ - произвольная точка действительной оси? Или из заданного диапазона значений? Или ещё с какими-то ограничениями?
Насколько я понял из примеров решения подобных задач, $X$ принадлежит множеству $A$, а в вариантах ответов указывается отрезок $A$.
provincialka в сообщении #971322 писал(а):
Кстати, обозначать одинаковыми буквами множества и высказывания не есть хорошо.
Не спорю. Я попытался применить метод решения с других задач по логике.
Mihr в сообщении #971338 писал(а):
И, кстати, из какого списка отрезков выбирается $A$? Желательно видеть этот список, чтобы убедиться в корректности задания.
Пожалуйста, полный текст задачи: Изображение
Mihr в сообщении #971343 писал(а):
provincialka,
а ответ, по-моему, неверен.
svv в сообщении #971391 писал(а):
Точно неверен. Например, для $X=12$ получаем, что $X\in A$, $X\in P$, $X\notin Q$, поэтому $(X \in A) \rightarrow (X \in P)$ истинно, а $X \in Q$ ложно, и всё выражение тоже ложно.
Да, действительно. Ответ не верный. Наверно, опечатка в книге. Ответ из книги: Изображение Методом подстановки выяснил что правильным ответом будет четвёртый вариант. Изображение Где $X \in [15, 20]$. Наверно, есть более красивый способ решения чем дуболомная подстановка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение31.01.2015, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
А мне кажется, что условие задачи вообще не может выполниться ни для какого отрезка $A$.

Что означает импликация $(x\in A)\to(x\in P)$, для каких $x$ она выполняется?
Для тех, для которых не выполняется первое включение, или выполняется второе. То есть импликацию можно переписать в виде $x\in (\bar A \cup P)$.
Аналогично вторая импликация приводится к виду $x\in ((\overline{\bar A \cup P})\cup Q)= x\in (A \cap \bar P)\cup Q$.
Раз последнее включение выполняется для всех $x$, то $(A \cap \bar P)\cup Q = \mathbb R$.

Но множество в левой части входит в $A \cup Q $. Это объединение отрезков и оно никак не может включать в себя всю прямую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение31.01.2015, 14:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
1717
provincialka в сообщении #971686 писал(а):
А мне кажется, что условие задачи вообще не может выполниться ни для какого отрезка $A$.

Я тоже так думаю. Потому и спрашивал, кстати, ограничено ли $x$ некоторым диапазоном значений или это любое действительное число.
Судя по приведённому оригинальному изображению задачи, каких-то ограничений на $x$ нет.
Но тогда задача неразрешима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение31.01.2015, 23:46 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Присоединяюсь к выводу, что ни один ответ не может быть верным. Более того, не существует такого подмножества $A$ числовой оси (не обязательно отрезка), чтобы выражение из условия задачи было тождественно истинным.

Выберем любую точку $X$ из $[7,13)$. Тогда $X\in P$ истинно, а $X\in Q$ ложно. Поэтому независимо от истинности $X\in A$ выражение $(X \in A) \rightarrow (X \in P)$ будет истинно, а $((X \in A) \rightarrow (X \in P)) \rightarrow (X \in Q)$ ложно.

-- Вс фев 01, 2015 00:05:17 --

Charlz_Klug в сообщении #971673 писал(а):
Насколько я понял из примеров решения подобных задач, $X$ принадлежит множеству $A$
Это спасало бы дело, и тогда, действительно, четвертый ответ был бы правильным. Но не оговаривать этого в условии — безобразие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение01.02.2015, 03:56 


19/03/09
121
provincialka писал(а):
Раз последнее включение выполняется для всех $x$, то $(A \cap \bar P)\cup Q = \mathbb R$.

Надо наверно решить
$(A \cap \bar P)\cup Q = A$
Потом добавить $A \leq Q$

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение01.02.2015, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
green5
Я правильно вас поняла, вы предлагаете изменить условие задачи? Или это "решение"?
У меня подобные мысли возникали. В вашей идее мне непонятно последнее предложение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение01.02.2015, 12:54 


19/03/09
121
Решение, примерно так
$\bar A = \bar Q \cap (\bar A \cup P) = P \cap \bar Q \rightarrow A \leq Q \cup \bar P
$.
Ведь $A = \varnothing$ подходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение01.02.2015, 13:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Нет. Условие
green5 в сообщении #972104 писал(а):
$(A \cap \bar P)\cup Q = A$
не совпадает с условием задачи. Так что это другая постановка.
Что такое $\leqslant$ применительно к множествам? Вы имеете в виду $\subset$ ?

Если строго записать условие, оно принимает вид $(A \cap \bar P)\cup Q = \mathbb R$, левая часть входит в $\bar P\cup Q$, но это множество не включает в себя промежуток $[7,13)$, так что никак не может покрывать все $\mathbb R$. Чтобы задача имела решение, ее надо как-то изменить. Но искать такую переделку не хочется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика. ЕГЭ.
Сообщение04.02.2015, 22:34 


01/09/14
251
svv в сообщении #972057 писал(а):
Charlz_Klug в сообщении #971673 писал(а):
Насколько я понял из примеров решения подобных задач, $X$ принадлежит множеству $A$
Это спасало бы дело, и тогда, действительно, четвертый ответ был бы правильным. Но не оговаривать этого в условии — безобразие.
Ну, ничего не поделаешь. Всем спасибо за ответы. Тема более-менее прояснилась.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group