2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: Задача о двух конвертах
Сообщение31.01.2015, 13:14 
Аватара пользователя


22/07/08
886
Одесса
atlakatl в сообщении #971595 писал(а):
Так вероятность - считаем обычным способом - наличия там первой суммы $4/5$, а второй - только $1/5$.

Ну вот, вероятности нашли, решение есть, теперь можно попытаться подобрать к решению какую-нибудь задачу! :D
На самом деле Вы меня окончательно запутали. :-(
Мало того, что мы сейчас одновременно решаем пять задач: симметричный вариант и две ситуации, причем каждую с двух сторон, предложенные недавно grizzly, так ваш фокус с вероятностями относится разве что ко второй ситуации, причем как "с этой стороны", так и "с той стороны", и это при том, что я рассматривал первую... :mrgreen:
Короче, надо начинать все сначала...

-- Сб янв 31, 2015 12:29:33 --

atlakatl в сообщении #971595 писал(а):
Лукомор, с этим вариантом разбора я согласен.

Вы же не дочитали мой пост до конца!
Там после последней точки еще стоит смайлик. :mrgreen:
Смайлик имеет значение!
На самом деле я ровным счетом ничего не доказал, это была шутка.
Соль шутки в том, что, с одной стороны, из "системы уравнений" $X=2Y$ или $X=Y/2$ действительно получается в среднем $X=5Y/4$.
Но, с другой стороны, выразив $Y$ через $X$, то-есть $Y=X/2$ или $Y=2X$ получаем среднее $Y=5X/4$, приходя таким образом к абсурду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о двух конвертах
Сообщение31.01.2015, 13:53 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Лукомор в сообщении #971664 писал(а):
теперь можно попытаться подобрать к решению какую-нибудь задачу! :D

Будем думать. Не торопясь. Предсказываю красивый и неожиданный образ. Наводка: $4/5 \ctod (X/2) = 1/5 \ctod (2 \ctod X)$ - некий закон сохранения денег сквозит.
Лукомор в сообщении #971664 писал(а):
Вы же не дочитали мой пост до конца!
Там после последней точки еще стоит смайлик. :mrgreen:
Смайлик имеет значение!
На самом деле я ровным счетом ничего не доказал, это была шутка.

Не разбираюсь я в местных смайликах. Пробовал возмущаться их применением, теперь просто не обращаю внимания.
Не, я понял Ваш коммент как понял. Вы просто встали на Х-сторону стола и, выслушав аргументы Х-игрока, согласились с ним, - и не стали считать шансы со своей колокольни. Метод вполне законный (все применения законов сохранения столь же жульнически эффективны), но ... хотелось бы Y-ясности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о двух конвертах
Сообщение31.01.2015, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7985
Hogtown
Пока нет вероятностей, нет и математического ожидания выигрыша.

Разумеется, это не мешает определению "выгодно". Например: у игрока есть ровно одна попытка, после этого ему надо срочно купить билет и смыться, поскольку за ним охотится наемный убийца. Денег у него нет. Тогда, если в конверте у него сумма достаточная для покупки—то меняться ему невыгодно, если сумма недостаточная—выгодно (исключая тот случай, когда в конверте меньше половины цены билета).

Это определение уже не связано с матожиданием (и нет парадокса).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о двух конвертах
Сообщение31.01.2015, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1211
Самара
Внесу что ли свои $3X$ копеек..

Пусть в конверте с номером $0$ лежит $S_0=X$ денег, в конверте с номером $1$ - $S_1=2X$ денег.
Выбираем наудачу один конверт. Сумма, которую мы видим равна $S_\tau$, где
$$
\Prob\left\{\tau=0\right\}=\Prob\left\{\tau=1\right\}=\frac12.
$$

Интересуемся, каковы вероятности, что в другом конверте больше или меньше:
$$
\Prob\left\{S_{1-\tau}=2S_\tau\right\}=\underbrace{\Prob\left\{S_{1-\tau}=2X\,|\,S_\tau=X\right\}}_1
\underbrace{\Prob\left\{S_\tau=X\right\}}_{\frac12}+
\underbrace{\Prob\left\{S_{1-\tau}=4X\,|\,S_\tau=2X\right\}}_0
\underbrace{\Prob\left\{S_\tau=2X\right\}}_{\frac12}=\frac12.
$$
Подобным же образом получаем
$$
\Prob\left\{S_{1-\tau}=\frac12S_\tau\right\}=\frac12.
$$
То есть утверждение о том, что в другом конверте с равной вероятностью в 2 раза больше или в 2 раза меньше абсолютно верное. Но .. не надо после это делать вот такую ошибку
$$
ES_{1-\tau}\not=2S_\tau\Prob\left\{S_{1-\tau}=2S_\tau\right\}+\frac12S_\tau\Prob\left\{S_{1-\tau}=\frac12S_\tau\right\}=\frac54S_\tau
$$
ТОгда как
$$
ES_{1-\tau}=E\left(E\left(S_{1-\tau}|S_\tau\right)\right)=E\left(3X-S_\tau\right)=\frac32X=ES_\tau
$$
P.S. Здесь, как говорится, вам не тут!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о двух конвертах
Сообщение31.01.2015, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1211
Самара
Указанная ошибка имеет примерно те же корни, что и следующий простой пример:
Запишем некую функцию распределения некой случайной величины $\xi$, например так
$$
F_\xi(x)=\Prob\left\{\xi\leqslant x\right\}
$$
Однако,
$$
F_\xi(\xi)\not=\Prob\left\{\xi\leqslant\xi\right\}=1
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о двух конвертах
Сообщение01.02.2015, 08:32 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Лукомор в сообщении #971664 писал(а):
надо начинать все сначала...

Убедился, что объяснить "на пальцах" стратегию Y-стороны grizzly-варианта №1 не получится. Запутанность тамошних отношений между переменными достойна новеллы О'Генри.
Приведу только конечный результат.
Монеткой определяем, сколько положить на Y-сторону: $X/n$ или $n \ctod X$, $n=1, 2, 3, 4, ...$ В результате в конверте напротив оказывается $Y$ денег.
Так вероятность, что на X-стороне окажется $n \ctod Y$, равна только $1/n^2$ - и стремительно приближается к нулю при увеличении $n$.
Ожидаемый выигрыш Y-игрока при обмене составит $2 \ctod n \ctod X/(n^2+1)$, тоже уменьшаясь при росте $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о двух конвертах
Сообщение01.02.2015, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5040
Red_Herring в сообщении #971691 писал(а):
Разумеется, это не мешает определению "выгодно". Например: у игрока есть ровно одна попытка, после этого ему надо срочно купить билет и смыться, поскольку за ним охотится наемный убийца. Денег у него нет. Тогда, если в конверте у него сумма достаточная для покупки—то меняться ему невыгодно, если сумма недостаточная—выгодно (исключая тот случай, когда в конверте меньше половины цены билета).

Это определение уже не связано с матожиданием (и нет парадокса).


Ну здесь тоже не так сложно перевести всё на вероятностный язык. В данной формулировке, правда, выбор между нулевой и ненулевой вероятностью, т. е. между принципиальной невозможностью и возможностью. Можно считать, что это не вероятностный вопрос. Но если бы было два варианта, при которых можно спастись, и их пришлось бы сравнивать, то пришлось бы вводить мат. ожидание и т. п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о двух конвертах
Сообщение01.02.2015, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7985
Hogtown
g______d в сообщении #972164 писал(а):
то пришлось бы вводить мат. ожидание

Но это было бы матожидание чего-то отличного от суммы, а парадокс привязан именно к нему

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о двух конвертах
Сообщение02.02.2015, 14:01 
Аватара пользователя


22/07/08
886
Одесса
atlakatl в сообщении #972120 писал(а):
Монеткой определяем, сколько положить на Y-сторону: $X/n$ или $n \ctod X$, $n=1, 2, 3, 4, ...$ В результате в конверте напротив оказывается $Y$ денег.
Так вероятность, что на X-стороне окажется $n \ctod Y$, равна только $1/n^2$ - и стремительно приближается к нулю при увеличении $n$.

(Оффтоп)

Хочу такую монетку, у которой вероятность выпадения орла зависит от количества денег у соперника!!! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о двух конвертах
Сообщение02.02.2015, 15:05 
Аватара пользователя


22/07/08
886
Одесса
atlakatl в сообщении #972120 писал(а):
Приведу только конечный результат.
Монеткой определяем, сколько положить на Y-сторону: $X/n$ или $n \ctod X$, $n=1, 2, 3, 4, ...$ В результате в конверте напротив оказывается $Y$ денег.
Так вероятность, что на X-стороне окажется $n \ctod Y$, равна только $1/n^2$ - и стремительно приближается к нулю при увеличении $n$.
Ожидаемый выигрыш Y-игрока при обмене составит $2 \ctod n \ctod X/(n^2+1)$, тоже уменьшаясь при росте $n$.

Все неверно, пересчитать!
Ошибки:
1. Если мы монеткой определяем, сколько положить на Y-сторону, то на Y-стороне окажется примерно поровну конвертов с суммами
$n \ctod X$ и $X/n$, и, теперь, выбирая конверт на стороне Y мы с вероятностью $P=1/2$ выберем такой, что в нем будет $n \ctod X$ либо
$X/n$.
2. Мат. ожидание выигрыша на стороне Y, будет равно $2 \ctod n \ctod X/(n^2+1)$, но оценка ожидания выигрыша игроком Y при обмене конвертами составляет $(n^2+1)\ctod Y/2 \ctod n$, и возрастает при росте n, в то время как реальный выигрыш уменьшается...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group