Мультипликативный случайный процесс

[druggist]

В книге Шредера(М.Шредер Фракталы, хаос, степенные законы. 528 стр. Ижевск; РХД, 2001.) на стр.254 читаем:

Цитата:

...Возьмите пучок света, испускаемый старомодной лампой накаливания, и разделите его на две равные части. Число фотонов в половинных пучках будет неодинаковым, как не будет одинаковым и число фотонов в четвертных пучках, и т. д. Или рассмотрим электромагнитное излучение в полости, возникающее при нагреве ее стенок до определенной температуры. (Проделайте в стенке такой полости крохотное отверстие, и вы получите знаменитое излучение черного тела, описываемое формулой Планка.) Число фотонов в одной фазовой ячейке или число колебательных мод резонатора находится в соответствии с геометрическим распределением: добавьте один фотон, и соответствующая вероятность уменьшится в постоянное число раз, равное $m/(m + m)$, где $m$ — среднее число фотонов (задаваемое распределением Бозе-Эйнштейна). Дисперсия такого распределения $\sigma^2$ равна $m^2 + m$ , где первое слагаемое ($m^2$) происходит от случайных флуктуаций классического электромагнитного поля, индуцированных нагретыми стенками. Второе слагаемое ($m$) отражает «корпускулярность» энергии, обусловленную эйнштейновскими фотонами — частицами света, существование которых он вывел из добавочного т в выражении $\sigma^2= m^2 + m$. (Эта корпускулярность первоначально была введена Планком, чтобы согласовать теоретические выводы с экспериментальными данными.)
При больших $m$ можно считать, что $\sigma^2 \approx m^2$. Деление объема резонатора пополам приводит в этом случае к ожидаемой доле фотонов $p$ в одной его половине и $1-p$ — в другой. Если деление произведено так, чтобы максимизировать $p$, то $p\approx 0,6$, причем независимо от числа фотонов. При больших $m$ геометрическое распределение масштабноинвариантно, или самоподобно, так как $\sigma \sim m$. Таким образом, повторные деления объема продолжают распределять имеющиеся фотоны с самоподобным коэффициентом ветвления $p/( 1 -p) \approx 1,5$ до тех пор, пока их число не уменьшится настолько, что отношение $\sigma /m$ не будет более постоянным, а существование отдельных фотонов нарушит строгое самоподобие.
В случае лазерного излучения фотоны подчиняются распределению Пуассона $\sigma^2 \approx m$. Следовательно, масштаб распределения $\sigma \sim \sqrt m$ не пропорционален его среднему ($m$), и самоподобия не возникает.

Вопрос, каким образом получается коэффициент $p$ для бозонов примерно равный 0,6?

p.s. Насколько я понимаю, речь идет о дисперсии $\sigma^2$ геометрического распределения, а число фотонов в ячейке- это случайная величина обычно интерпретируемая как количество испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха»., $m$ - среднее или мат.ожидание.

[svv]

Пусть $N$ — количество ячеек (очень большое число). Пусть $p_k$ — вероятность того, что в ячейке $k$ фотонов. Тогда число ячеек с $k$ фотонами $N_k\approx Np_k$.

Разделим ячейки на две равных группы (по $N/2$ ячеек), стремясь к тому, чтобы в первой группе было как можно меньше фотонов, а во второй как можно больше. Такое разделение, при котором в первой группе окажутся только ячейки с числом фотонов $\leqslant$ некоторого $\mu$, а во второй группе — только ячейки с числом фотонов $\geqslant \mu$, будет неулучшаемым. Число $\mu$ можно найти как минимальное целое, удовлетворяющее условию
$\sum\limits_{k=0}^{\mu}N_k\geqslant N/2$, или $\sum\limits_{k=0}^{\mu}p_k\geqslant 1/2$.

Найдем количество фотонов в первой группе:
$M_1=\sum\limits_{k=0}^{\mu}kN_k=N\sum\limits_{k=0}^{\mu}k p_k$
Это не совсем точно, потому что ячейки, в которых фотонов ровно $\mu$, могут относиться к обеим группам, но я это игнорирую.
Всего фотонов
$M=\sum\limits_{k=0}^{\infty}kN_k=Nm$
Тогда доля фотонов в первой группе
$1-p=\dfrac{M_1}{M}=\dfrac{\sum\limits_{k=0}^{\mu}kp_k}{m}$

Мне не хотелось возиться с суммами, поэтому я написал программу, которая для данного $m$ и вероятностей геометрического распределения $p_k=\frac{m^k}{(m+1)^{k+1}}$ (всё по Шрёдеру!) выдаёт $p$. Оказалось, что с ростом $m$ величина $p$ стремится к некоторой константе, только не той, что у Шрёдера: $0.846...$.

Второй способ не возиться с суммами — заменить геометрическое распределение ближайшим по свойствам непрерывным — экспоненциальным. Если количество фотонов $k$ в ячейке нормировать на среднее $m$, мы получим при больших $m$ распределение «почти непрерывной» величины $x=k/m$. При такой нормировке мат.ожидание будет $1$, следовательно, параметр распределения $\lambda=1$, а медиана будет $\ln 2$, и остается найти
$1-p=\int\limits_0^{\ln 2}xe^{-x}dx$
Это дает $p=(1+\ln 2)/2=0.846573...$, т.е. тот же результат, только не такой, как у Шрёдера. Можно утешиться тем, что его идея самоподобия подтверждается, а это самое главное.

[druggist]

svv, спасибо за ответ.
Меня смущает центральный тезис:

svv в сообщении #878112 писал(а):

Такое разделение, при котором в первой группе окажутся только ячейки с числом фотонов некоторого , а во второй группе — только ячейки с числом фотонов , будет неулучшаемым

В смысле максимизации доли частиц в одной половине ячеек - безусловно. Но это ли разбиение имелось в виду? Ведь речь идет о пространственном разделении на половинки(в случае пучка это деление на половины площади сечения пучка). Очевидно, "неулучшаемое" разбиение это скорее всего разделение на две несвязные области. Кроме того, неулучшаемое разбиение дает две системы с разным распределеием, та, с числом фотонов меньше некоторого $\mu$, будет по прежнему иметь геометрическое распределение, вторая будет иметь обрезанный хвост.
Возможно, максимизация доли может пониматься как такое пространственное разбиение, при котором бОльшая доля имеет превышение числа частиц, равное среднеквадратичному отклонению половины. Для распределения по всего двум ячейкам $M$ неразличимых частиц эта величина, очевидно, будет $1/2+1/4=0,75$, для бесконечного числа ячеек, скорее всего, еще меньше(но больше 0.5, поскольку дисперсия равна квадрату среднего).

[svv]

Меня это тоже смутило. Можно считать, что я выбрал ту интерпретацию, при которой получается легко решаемая задача. Конечно, сразу приходит в голову, что потому и получился такой завышенный результат, что я начал выковыривать изюм из булочки, вместо того чтобы честно разрезать булочку на две части и взять ту часть, где лишь чуть-чуть больше изюма благодаря дисперсии. Но как учесть, что ячейки делятся на две группы честно?

druggist в сообщении #878540 писал(а):

Возможно, максимизация доли может пониматься как такое пространственное разбиение, при котором бОльшая доля имеет превышение числа частиц, равное среднеквадратичному отклонению половины. Для распределения по всего двум ячейкам $M$ неразличимых частиц эта величина, очевидно, будет $1/2+1/4=0,75$, для бесконечного числа ячеек, скорее всего, еще меньше(но больше 0.5, поскольку дисперсия равна квадрату среднего).

Попробую промоделировать.

[svv]

Раз мы рассматриваем только пространственные разбиения, в игру вступают геометрические факторы. Как Вы полагаете, влияет ли на $p$ размерность области, в которую «организованы» ячейки? Мы можем считать, что область имеет форму шара, а любое законное разбиение осуществляется плоскостью, проходящей через центр. Так вот, навскидку, при равном числе фотонов в случае трехмерного шара у нас гораздо больше возможностей для разбиений, чем для круга, который разбивается прямой. Соответственно и $p$ для шара должно быть больше, чем для круга (интуитивно, для круга будет просто $p=0.5$, т.е. для достаточно большого общего числа фотонов невозможно выбрать разбиение, при котором части заметно различаются по количеству фотонов).