Экстремум модуля

[Sinoid]

Подскажите, пожалуйста, как решить задачу:
Найти наибольшее и наименьшее расстояние от начала координат до точек заданной линии ($a>0$:
$\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=a$, $z$-комплексное число.
Ясно, что если как-нибудь будет получен минимум(максимум), то, применяя те же рассуждения относительно $\dfrac{1}{z}$, получу максимум (минимум), и, короче, второе число будет просто обратным первым, но как получить первое? Пытался записать так: $z+\dfrac{1}{z}=a(cos\phi+isin\phi)$, но на те корни, которые выплывают при решении относительно $z$, смотреть страшно. Еще пытался так: $z=x+ iy$, вроде бы получил, что при $a\leq\sqrt{2}$ искомый минимум есть $\dfrac{a^{2}-2+a\sqrt{a^{2}-4}}{2}$, чего быть не может! Слишком откровенных подсказок не давайте, просто, пожалуйста, подтолкните в нужную сторону, хочется уметь что-то самому.

[ИСН]

Вы график этого $\left|z+\dfrac{1}{z}\right|$ видели, для начала? На что он похож?

[provincialka]

Решения не знаю, так, мысли по поводу. Может представить слагаемые как векторы и использовать неравенство треугольника? Возможно, оно превратится в равенство как раз в экстремальных случаях?

[angor6]

Рискну навлечь на себя насмешки и предположу, что

$\left|z+\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{x^2+y^2}\sqrt{(x^3+xy^2+x)^2+(x^2y+y^3-y)^2}$.

[ex-math]

Воспользуйтесь показательной формой для $z$ и тем, что $|z|^2=z\overline{z}$.
Кроме того, надо хорошо представлять график функции $y=x+\frac1x$.

[Sinoid]

ИСН в сообщении #972092 писал(а):

Вы график этого $\left|z+\dfrac{1}{z}\right|$ видели, для начала? На что он похож?

Это что, в трехмерном пространстве, что ли?

[ИСН]

Ну да.

[Sinoid]

ИСН в сообщении #972349 писал(а):

Ну да.

Вы, наверное, пошутили, ха-ха-ха. Извините за мое исчезновение, просто допоздна думал, а когда дошло, включать комп уже не стал. Итак, я писал:

Sinoid в сообщении #972224 писал(а):

Это что, в трехмерном пространстве, что ли?

Оказалось, никакого трехмерного пространства не нужно! Меня напрягло, как использовать вот это

ex-math в сообщении #972200 писал(а):

надо хорошо представлять график функции $y=x+\frac1x$.

Ведь у меня комплексны числа, а в совете-действительные. Однако посмотрел на это

ex-math в сообщении #972200 писал(а):

Воспользуйтесь показательной формой для $z$ и тем, что $|z|^2=z\overline{z}$.

и понял: если $z=|z|e^{\phi i}$, то $|z|+\dfrac{1}{|z|}=\sqrt{a^{2}+4\sin^{2}\phi} $ вот где нужно поведение графика функции $y=x+\frac1x$! он "расходится" от прямой $x=1$ и поднимается вверх (я рассматриваю $x>0)$. Поэтому меньшая точка пересечения этого графика с прямой $y=a$ при $a>2$ уменьшается, а большая-увеличивается при увеличении $a$. Поэтому меньшее и большее значения $|z|$ (если они существуют), во-первых, являются точками пересечения одной прямой $y=a$ с графиком, а, во-вторых, нужно попробовать при максимуме $a^{2}+4\sin^{2}\phi$. Дальше все ясно. Спасибо всем.

-- 02.02.2015, 16:07 --

angor6 в сообщении #972141 писал(а):

$\left|z+\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{x^2+y^2}\sqrt{(x^3+xy^2+x)^2+(x^2y+y^3-y)^2}$

Я это тождество не проверял, но в 98 процентах такие подходы ничего не дают.

[iifat]

Sinoid в сообщении #972530 писал(а):

Вы, наверное, пошутили, ха-ха-ха

Простите за добрый совет, но слова ИСН таки лучше, имхо, воспринимать всерьёз — пока не выучите математику хотя бы вполовину его По крайней мере, в данном случае функция $\left|z+\frac1z\right|$ отображает комплексную плоскость в действительное число и, стало быть, представляет поверхность в трёхмерном пространстве.
Кстати говоря,

Sinoid в сообщении #972530 писал(а):

$|z|+\dfrac{1}{|z|}$

вот это к задаче отношения не имеет. Модуль суммы раскрывается совершенно не так.

[angor6]

Sinoid в сообщении #972530 писал(а):

angor6 в сообщении #972141 писал(а):

$\left|z+\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{x^2+y^2}\sqrt{(x^3+xy^2+x)^2+(x^2y+y^3-y)^2}$

Я это тождество не проверял, но в 98 процентах такие подходы ничего не дают.

Что ж, может быть. Но во всяком случае $\left|z+\frac{1}{z}\right|\ne|z|+\frac{1}{|z|}.$

[Sinoid]

iifat в сообщении #972573 писал(а):

но слова ИСН таки лучше, имхо, воспринимать всерьёз

Я так и воспринимаю, но и ИСН может пошутить над, по его мнению, лоботрясом. Просто, когда я писал про шутку, я думал (и, наверняка, так оно и есть), что ИСН еще до вот этого

ИСН в сообщении #972349 писал(а):

Ну да.

знал, что трехмерного пространства тут не нужно.

iifat в сообщении #972573 писал(а):

вот это к задаче отношения не имеет. Модуль суммы раскрывается совершенно не так.

Еще как имеет, благодаря этому не пришлось выходить в пространство, хватило плоскости.
А чему же, по-вашему, в данном случае равно

$$|z|+\dfrac{1}{|z|}$$

?

angor6 в сообщении #972582 писал(а):

Но во всяком случае $\left|z+\frac{1}{z}\right|\ne|z|+\frac{1}{|z|}.$

Так я это, вроде, и не утверждал.
И, angor6, пожалуйста, не обижайтесь, я никого не хотел обидеть, просто я с такими подходами столько прокопался с замороченными задачами, а результат получил буквально 2-3 раза.

[angor6]

Sinoid, я не обижаюсь. Но как всё-таки быть с неравенством треугольника? Я и iifat получили от Вас противоречащие друг другу ответы на сей счёт.

[arseniiv]

Sinoid, найдите нули и полюс $z + \frac1z$ — и будете хотя бы представлять, где соответствующие минимуму точки стоит, а где не стоит искать. Это близко к совету ИСН.

[ex-math]

arseniiv
Так он уже решил задачу. По крайней мере от того, что он написал выше, до ответа расстояние в одно квадратное уравнение.

[arseniiv]

Хм, я как-то плохо вчитался…