Логика. ЕГЭ.

[Charlz_Klug]

Условие:
На числовой прямой даны два отрезка: $P=[7,17]$ и $Q=[13,20]$. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок $A$, что логическое выражение $((X \in A) \rightarrow (X \in P)) \rightarrow (X \in Q)$ тождественно истинно, то есть принимает значение $1$ при любом значении переменной $X$.

Ответ:
$[12, 19]$.

Не пойму как решаются такие задачи. Мои рассуждения:
Обозначим $(X \in A)$ через $A$, $(X \in P)$ через $P$ и $(X \in Q)$ через $Q$. Получим следующее выражение:$(A \rightarrow P) \rightarrow Q$. Выражение $A \rightarrow P$ представленное с помощью отрицания и дизъюнкции даёт $ \neg A \vee P$. Следовательно, получаем $(A \rightarrow P) \rightarrow Q = ( \neg A \vee P ) \rightarrow Q = \neg ( \neg A \vee P ) \vee Q = A \wedge \neg P \vee Q$. Поскольку выражение $A \wedge \neg P \vee Q$ тождественно истинно получаем: $A \wedge \neg P \vee Q = 1$, а что дальше делать - не пойму. Подскажите, пожалуйста.

[provincialka]

Может, перейти обратно к отрезкам. Что, например, означает $A\wedge \neg P$? Видимо, принадлежность $X$ какому-то множеству. Какому?

Кстати, обозначать одинаковыми буквами множества и высказывания не есть хорошо.

[Mihr]

Charlz_Klug,
я скажу немного иначе. Попробуйте вспомнить, при каком условии импликация истинна независимо от логического значения консеквента (заключения).

Правда, мне пришлось додумать условие задачи, и я не уверен, что сделал это правильно. Здесь имеется в виду, что $X$ - произвольная точка действительной оси? Или из заданного диапазона значений? Или ещё с какими-то ограничениями?
И, кстати, из какого списка отрезков выбирается $A$? Желательно видеть этот список, чтобы убедиться в корректности задания.

[provincialka]

Mihr в сообщении #971338 писал(а):

Здесь имеется в виду, что $X$ - произвольная точка действительной оси? Или из заданного диапазона значений? Или ещё с какими-то ограничениями?
И, кстати, из какого списка отрезков выбирается $A$?

Честно говоря, я даже по "ответу" не догадалась, что из этого имелось в виду.

[Mihr]

provincialka,
а ответ, по-моему, неверен. Но чтобы быть уверенным в этом, нужна точная формулировка задачи.

[svv]

Точно неверен. Например, для $X=12$ получаем, что $X\in A$, $X\in P$, $X\notin Q$, поэтому $(X \in A) \rightarrow (X \in P)$ истинно, а $X \in Q$ ложно, и всё выражение тоже ложно.

[Charlz_Klug]

provincialka в сообщении #971322 писал(а):

Может, перейти обратно к отрезкам.

Тоже вариант.

provincialka в сообщении #971322 писал(а):

Что, например, означает $A\wedge \neg P$? Видимо, принадлежность $X$ какому-то множеству. Какому?

Mihr в сообщении #971338 писал(а):

Правда, мне пришлось додумать условие задачи, и я не уверен, что сделал это правильно. Здесь имеется в виду, что $X$ - произвольная точка действительной оси? Или из заданного диапазона значений? Или ещё с какими-то ограничениями?

Насколько я понял из примеров решения подобных задач, $X$ принадлежит множеству $A$, а в вариантах ответов указывается отрезок $A$.

provincialka в сообщении #971322 писал(а):

Кстати, обозначать одинаковыми буквами множества и высказывания не есть хорошо.

Не спорю. Я попытался применить метод решения с других задач по логике.

Mihr в сообщении #971338 писал(а):

И, кстати, из какого списка отрезков выбирается $A$? Желательно видеть этот список, чтобы убедиться в корректности задания.

Пожалуйста, полный текст задачи:

Mihr в сообщении #971343 писал(а):

provincialka,
а ответ, по-моему, неверен.

svv в сообщении #971391 писал(а):

Точно неверен. Например, для $X=12$ получаем, что $X\in A$, $X\in P$, $X\notin Q$, поэтому $(X \in A) \rightarrow (X \in P)$ истинно, а $X \in Q$ ложно, и всё выражение тоже ложно.

Да, действительно. Ответ не верный. Наверно, опечатка в книге. Ответ из книги: Методом подстановки выяснил что правильным ответом будет четвёртый вариант. Где $X \in [15, 20]$. Наверно, есть более красивый способ решения чем дуболомная подстановка.

[provincialka]

А мне кажется, что условие задачи вообще не может выполниться ни для какого отрезка $A$.

Что означает импликация $(x\in A)\to(x\in P)$, для каких $x$ она выполняется?
Для тех, для которых не выполняется первое включение, или выполняется второе. То есть импликацию можно переписать в виде $x\in (\bar A \cup P)$.
Аналогично вторая импликация приводится к виду $x\in ((\overline{\bar A \cup P})\cup Q)= x\in (A \cap \bar P)\cup Q$.
Раз последнее включение выполняется для всех $x$, то $(A \cap \bar P)\cup Q = \mathbb R$.

Но множество в левой части входит в $A \cup Q $. Это объединение отрезков и оно никак не может включать в себя всю прямую.

[Mihr]

provincialka в сообщении #971686 писал(а):

А мне кажется, что условие задачи вообще не может выполниться ни для какого отрезка $A$.

Я тоже так думаю. Потому и спрашивал, кстати, ограничено ли $x$ некоторым диапазоном значений или это любое действительное число.
Судя по приведённому оригинальному изображению задачи, каких-то ограничений на $x$ нет.
Но тогда задача неразрешима.

[svv]

Присоединяюсь к выводу, что ни один ответ не может быть верным. Более того, не существует такого подмножества $A$ числовой оси (не обязательно отрезка), чтобы выражение из условия задачи было тождественно истинным.

Выберем любую точку $X$ из $[7,13)$. Тогда $X\in P$ истинно, а $X\in Q$ ложно. Поэтому независимо от истинности $X\in A$ выражение $(X \in A) \rightarrow (X \in P)$ будет истинно, а $((X \in A) \rightarrow (X \in P)) \rightarrow (X \in Q)$ ложно.

-- Вс фев 01, 2015 00:05:17 --

Charlz_Klug в сообщении #971673 писал(а):

Насколько я понял из примеров решения подобных задач, $X$ принадлежит множеству $A$

Это спасало бы дело, и тогда, действительно, четвертый ответ был бы правильным. Но не оговаривать этого в условии — безобразие.

[green5]

provincialka писал(а):

Раз последнее включение выполняется для всех $x$, то $(A \cap \bar P)\cup Q = \mathbb R$.

Надо наверно решить
$(A \cap \bar P)\cup Q = A$
Потом добавить $A \leq Q$

[provincialka]

green5
Я правильно вас поняла, вы предлагаете изменить условие задачи? Или это "решение"?
У меня подобные мысли возникали. В вашей идее мне непонятно последнее предложение.

[green5]

Решение, примерно так
$\bar A = \bar Q \cap (\bar A \cup P) = P \cap \bar Q \rightarrow A \leq Q \cup \bar P $.
Ведь $A = \varnothing$ подходит.

[provincialka]

Нет. Условие

green5 в сообщении #972104 писал(а):

$(A \cap \bar P)\cup Q = A$

не совпадает с условием задачи. Так что это другая постановка.
Что такое $\leqslant$ применительно к множествам? Вы имеете в виду $\subset$ ?

Если строго записать условие, оно принимает вид $(A \cap \bar P)\cup Q = \mathbb R$, левая часть входит в $\bar P\cup Q$, но это множество не включает в себя промежуток $[7,13)$, так что никак не может покрывать все $\mathbb R$. Чтобы задача имела решение, ее надо как-то изменить. Но искать такую переделку не хочется.

[Charlz_Klug]

svv в сообщении #972057 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #971673 писал(а):

Насколько я понял из примеров решения подобных задач, $X$ принадлежит множеству $A$

Это спасало бы дело, и тогда, действительно, четвертый ответ был бы правильным. Но не оговаривать этого в условии — безобразие.

Ну, ничего не поделаешь. Всем спасибо за ответы. Тема более-менее прояснилась.