2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 20:05 
Аватара пользователя


05/01/13
3799
Продолжаю ковырять творение Зорича в свободное время. :)

(Оффтоп)

...Хотя чувствую, что такими темпами доберусь до собственно матанализа аккурат к своему 100-летнему юбилею. Похоже, мой мозг всё-таки не создан для математики. Страшно пробуксовывает, вязнет в ерундовых деталях. Никак не могу научиться отделять важное от второстепенного. Возможно, мне всё-таки стоит поискать себе другое хобби... Даже не знаю, из какого мазохизма я продолжаю штурмовать этот учебник. :) Танталовы муки: мне очень нравится математика, но я никак не могу отпить хоть немного из источника мудрости. Это ж надо, так увязнуть в решении задачек для второго параграфа! Что же будет дальше?..


Итак, перед нами задача номер 5, которая непосредственно связана с задачей номер 4.

Изображение

Правильно ли я понимаю, что в варианте требуется изобразить что-то вот такое (набросал по-быстрому):

Изображение

При этом в самой нижней картинке прямоугольники $X \times Y$, по идее, могут соприкасаться любой из своих сторон — это не влияет на результат.

Я правильно всё понял, или дичь какую-то нарисовал? :) Терзают большие сомнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5718
А где на Ваших двух нижних рисунках $X^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 20:10 


19/05/10
3844
Россия
Дичь.
Диагонали только у квадратов бывают

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 20:16 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Цитата:
Продолжаю ковырять творение Зорича в свободное время. :)

Тем же делом страдаю. (: Однако товарищи по интересам говорят, что увязать в отедльных монографиях не больно осмысленное занятие.

Мне сдается, что раз декартова диагональ определялась лишь для квадрата какого-то множества, то в пункте 1 отрезки будут равны по длине. То есть результат это
а) Декартовое произведение — квадрат; диагональ — диагональ квадрата.
б) Декартовое произведение — плоскость; диагональ — прямая y=x
в) Декартовое произведение — тор; диагональ — то, во что превратиться окружность на торе после скручивающего гомоморфизма.

(Топологически картинка правильная, но метрически не совсем, на картинке "большая часть" линии находится на виду у зрителя, и "обкручивает" линия тор лишь в одном месте; по определению в Зориче, "обкручивать" она должна его (тор) равномерно).

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5718
Я, кстати, сомневаюсь в полезности этого упражнения. Зачем обязательно тор? Представляйте себе произведения и диагонали как хотите, главное, чтобы выводы, полученные с помощью этих интуитивных образов, подтверждались формально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 20:24 
Аватара пользователя


05/01/13
3799
mihailm в сообщении #772084 писал(а):
Диагонали только у квадратов бывают

А разве "диагональ множества $X$" не является сокращённым обозначением для "диагональ декартова квадрата $X^2$ множества $X$"? Если нет, то что тогда вообще от меня требуется в задаче? Тупо констатировать, что квадратов там нет? :)


Xaositect в сообщении #772082 писал(а):
А где на Ваших двух нижних рисунках $X^2$?

Да я вообще не знаю, как это всё рисовать. :)

Я рассуждал так. Вот у нас есть множество точек некоего отрезка. Его можно в виде отрезка и изобразить. Теперь нужно изобразить диагональ этого множества. Изображаем её как диагональ квадрата со стороной, равной отрезку. Сам квадрат не рисуем, поскольку и так ясно, что он квадрат.

Теперь смотрим множество, являющееся произведением двух отрезков. Его можно представить как прямоугольник. Значит, изображаем параллелепипед, две грани которого равны этому прямоугольнику. Элемент множества, являющегося произведением двух отрезков, можно представить как точку на грани данного параллелепипеда. Если мы на каждой из двух граней возьмём по элементу, то получим своеобразные "координаты". Если мы будем брать только равные "координаты", то, фактически, этими "координатами" будет задан элемент множества, являющегося декартовым квадратом нашего произведения двух отрезков. Элементы с равными "координатами" выстраиваются на участке плоскости, который на рисунке закрашен оранжевым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 20:29 


19/05/10
3844
Россия
Denis Russkih в сообщении #772096 писал(а):
mihailm в сообщении #772084 писал(а):
Диагонали только у квадратов бывают

А разве "диагональ множества $X$" не является сокращённым обозначением для "диагональ декартова квадрата $X^2$ множества $X$"? Если нет, то что тогда вообще от меня требуется в задаче? Тупо констатировать, что квадратов там нет? :)...

Нет, не является.
Можно констатировать, что квадратов нет, а можно построить эти квадраты и поискать у них диагональ))

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 20:30 
Аватара пользователя


05/01/13
3799
mihailm в сообщении #772099 писал(а):
Можно констатировать, что квадратов нет, а можно построить эти квадраты и поискать у них диагональ))

Взаимоисключающие параграфы?

-- 07.10.2013, 20:35 --

Я вообще перестал понимать, что от меня требуется в задаче. Там что, хитрая подковырка такая? Предлагается нарисовать диагонали, которые в принципе не могут существовать? Очень смешно. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20145
Уфа
Ну, просто взять два одинаковых отрезка вместо любых.

-- Пн окт 07, 2013 23:45:47 --

Сформулировано оно, конечно, странно. Поддерживаю Xaositect.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 20:57 
Аватара пользователя


05/01/13
3799
arseniiv в сообщении #772106 писал(а):
Ну, просто взять два одинаковых отрезка вместо любых.

Я думал, что это читерство. :) Разве можно вот так запросто исключить из рассмотрения вариант с разными отрезками?


Denis Russkih в сообщении #772096 писал(а):
Да я вообще не знаю, как это всё рисовать. :)

Я рассуждал так. Вот у нас есть множество точек некоего отрезка. Его можно в виде отрезка и изобразить. Теперь нужно изобразить диагональ этого множества. Изображаем её как диагональ квадрата со стороной, равной отрезку. Сам квадрат не рисуем, поскольку и так ясно, что он квадрат.

Теперь смотрим множество, являющееся произведением двух отрезков. Его можно представить как прямоугольник. Значит, изображаем параллелепипед, две грани которого равны этому прямоугольнику. Элемент множества, являющегося произведением двух отрезков, можно представить как точку на грани данного параллелепипеда. Если мы на каждой из двух граней возьмём по элементу, то получим своеобразные "координаты". Если мы будем брать только равные "координаты", то, фактически, этими "координатами" будет задан элемент множества, являющегося декартовым квадратом нашего произведения двух отрезков. Элементы с равными "координатами" выстраиваются на участке плоскости, который на рисунке закрашен оранжевым.

Наверное, я высказался тут не очень внятно... Вот, набросал ещё одну небольшую картиночку, чтобы было понятнее, что я имею в виду:

Изображение

Две больших чёрных точки являются своеобразными "координатами" для оранжевой точки, которая в свою очередь является элементом диагонали декартова квадрата множества $X \times Y$.


Xaositect в сообщении #772093 писал(а):
Представляйте себе произведения и диагонали как хотите, главное, чтобы выводы, полученные с помощью этих интуитивных образов, подтверждались формально.

Даже так? Ну хорошо. :) Просто я думал, что есть какие-то общие правила рисования таких штук.

-- 07.10.2013, 21:00 --

На картинке небольшая неточность. Подпись "Элемент множества $(X \times Y)^2$" следует читать как "Элемент множества, являющегося диагональю декартова квадрата $(X \times Y)^2$ множества $X \times Y$". :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20145
Уфа
Denis Russkih в сообщении #772115 писал(а):
Я думал, что это читерство. :) Разве можно вот так запросто исключить из рассмотрения вариант с разными отрезками?
Конечно, даже для разных $A, B$ можно построить множество $\{(a, b) : a\in A \wedge b\in B \wedge a = b\} \subset A\times B$, но вот если честно взять две разные прямые на плоскости, такая «диагональ» будет или пуста, или содержать один элемент $(c,c)$, где $c$ — точка пересечения прямых. Что интересного в такой диагонали, не знаю.

Конечно, если $B \sim A$, можно рассматривать $A\times A \sim A\times B$, там диагональ будет «диагональная», но это же другое декартово произведение!

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 21:18 
Аватара пользователя


11/06/12
7290
Минск
Фигня в том, что в условии неточность. Сначала Зорич вводит определение диагонали декартова квадрата множества, и тут же просит найти диагонали разных множеств. Вот если последний абзац написать как
Цитата:
Проиллюстрируйте геометрически диагонали квадратов множеств, полученных в пунктах a), b), e) задачи 4
то выходит, что Denis Russkih со своими красивыми картинками всё правильно решает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение07.10.2013, 21:36 
Аватара пользователя


05/01/13
3799
Aritaborian в сообщении #772130 писал(а):
Фигня в том, что в условии неточность. Сначала Зорич вводит определение диагонали декартова квадрата множества, и тут же просит найти диагонали разных множеств.

Ну точно!.. А я-то наивно полагал, что это одно и то же. :) Ну, якобы так говорят для краткости: "диагональ множества". А на самом деле имеют в виду "диагональ декартова квадрата множества". А что ещё мне оставалось думать, прочитав такое определение?..

Хотя после слов mihailm я уже начал подозревать, что был введён в заблуждение. Ну и Вы окончательно расставили галочки над "и". :)

Всё понятно. Выходит, я просто выполнил малость не то задание, которое требовалось. :)

Aritaborian в сообщении #772130 писал(а):
Вот если последний абзац написать как

Цитата:
Проиллюстрируйте геометрически диагонали квадратов множеств, полученных в пунктах a), b), e) задачи 4

то выходит, что Denis Russkih со своими красивыми картинками всё правильно решает.

То есть, я правильно нарисовал диагонали квадратов множеств?.. :) Класс. Очень здорово, если так! Хоть какое-то утешение. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение26.03.2015, 21:56 


26/03/15
1
Хм... пришел к интересному выводу, что геометрически диагональ квадратов множеств для двух прямых(которые перпендикулярны друг другу) совпадает с первой прямой

 Профиль  
                  
 
 Re: Две связанные между собой задачки в Зориче
Сообщение26.03.2015, 23:34 
Заблокирован по собственному желанию


20/03/14
31/12/17
7337
 !  RomanKos
Замечание за некропостинг.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group