Зорич. Декартово произведение.

[Slow]

Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение двух окружностей(тор).
Думаю под окружностью понимается $M_r=\{(x,y)|x^2+y^2=r^2\}$, но тогда декартовым произведением будет $\{(x_1,y_1,x_2,y_2)|(x_1,y_1)\in M_{r_1}, (x_2,y_2)\in M_{r_2}\}, но тогда где тут тор?

[kp9r4d]

Уже обсуждалось несколько раз. У Зорича те задачи с декартовыми произведениями не очень хорошие (в смысле аккуратно сформулированные и корректные), поэтому можете забить.

[mihailm]

Не надо забивать - это хороший факт. Каждую точку тора ассоциируйте с парой точек из которой одна на первой другая на второй окружности.

[kp9r4d]

mihailm
По какому праву можно так ассоциировать? Тут уже, неявно, предполагается что на окружностях задана топология и произведение, собственно, берётся этих самых топ. пространств, а вовсе не множеств. По моему мнению, вдумчивых читателей все такие умалчивания только собьют с толку (и уже сбивало), ведь вся эта теория множеств в первых главах нужна как раз для того, чтобы приучить к формальной логике, к идеи о том, что можно непосредственно, чисто синтаксически подставить в определение декартового произведения два множества и получить из них третье, а подобные неряшливости эту идею "синтаксичности" только портят.

[mihailm]

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #972915 писал(а):

mihailm
По какому праву можно так ассоциировать?...

Математике на право (римское, североамериканское и т.д.) наплевать

[Oleg Zubelevich]

Не вижу проблем с этой задачей. Некоторые претенциозные студенты склонны ставить под сомнение формулировки задач, а не свои способности. Это неправильный подход.

[warlock66613]

А ведь действительно - можно, исходя из того самого формального определения и не выходя за рамки условий, тор получить!

[kp9r4d]

Слегка подумав, понял, что это действительно самый настоящий тор, вложенный в $\mathbb R^4$, приношу извинения.

[Aritaborian]

Почему в $\mathbb R^4$? Достаточно $\mathbb R^3$.

[kp9r4d]

Ну координаты то у каждой точки окружности две, поэтому в произведении будут четырёхкоординатные наборы, то, что движениями тора можно одну из координат занулить мне понятно. Вроде.

[Padawan]

Если произведение рассматривать в $\mathbb R^4$, то задание вообще теряет смысл. Так как что такое тор в $\mathbb R^4$? Это по определению произведение двух окружностей.
Тут именно что надо установить биекцию с самым обычным трехмерным тором (поверхность, заметаемая при вращении окружности). А если еще заметить, что биекция будет в обе стороны непрерывна, то вообще хорошо. Хотя, наверное, еще никакой непрерывности не обсуждается.

Вообще, задание нечеткое, конечно.

[Oleg Zubelevich]

Есть гладкое многообразие "тор" в привычном нам смысле: бублик, полученный вращением окружности вокруг прямой в $\mathbb{R}^3$. Именно в таком виде он появляется первый раз во всех курсах анализа. И есть другое гладкое многообразие $S^1\times S^1$. Надо доказать, что эти многообразия диффеоморфны. В чем нечеткость?

-- Ср фев 04, 2015 13:11:37 --

Padawan в сообщении #973419 писал(а):

Если произведение рассматривать в $\mathbb R^4$, то задание вообще теряет смысл

по-моему в определение прямого произведения многообразий, никакие объемлющие пространства вообще не входят

[Padawan]

Ну если "проиллюстрируйте геометрически" означает "докажите, что такое-то и такое-то многообразия диффеоморфны", то да, всё четко