Индивидуальное задание по Аналетической геометрии

[KPbIC]

То что для вас казалось самым простым для меня почему то в первом задании осталось главной загадкой... Вот как найти прямую симметричную данной оси... Я тут сижу всю ночь мучаюсь над этими задачами надеюсь с утра кто-нить сжалиться и объяснит мне более подробно этот момент )

[Brukvalub]

KPbIC писал(а):

как найти прямую симметричную данной оси..

Используйте, например, то, что ось симметрии двух пересекающихся прямых является биссектрисой угла между ними.

[KPbIC]

У меня чтот из этого условия получаеться уравнение с двумя переменными... Или я не тем путём иду...
Я вот сначала нахожу угол между этими двумя прямыми, а потом пытаюсь найти координаты нормального вектора другой прямой зная угол... Хотя чтот это нетак уже элементарно... Наверно я всетаки не правильно делаю

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

KPbIC писал(а):

как найти прямую симметричную данной оси..

Используйте, например, то, что ось симметрии двух пересекающихся прямых является биссектрисой угла между ними.

На самом деле если хоть чуть-чуть уметь работать с векторными обозначениями, то никаких биссектрис не надо. Всё гораздо проще и изящнее.

Рассмотрим ситуацию в $\mathbb{R}^n$. Пусть некоторая гиперплоскость задана уравнением $(\mathbf{e},\mathbf{x})=f$, где скобки обозначают скалярное произведение, $f \in \mathbb{R}$, $\mathbf{e} \in \mathbb{R}^n$, $\| \mathbf{e} \| = 1$ и переменная $\mathbf{x}$ пробегает всё пространство $\mathbb{R}^n$. Выберем произвольную точку $\mathbf{x}_0$, принадлежащую этой гиперплоскости. Тогда $f = (\mathbf{e},\mathbf{x}_0)$. Если $\mathbf{y}$ --- произвольный элемент $\mathbb{R}^n$, а $\mathbf{y}'$ симметричен игреку относительно нашей гиперплоскости, то $\mathbf{y}' = \mathbf{x}_0 + (\mathbf{y}-\mathbf{x}_0) - 2(\mathbf{e}, \mathbf{y}-\mathbf{x}_0)\mathbf{e} = \mathbf{y} - 2(\mathbf{e},\mathbf{y})\mathbf{e} + 2f\mathbf{e}$. Пусть теперь есть другая гиперплоскость, задаваемая уравнением $(\mathbf{a},\mathbf{x})=b$ (здесь мы уже не требуем, чтобы вектор $\mathbf{a}$ имел единичную длину). Из предыдущего, выполнив подстановку, получаем, что уравнение гиперплоскости, симметричной второй гиперплоскости относительно первой, выглядит так:

$$ b = (\mathbf{a}, \mathbf{x}-2(\mathbf{e},\mathbf{x})\mathbf{e}+2f\mathbf{e}) = (\mathbf{a},\mathbf{x}) - 2(\mathbf{a},\mathbf{e})(\mathbf{e},\mathbf{x}) + 2f(\mathbf{a},\mathbf{e}) $$

или

$$ (\mathbf{a}-2(\mathbf{a},\mathbf{e})\mathbf{e},\mathbf{x}) = b - 2f(\mathbf{a},\mathbf{e}) $$

Вот и готова формула. Можно, кстати, применить её для нахождения симметричной прямой в интересующей нас задаче. Имеем $n = 2$ и

$$ \mathbf{e} = \left\langle\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right\rangle, \,\,\, f = -\frac{2}{\sqrt{5}}, \,\,\, \mathbf{a} = \langle 0,1 \rangle, \,\,\, b = 0, $$

$$ \mathbf{a} - 2(\mathbf{a},\mathbf{e})\mathbf{e} = \langle 0,1 \rangle - 2 \left( - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \left\langle \frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right\rangle = \left\langle\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right\rangle $$

$$ b-2f(\mathbf{a},\mathbf{e}) = 0 - 2 \left( - \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \left( - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = - \frac{4}{5} $$

Получается, что уравнение второй асимптоты для нашей гиперболы имеет вид

$$ 4x+3y+4=0 $$

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Если $y$ --- произвольный элемент $\mathbb{R}$, а $y'$ симметричен игреку относительно нашей гиперплоскости

Затем Вы складываете элементы разной размерности:

Профессор Снэйп писал(а):

$y' = x_0 + (y-x_0) - 2(e, y-x_0)e = y - 2(e,y)e + 2fe$

Разъясните пожалуйста способ сложения числа и вектора

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Затем Вы складываете элементы разной размерности...Разъясните пожалуйста способ сложения числа и вектора

Где, в каком месте я число с вектором складываю?

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

Всё, понял, что Вам не понравилось. Там опечатка была. Игрек --- это конечно же вектор. Исправил.

Добавлено спустя 3 минуты 44 секунды:

Давайте-ка я лучше вектора жирными буковками обозначать буду, а числа --- обычными. Наглядней выйдет. Щас поправлю всё.

Добавлено спустя 21 минуту 57 секунд:

Готово.

Кстати, на $\mathbb{R}^n$ не обязательно замыкаться. Всё изложенное годится и для произвольного гильбертового пространства. Возможно, там надо будет ещё потребовать, чтобы гиперплоскость, относительно которой рассматривается симметрия, была замкнутой (не уверен, что в случае, когда она незамкнута, понятие симметрии имеет смысл). Ну а если брать не скалярные произведения на вектора нормали к гиперплоскостям, а произвольные ортопроекции, то можно рассматривать симметрию относительно произвольных (замкнутых) аффинных подпространств, а не только симметрию относительно гиперплоскостей. Скажем, в $\mathbb{R}^3$ можно наряду с симметрией относительно плоскости рассматривать симметрию относительно прямой и симметрию относительно точки. И т. п.

[KPbIC]

Спасибо люди за помощь... но мне уже 1 и 3 особо ненужны... последнее тоже вроде как ненадо... Вот надо второе может... Там правда нефакт что и оно мне пригодиться, но шанс есть... По поводу второго вроде тут даже в ссылках которые вы мне давали ничего небыло

[Алексей К.]

Короче, если Вам для решения нужна вторая аисмптота, и если профессор не отпугнул Вас, то:
Первая симптота, $y=2x+2$, проходит через точку на оси абсцисс $(x=-1,y=0)$ с угловым коэффициентом $+2$.
Прямая, симметричная этой относительно оси абсцисс ('это синоним слова "прямая $y=0$") проходит через ту же точку $(x=-1,y=0)$ с угловым коэффициентом $-2$. Её уравнение --- $(y-0)=-2\cdot [x-(-1)]$, т.е. $y=-2x-2$.

Добавлено спустя 2 минуты 36 секунд:

типа припоздал

[Профессор Снэйп]

KPbIC писал(а):

По поводу второго вроде тут даже в ссылках которые вы мне давали ничего небыло

Вы лучше не формулы лихорадочно по учебникам разыскивайте, а в картинку всмотритесь И всё сразу станет просто и понятно.

Вот есть в пространстве плоскость, перпендикулярная оси $x$ и проходящая через начало координат. В этой плоскости нарисован эллипс. Где-то сбоку от плоскости находится точка. Эту точку соединили прямыми с точками эллипса, получился конус. Типа кулёк такой, похожий на тот, в котором семечки носят. Острие кулька --- это наша точка, а эллипс --- это типа овал, образуемый краем кулька.

Как написать уравнение этого конуса? Наш конус есть ни что иное, как объединение всех эллипсов, полученных из исходного эллипса гомотетией с центром в данной точке --- вершине конуса. Берёте произвольное $k \in \mathbb{R}$ и записывыете системку уравнений, состоящую из уравнения плоскости $x = f(k)$ и уравнения эллипса в координатах $y$ и $z$, полученного из нашего эллипса гомотетией с коэффициентом $k$ (и лежащего в указанной плоскости). Затем выражаете $k$ через $x$ (из уравнения плоскости), подставляете в уравнение эллипса (там помимо $y$ и $z$ ещё $k$ будет фигурировать), получаете уравнение от трёх переменных $x,y,z$, которое и будет искомым.

Добавлено спустя 3 минуты 31 секунду:

Алексей К. писал(а):

Первая симптота, $y=2x+2$

Э-э-э... В условие внимательно вчитайтесь

Прямая, задаваемая уравнением

$$ 2x-y+2=0 $$

это не асимптота гиперболы, а её ось. Асимптота же --- это ось абсцисс. Вот её как раз и надо симметрично отражать относительно оси. А вовсе не наоборот, как Вы хотите делать

[Алексей К.]

Профессор Снэйп писал(а):

Э-э-э... В условие внимательно вчитайтесь

Виноват... Делать такие штуки, прислушиваясь, не шагает ли по коридору начальник, --- нельзя! А как хорошо было год назад, когда я спокойно работал в простом советском институте! За это, наверное, и выгнали...

[Профессор Снэйп]

Алексей К. писал(а):

Делать такие штуки, прислушиваясь, не шагает ли по коридору начальник, --- нельзя! А как хорошо было год назад, когда я спокойно работал в простом советском институте! За это, наверное, и выгнали...

Ха!!! А я дома, наоборот, зависаю на форуме, а подруге говорю, что работаю. Она смотрит на экран, видит, что там формулы, формулы... и думает, что всё в порядке, что я действительно работаю. Формулы, имеющие отношение к работе в институте от формул, имеющих отношение к форуму она, слава Богу, не отличает