Переходные процессы в электрических цепях.

[Dmitry9876]

Здравствуйте, есть простейшая схема - идеальный источник напряжения последовательно с ключом и катушкой индуктивности. Как известно зависимость напряжения на индуктивности определяется выражением $U = -L \frac{dI}{dt} $ . То есть напряжение пропорционально скорости изменения тока через индуктивность с коэффициентом пропорциональности L - индуктивности катушки. После замыкания ключа напряжение на индуктивности будет постоянно а следовательно ток будет линейно возрастать. Как из этой формулы вывести зависимость тока I от времени t ? Получается это дифференциальное уравнение 1 порядка и физически понятно что решением его будет - прямая с углом наклона зависящим от коэффициента L. Но как решить его математически я не знаю... с чего начать....

[DimaM]

Напишите дифур, разделите переменные (ток налево, время направо) и проинтегрируйте обе части.

[OlegCh]

Dmitry9876 в сообщении #972103 писал(а):

идеальный источник напряжения последовательно с ключом и катушкой индуктивности

Чтобы избежать проблем при составлении и решении дифура, надо обязательно добавить в цепь сопротивление, которое после получения решения можно устремить к 0 (и тогда будет видно, к чему это может привести).

[Munin]

Ничего подобного.

[Dmitry9876]

Ну неувязки могут быть вроде при расчете идеальных цепей с емкостями, так как там ток ничем не ограничен получается и иногда в итоге полная ерунда.
Так, ну получается надо проинтегрировать $ \int dI = \int \frac {-L}{dt U} $
И как же мне от правой части взять интеграл? И правомерно ли вот так вот взять и разбить $ \frac {dI}{dt} $ ?

[warlock66613]

Dmitry9876 в сообщении #972251 писал(а):

И правомерно ли вот так вот взять и разбить $ \frac {dI}{dt} $ ?

"Так" - это как?

[Dmitry9876]

Ну то есть $dI$ унести в левую часть а $ \frac{1}{dt} $ оставить справа. Я думал это единое выражение - изменение тока за промежуток времени. Правильно ли я выражение для интегрирования составил?

[guryev]

Вообще-то, в другую часть переносят с обращением. Может, лучше $dt$ в левую часть перенести?

[warlock66613]

Dmitry9876 в сообщении #972269 писал(а):

Ну то есть $dI$ унести в левую часть а $ \frac{1}{dt} $ оставить справа.

Вы знаете основные правила обращения с уравнениями? Ну, что к обоим частям уравнения можно прибавлять равные части, отнимать. Можно домножить обе части на один и тот же ненулевой множитель, и разделить. Просто отрывать кусок уравнения от одной части и вписывать с другой стороны знака "равно" - нельзя.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #972308 писал(а):

Вы знаете основные правила обращения с уравнениями?

Ну, решение дифура с разделяющимися переменными - это немножко "вольность" по отношению к этим правилам. Всё-таки сначала всех поголовно учат, что $\dfrac{df}{dx}$ - это неделимый символ производной, и выковыривать из него отдельно числитель и знаменатель нельзя.

Но можно поначалу сказать "верьте нам, это работает", а потом "более подробно вы узнаете, как и почему, в курсе матанализа про обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)".

[warlock66613]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #972319 писал(а):

Всё-таки сначала всех поголовно учат, что $\dfrac{df}{dx}$ - это неделимый символ производной, и выковыривать из него отдельно числитель и знаменатель нельзя.

Вообще, сначала этот символ вводится именно как отношение дифференциалов, и именно в данном случае можно его так и понимать. Потом - да, переквалифицируют в неразрывное обзначение. Ну а потом оказывается, что разрывать можно, но не на числитель и знаменатель, а на $d/dx$ и $f$.

[Dmitry9876]

И все-таки, вот так вот сделать будет неправильно? $ U = -L \frac {dI}{dt}$ После разделения -
$dI = \frac{-L}{dt U}$

[Munin]

warlock66613 в сообщении #972320 писал(а):

Ну а потом оказывается, что разрывать можно, но не на числитель и знаменатель, а на $d/dx$ и $f$.

А ещё потом - что вообще на $d,f,d$ и $x$

(Оффтоп)

и палочку...

-- 01.02.2015 21:11:42 --

Dmitry9876 в сообщении #972322 писал(а):

И все-таки, вот так вот сделать будет неправильно? $ U = -L \frac {dI}{dt}$ После разделения -
$dI = \frac{-L}{dt U}$

Неправильно. Вы пропорции в школе решали?

[Dmitry9876]

А, точно. Попутал по невнимательности Вот так будет $dI = - \frac {dt U}{L}$
Теперь нужно проинтегрировать обе части? Ну интеграл от левой части будет равняться $I + C$. Кстати, а что делать с константой, всегда думал( но всегда при решении ее магически упускали куда-то во всех примерах. К чему она относиться? С правой частью уравнения сложнее. Под стандартные примеры из учебника не подходит и не знаю как взять интеграл.

P.S. Да, решали. Я еще в школе учусь) Пытаюсь разобраться в анализе электрических цепей...

[Munin]

По условиям задачи у вас $U$ и $L$ константы, так что с правой частью всё то же самое.

Константу писать не надо, надо писать определённые интегралы. Например, вы знаете, что переходной процесс начинается при значении тока $I=I_0,$ а в какой-то промежуточный момент оно равно $I_1.$ Значит, надо писать $\int\limits_{I_0}^{I_1}.$ Время при этом в начале было 0, а в тот самый промежуточный момент - $t_1.$ Аналогично.