Распределение по "Планку"

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #971352 писал(а):

Cos(x-pi/2) в сообщении #971301 писал:

Цитата:

где $v$ - усреднённая по трём акустическим ветвям скорость звука; в каждой такой ветви $\omega_{\mathbf{k}, j}=v_j |\mathbf{k}|,$ а усреднение определено формулой:
$\dfrac{3}{v^2} = \dfrac{1}{v_1^2}+\dfrac{1}{v_2^2} + \dfrac{1}{v_3^2}$.

А вот кстати, я призадумался, эти скорости же переходят друг в друга, при вращении кристалла? Там усреднение точно корректно, то есть, можно взять любое направление, три скорости для трёх поляризаций, и оглы?

Всё-таки для реального кристалла не написать формулу для $D(\omega);$ можно только численно рассчитать спектр частот и его плотность состояний. А эта "формула усреднения" лишь поясняет нам, почему в модельной формуле Дебая пишется коэффициент $3/v^2:$ потому что в реальном кристалле для каждого направления волнового вектора $\mathbf{k}$ имелась бы продольная волна с какой-то скоростью звука $v_1$ и две поперечные волны с какими-то скоростями звука $v_1$ и $v_2$. В кристаллах эти скорости звука сами зависят от направления волнового вектора, что не учитывается в модели Дебая.

С этой точки зрения модель Дебая лучше подходит для фононов в изотропной среде (если опять-таки игнорировать некоторые реалии жизни: в жизни-то не не всё так просто, потому что реальные "изотропные среды" это неупорядоченные системы атомов, например, типа стёкол, а неупорядоченность ведёт к "андерсоновской локализации" колебаний и к некоей специфике в плотности состояний.) В изотропной среде скорость продольного звука $v_{\parallel}$ и скорость поперечного звука $v_{\perp}$ не зависит от направления волнового вектора, причём скорости поперечного звука для двух поперечных мод одинаковы: $v_2=v_3=v_{\perp}.$ Поэтому в модельную дебаевскую плотность состояний $D(\omega)$ для изотропной среды войдёт множитель

$\dfrac{3}{v^2} = \dfrac{1}{v_{\parallel}^2}+\dfrac{2}{v_{\perp}^2}$ .

Входящие сюда скорости инвариантны к вращениям среды (но, конечно, продольная в поперечную не переходит, т.к. продольную волну никаким вращением в поперечную не превратить).

Кстати, наверное полезно заметить (для студентов), что плотность состояний фотонов в вакууме даётся такой же "формулой Дебая", но только без вклада продольных мод (т.к. продольных фотонов нет), и со скоростью света вместо скорости поперечного звука. Т.е. для фотонов вместо множителя $3/v^2$ надо в "формулу Дебая" подставить множитель $1/c^2+1/c^2=2/c^2,$ соответствующий сумме вкладов от двух поперечных мод со спектром $\omega_{\mathbf{k}, j}=c|\mathbf{k}|,$ где $j=1, \,2$ нумерует поляризацию фотонов; и тогда получается как раз формула плотности состояний фотонов в вакууме.

Munin в сообщении #971352 писал(а):

Cos(x-pi/2) в сообщении #971301 писал:

Цитата:

где $m$ - эффективная масса электрона

Для неизотропной долины её тоже можно усреднить, аналогично скорости звука. Например, в Si шесть анизотропных долин, но формула по сути та же самая (шестикратно умноженная).

Да. Только формула усреднения чуток другая, потому что масса входит в выражение для энергии электрона не так, как скорость в энергию фотона или фонона. В общем случае если имеется N эквивалентных долин ("эквивалентных" означает переходящих друг в друга при преобразованиях симметрии кристалла), и собственные значения тензора эффективной массы в каждой долине есть $m_1,$ $m_2$ и $m_3$, то в приведённой выше формуле плотности электронных состояний $g(E)$ надо подставить в качестве множителя $m^{3/2}$ выражение

$m^{3/2}=N \, (m_1m_2m_3)^{1/2}$ .

[druggist]

C равновесным "планковским" распределением связан один вопрос, который я безуспешно пытался прояснить на форуме "математика", может в физическом разделе кто-то может пояснить, что имелось в виду:

(Оффтоп)

druggist в сообщении #877560 писал(а):

В книге Шредера(М.Шредер Фракталы, хаос, степенные законы. 528 стр. Ижевск; РХД, 2001.) на стр.254 читаем:

Цитата:

...Возьмите пучок света, испускаемый старомодной лампой накаливания, и разделите его на две равные части. Число фотонов в половинных пучках будет неодинаковым, как не будет одинаковым и число фотонов в четвертных пучках, и т. д. Или рассмотрим электромагнитное излучение в полости, возникающее при нагреве ее стенок до определенной температуры. (Проделайте в стенке такой полости крохотное отверстие, и вы получите знаменитое излучение черного тела, описываемое формулой Планка.) Число фотонов в одной фазовой ячейке или число колебательных мод резонатора находится в соответствии с геометрическим распределением: добавьте один фотон, и соответствующая вероятность уменьшится в постоянное число раз, равное $m/(m + m)$, где $m$ — среднее число фотонов (задаваемое распределением Бозе-Эйнштейна). Дисперсия такого распределения $\sigma^2$ равна $m^2 + m$ , где первое слагаемое ($m^2$) происходит от случайных флуктуаций классического электромагнитного поля, индуцированных нагретыми стенками. Второе слагаемое ($m$) отражает «корпускулярность» энергии, обусловленную эйнштейновскими фотонами — частицами света, существование которых он вывел из добавочного т в выражении $\sigma^2= m^2 + m$. (Эта корпускулярность первоначально была введена Планком, чтобы согласовать теоретические выводы с экспериментальными данными.)
При больших $m$ можно считать, что $\sigma^2 \approx m^2$. Деление объема резонатора пополам приводит в этом случае к ожидаемой доле фотонов $p$ в одной его половине и $1-p$ — в другой. Если деление произведено так, чтобы максимизировать $p$, то $p\approx 0,6$, причем независимо от числа фотонов. При больших $m$ геометрическое распределение масштабноинвариантно, или самоподобно, так как $\sigma \sim m$. Таким образом, повторные деления объема продолжают распределять имеющиеся фотоны с самоподобным коэффициентом ветвления $p/( 1 -p) \approx 1,5$ до тех пор, пока их число не уменьшится настолько, что отношение $\sigma /m$ не будет более постоянным, а существование отдельных фотонов нарушит строгое самоподобие.
В случае лазерного излучения фотоны подчиняются распределению Пуассона $\sigma^2 \approx m$. Следовательно, масштаб распределения $\sigma \sim \sqrt m$ не пропорционален его среднему ($m$), и самоподобия не возникает.

Вопрос, каким образом получается коэффициент $p$ для бозонов примерно равный 0,6?

p.s. Насколько я понимаю, речь идет о дисперсии $\sigma^2$ геометрического распределения, а число фотонов в ячейке- это случайная величина обычно интерпретируемая как количество испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха»., $m$ - среднее или мат.ожидание.

[Pphantom]

Первоначальный смысл темы явно исчерпан, тема закрыта.

druggist, если хотите, попросите перенести в ПРР(Ф) уже существующую тему с этим вопросом. Размножать его по разным разделам и темам не стоит.

[Pphantom]

По просьбам участников содержательная часть темы выделена (путем частичного копирования) сюда: «Бозонный газ в полости» и открыта.