2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зорич. Декартово произведение.
Сообщение28.01.2015, 17:23 


28/05/12
214
Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение двух окружностей(тор).
Думаю под окружностью понимается $M_r=\{(x,y)|x^2+y^2=r^2\}$, но тогда декартовым произведением будет $\{(x_1,y_1,x_2,y_2)|(x_1,y_1)\in M_{r_1}, (x_2,y_2)\in M_{r_2}\}, но тогда где тут тор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Декартово произведение.
Сообщение28.01.2015, 17:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Уже обсуждалось несколько раз. У Зорича те задачи с декартовыми произведениями не очень хорошие (в смысле аккуратно сформулированные и корректные), поэтому можете забить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Декартово произведение.
Сообщение28.01.2015, 21:08 


19/05/10

3940
Россия
Не надо забивать - это хороший факт. Каждую точку тора ассоциируйте с парой точек из которой одна на первой другая на второй окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Декартово произведение.
Сообщение03.02.2015, 07:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
mihailm
По какому праву можно так ассоциировать? Тут уже, неявно, предполагается что на окружностях задана топология и произведение, собственно, берётся этих самых топ. пространств, а вовсе не множеств. По моему мнению, вдумчивых читателей все такие умалчивания только собьют с толку (и уже сбивало), ведь вся эта теория множеств в первых главах нужна как раз для того, чтобы приучить к формальной логике, к идеи о том, что можно непосредственно, чисто синтаксически подставить в определение декартового произведения два множества и получить из них третье, а подобные неряшливости эту идею "синтаксичности" только портят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Декартово произведение.
Сообщение03.02.2015, 10:29 


19/05/10

3940
Россия

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #972915 писал(а):
mihailm
По какому праву можно так ассоциировать?...
Математике на право (римское, североамериканское и т.д.) наплевать

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Декартово произведение.
Сообщение03.02.2015, 16:53 


10/02/11
6786
Не вижу проблем с этой задачей. Некоторые претенциозные студенты склонны ставить под сомнение формулировки задач, а не свои способности. Это неправильный подход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Декартово произведение.
Сообщение03.02.2015, 22:16 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
А ведь действительно - можно, исходя из того самого формального определения и не выходя за рамки условий, тор получить!

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Декартово произведение.
Сообщение04.02.2015, 07:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Слегка подумав, понял, что это действительно самый настоящий тор, вложенный в $\mathbb R^4$, приношу извинения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Декартово произведение.
Сообщение04.02.2015, 10:48 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Почему в $\mathbb R^4$? Достаточно $\mathbb R^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Декартово произведение.
Сообщение04.02.2015, 11:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ну координаты то у каждой точки окружности две, поэтому в произведении будут четырёхкоординатные наборы, то, что движениями тора можно одну из координат занулить мне понятно. Вроде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Декартово произведение.
Сообщение04.02.2015, 11:25 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Если произведение рассматривать в $\mathbb R^4$, то задание вообще теряет смысл. Так как что такое тор в $\mathbb R^4$? Это по определению произведение двух окружностей.
Тут именно что надо установить биекцию с самым обычным трехмерным тором (поверхность, заметаемая при вращении окружности). А если еще заметить, что биекция будет в обе стороны непрерывна, то вообще хорошо. Хотя, наверное, еще никакой непрерывности не обсуждается.

Вообще, задание нечеткое, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Декартово произведение.
Сообщение04.02.2015, 13:05 


10/02/11
6786
Есть гладкое многообразие "тор" в привычном нам смысле: бублик, полученный вращением окружности вокруг прямой в $\mathbb{R}^3$. Именно в таком виде он появляется первый раз во всех курсах анализа. И есть другое гладкое многообразие $S^1\times S^1$. Надо доказать, что эти многообразия диффеоморфны. В чем нечеткость?

-- Ср фев 04, 2015 13:11:37 --

Padawan в сообщении #973419 писал(а):
Если произведение рассматривать в $\mathbb R^4$, то задание вообще теряет смысл

по-моему в определение прямого произведения многообразий, никакие объемлющие пространства вообще не входят

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич. Декартово произведение.
Сообщение04.02.2015, 13:14 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Ну если "проиллюстрируйте геометрически" означает "докажите, что такое-то и такое-то многообразия диффеоморфны", то да, всё четко :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group