Распределение по "Планку"

[Pphantom]

jlecter в сообщении #971257 писал(а):

Предлагаю механизм: объем постоянно увеличивается. В таком случае фотоны будут терять энергию, но как количество самих фотонов будет уменьшаться?

Двумя сообщениями выше ответ на этот вопрос уже был написан.

[Munin]

jlecter в сообщении #971257 писал(а):

Предлагаю механизм: объем постоянно увеличивается.

Это не механизм. Раз у вас нет ящика, то и увеличиваться нечему.

jlecter в сообщении #971257 писал(а):

Как? Что случается с фотонами?

Зависит от того, как вы реализуете остывание.

jlecter в сообщении #971257 писал(а):

В каждом кубическом метре и каждом кубическом световом годе тоже фотонов стало меньше.

Да. По сравнению с кубическим метром в прошлом (и по сравнению со световым годом в прошлом).

Но нельзя сказать, что в кубическом метре меньше фотонов, чем раньше было в кубическом сантиметре.

jlecter в сообщении #971257 писал(а):

Это ведь значит, что с дальнейшим расширением концентрация фотонов уменьшится и, скажем, будет составлять один фотон на миллиард кубических световых лет.

Когда-нибудь так будет. Ну и что?

jlecter в сообщении #971257 писал(а):

Хороший пример, Вселенная. Изолированный объем, который заполнен фотонами.

Плохой пример, потому что вы и с ящиком-то ничего не понимаете, а тут ещё сложней условия.

jlecter в сообщении #971257 писал(а):

Если нечему поглощать фотоны, то они не исчезают?

Да. Удивительно!

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

ого, пока я потихоньку нашлёпывал свой текст, здесь почти две страницы прибавилось! Ну лан, всё равно свой тож запощу:

Обсуждающим распределение Планка, возможно, будет полезен такой комментарий: важно помнить (а об этом часто забывают студенты, и часто делают ошибочные выводы), что функция распределения Ферми-Дирака

$f_{k}=\dfrac{1}{e^{(E_k- \mu)/k_BT}+1}$

(где $\mu$ - хим. потенциал) и функция распределения Планка

$n_{k}=\dfrac{1}{e^{\hbar \omega_k/k_BT}-1}$

это среднее число частиц (в первом случае - электронов, во втором случае - фотонов, либо фононов, (либо других квазичастиц-бозонов с равным нулю хим. потенциалом, к которым применима модель идеального газа)) в заданном одночастичном квантовом состоянии. Т.е. - в состоянии с заданным набором квантовых числел $k.$ То есть, строго говоря, эти функции представляют собой не распределение частиц по энергии, а заселённость частицами разных квантовых состояний, характеризующихся квантовыми числами $k.$ Другими словами, аргументом этих функций изначально следует считать квантовые числа $k,$ а не энергию $E$ или $\hbar \omega.$ Под $k$ здесь понимается мультииндекс: набор величин, полностью определяющих одно квантовое состояние одной частицы.

В реальных задачах энергетические уровни частиц многократно вырождены, т.е. одно и то же значение энергии $E$ имеют состояния с разными квантовыми числами. Например, если квантовые состояния частиц аппроксимируются как "волны" с определённым волновым вектором $\mathbf{k}$ и с определённой поляризацией $j,$ то в изотропных моделях энергия частицы $E_{\mathbf{k}, j}$ не зависит от направления $\mathbf{k}$ и от значения индекса поляризации $j.$ Для упрощения записи эти квантовые числа вообще опускают и записывают функции распределения Ферми-Дирака и Планка как функции от энергии (или частоты): $f(E)$ и $n(\omega).$

Однако об этом упрощении записи следует помнить: нельзя, глядя только на эти функции, судить о количестве частиц с той или иной энергией и о вероятностях переходов частиц на шкале энергии. Среднее количестово частиц $dN$ в интервале энергии $dE$ определяется не только функциями распределения, но ещё и так называемой плотностью состояний (на шкале энергии):

$dN_{\text{фермионов}}=g(E)f(E)dE$ ,

где $g(E)$ - плотность электронных состояний в данном твёрдом теле. Аналогично и для бозонов. Так, для фотонов в макроскопической полости (в "ящике квантования" достаточно большого объёма $V$ имеем:

$dN_{\text{фотонов}}=\dfrac{V \omega^2}{\pi^2 c^3}n(\omega) d \omega$ ,

где множитель перед функцией Планка $n(\omega)$ есть плотность состояний фотонов на шкале частоты. Для фононов имеем:

$dN_{\text{фононов}}= D(\omega)n(\omega) d \omega$ ,

где $D(\omega)$ - фононная плотность состояний в данном твёрдом теле, т.е. плотность сотояний колебательных мод кристаллической решётки. (Её можно записать и как $D(E),$ если выразить переменную $\omega$ через $E=\hbar \omega.$)

Плотность состояний $g(E)$ и $D(E)$ не описывается в общем случае какими-либо универсальными функциями, а зависят от конкретного вида электронного и фонного спектра в конкретном твёрдом теле, т.е. зависит "от материала".

Электронный спектр энергии может иметь сложную зонную структуру, со многими ветвями (так что, дискретное квантовое число $j$ включает не только указатель спиновой поляризации, но и номер зоны), часть из которых перекрывается на шкале энергии, а от других ветвей отделяется энергетическими щелями - "запрещёнными зонами". В различных кристаллах картина зонной структуры разная, а потому и вид $g(E)$ разный; как правило, сложный.

То же относится и к фононным спектрам. В простых кристаллических решётках имеются три "акустические" ветви собственных частот, а в сложных решётках (с двумя или более атомами на элементарную ячейку) добавляются "оптические" ветви: $3s-3$ штук, где $s$ - количество атомов в элементарной ячейке; общее число ветвей равно $3s$. Вот для примера фононный спектр кристалла GaAs (кубическая симметрия, 2 атома на ячейку); плотность состояний показана зачернённым вертикальным графиком справа (DOS - density of states):



Суммарное среднее количество энергии $dW$, которую имеют частицы, находящиеся в квантовых состояниях в интервале энергии $dE$ на шкале одночастичной энергии $E$, равно среднему количеству частиц, умноженному на $E$, т.е. оно тоже зависит от плотности состояний:

$dW_{\text{электронов}}=Eg(E)f(E)dE$ ,

$dW_{\text{фотонов}}=\dfrac{V \hbar \omega^3}{\pi^2 c^3}n(\omega) d \omega$ ,

$dW_{\text{фононов}}= \hbar \omega D(\omega)n(\omega) d \omega$ .

Проинтегрировав эти выражения, получим среднее количество энергии $W_{\text{электронов}},$ $W_{\text{фотонов}},$ и $W_{\text{фононов}},$ имеющейся в электронной, фононной и фотонной подсистемах системы "твердое тело с полостью плюс фотоны в полости". Отсюда понятно, что "раскладка" суммарной энергии системы по подсистемам и по диапазонам шкалы $E$ не универсальна, а тоже зависит от материала, т.к. определяется разного рода плотностью состояний в материале.

Стоит ещё раз подчеркнуть, что функции распределения Ферми-Дирака и Планка (и выводы с их применением) справедливы в приближении "идеального газа", т.е. в пренебрежении энергией взаимодействия частиц друг с другом. Это не означает полного пренебрежения взаимодействием. Можно представлять себе дело так, будто акты взаимодействия частиц достаточно редкие, но именно они в пределе $t \to \infty$ (что на практике может означать $t>> \tau,$ где $\tau$ - среднее время между актами взаимодействия частиц) приводят к установлению термодинамического (теплового) равновесия в подсистемах и между подсистемами.

Скорости переходов (т.е. вероятности переходов за единицу времени) частицы из одних состояний в другие пропорциональны текущему количеству заселённых состояний, а в случае бозонов ещё и "плюс единица"; и пропорциональны количеству состояний, в которые частицы могут переходить. Кроме того, в них входит ещё одна модельно-зависимая величина: квадрат модуля т.н. матричного элемента оператора взаимодействия, малый в меру малости энергии взаимодействия. Т.е. вероятности переходов тоже "материало-зависимы" - они зависят от картины энергетического спектра частиц и плотности состояний в данном материале, от матричных элементов и соответствующих им "правил отбора".

Поэтому и динамика установления теплового равновесия в системе зависит от материала, от устройства системы; она может быть сложной и разной на разных интервалах времени. Но итог один: в состоянии равновесия все подсистемы характеризуются одним и тем же параметром $T$ - температурой, и, кроме того, - универсальными функциями распределения частиц по квантовым состояниям, которые зависят от $T$ и от химических потенциалов (разных для частиц разного сорта). Отсюда понятно, что из одних только функций распределения не следует пытаться восстановить предысторию установления теплового равновесия. Понятно также, что все подсистемы, находящиеся в тепловом равновесии друг с другом, с этой точки зрения равноправны: не следует думать, например, что электроны важнее фононов или фотонов.

Кстати, тот факт, что обсуждаемые здесь функции распределения не зависят "от материала" используется в некоторых учебниках для быстрого их "вывода"; так, функцию Планка $n_k$ частенько "выводят" в модели, где стенки полости состоят из воображаемых 2-уровневых атомов, с энергиями электронных уровней $E_1$ и $E_2,$ подобранными так, что их разность, делённая на $\hbar,$ как раз равна частоте заданной фотонной моды $\omega_k.$

Ещё один важный аспект теплового равновесия - наличие флуктуаций. Функции Ферми-Дирака $f_k$ и Планка $n_k$ дают среднее по тепловым флуктуациям число частиц в k-ом состоянии. Число частиц флуктуирует, оно не равно всё время среднему значению. В случае фермионов в каждом квантовом состоянии может найтись либо одна частица, либо ноль частиц; вероятность найти одну частицу в k-ом состоянии совпадает с $f_k.$ В случае бозонов ситуация иная. Вероятность $P_n $найти заданное число фотонов n в k-ой моде равна:

$P_n=\dfrac{e^{-n \hbar \omega /k_BT}}{\sum_n e^{-n \hbar \omega /k_BT}}=\dfrac{n_k^n}{(1+n_k)^{1+n}}$ .

Так, при при среднем числе фотонов k-ой моды в полости $n_k=1$ мы с вероятностью $0,5$ не обнаружим ни одного фотона, с вероятностью $0,25$ обнаружим 1 фотон, с вероятностью $0,125$ обнаружим 2 фотона и т.д. Вот на сей счёт картинка из учебника Лоудона "Квантовая теория света":

[Munin]

Cos(x-pi/2)
Очень хороший текст. Предлагаю дополнить его формой $g(E)$ в нулевом приближении у края зоны для фононов (акустической ветви) и фермионов. Чтобы можно было делать некоторые "оценки на пальцах" и качественные рассуждения по размерности.

[jlecter]

Munin в сообщении #971264 писал(а):

Это не механизм. Раз у вас нет ящика, то и увеличиваться нечему.

Увеличивается объем фотонного газа.

Munin в сообщении #971264 писал(а):

Зависит от того, как вы реализуете остывание.

Повторяю. Ничего не поглощает фотоны. Есть только фотонный газ, объем которого увеличивается (длина волны каждого фотона расет, энергия уменьшается). Но как это может отражаться на количестве фотонов?

Munin в сообщении #971264 писал(а):

Когда-нибудь так будет. Ну и что?

Вот-вот. А многие ЗУ твердили, что в отдаленном будущем фотоны все равно будут везде, в каждой точке пространства.

Munin в сообщении #971264 писал(а):

Да. Удивительно!

То есть в описанном фотонном газе количество фотонов будет оставаться неизменным?

[Munin]

(Оффтоп)

Cos(x-pi/2) в сообщении #971266 писал(а):

Вот для примера фононный спектр кристалла GaAs (кубическая симметрия, 2 атома на ячейку)

Я правильно разглядел, что акустическая LA и оптическая LO ветви переходят друг в друга на участке WL?

-- 30.01.2015 19:33:05 --

(Оффтоп)

Знак $\gg$ набирается \gg , и в обратную сторону \ll .

-- 30.01.2015 19:35:16 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #971266 писал(а):

Стоит ещё раз подчеркнуть, что функции распределения Ферми-Дирака и Планка (и выводы с их применением) справедливы в приближении "идеального газа", т.е. в пренебрежении энергией взаимодействия частиц друг с другом.

Это о чём речь? Если не о режиме сильной связи, то я готов спорить, что они и при наличии взаимодействия остаются неизменными. Разумеется, в смысле среднего по ансамблю.

-- 30.01.2015 19:42:14 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #971266 писал(а):

Скорости переходов (т.е. вероятности переходов за единицу времени) частицы из одних состояний в другие пропорциональны текущему количеству заселённых состояний, а в случае бозонов ещё и "плюс единица"; и пропорциональны количеству состояний, в которые частицы могут переходить.

Одной оговоркой о бозонах не отделаться. Там более большие и подробные правила и в случае бозонов, и в случае фермионов. Так что, лучше оставить фразу как есть, и упомянуть, что она без поправок верна только для "больцманонов".

-- 30.01.2015 19:44:47 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #971266 писал(а):

Кроме того, в них входит ещё одна модельно-зависимая величина: квадрат модуля т.н. матричного элемента оператора взаимодействия, малый в меру малости энергии взаимодействия.

Мне кажется, здесь речь идёт не об "энергии" взаимодействия, а об интенсивности взаимодействия (амплитуда, константа связи, у неё много названий). Эта величина, в каком-то смысле, "перпендикулярна" энергии. Хотя в некоторых случаях, входит в энергию как множитель.

-- 30.01.2015 19:45:46 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #971266 писал(а):

Но итог один: в состоянии равновесия все подсистемы характеризуются одним и тем же параметром $T$ - температурой, и, кроме того, - универсальными функциями распределения частиц по квантовым состояниям, которые зависят от $T$ и от химических потенциалов (разных для частиц разного сорта).

И от статистики частиц: Бозе, Ферми, Больцман.

-- 30.01.2015 19:52:44 --

jlecter в сообщении #971272 писал(а):

Увеличивается объем фотонного газа.

Повторяю, это не механизм. Это просто пожелание: "хочу скатерть-самобранку".

jlecter в сообщении #971272 писал(а):

Вот-вот. А многие ЗУ твердили, что в отдаленном будущем фотоны все равно будут везде, в каждой точке пространства.

Вот я не понимаю, какими мозгами и сколько умственных усилий надо приложить, чтобы не заметить, что одно другому не противоречит?

Если есть один фотон на миллиард кубических световых лет, то это просто значит, что везде, в каждой точке будет $\dfrac{\text{объём точки}}{\text{1 млрд куб. св. лет}}$ фотона. В среднем. Будут и флуктуации этого числа, в плюс и в минус. Иногда будут встречаться два фотона - просто очень редко.

Вы на самом деле такой осёл, или специально прикидываетесь?

jlecter в сообщении #971272 писал(а):

То есть в описанном фотонном газе количество фотонов будет оставаться неизменным?

Я не буду отвечать на вопросы, на которые уже отвечал. Мне не интересно повторять одно и то же много раз.

[amon]

Munin в сообщении #971273 писал(а):

Если не о режиме сильной связи, то я готов спорить, что они и при наличии взаимодействия остаются неизменными. Разумеется, в смысле среднего по ансамблю.

Боюсь, проспорите. Для бозонов при низких температурах выпадет конденсат, и перестроится вакуум со всеми вытекающими. Для фермионов есть теория Ландау для Ферми-жидкости. В ней показано, что сохраняется "подобие" (в смысле - похожесть) распределения взаимодействующих фермионов распределению Ферми-Дирака. Эта наука хорошо работает для металлов (не сверхпроводящих!), но в ее "всепригодности" сейчас есть большие сомнения. В точно решаемых (одномерных) моделях распределения Ферми-Дирака (при T=0) часто нет. Так, что если спорить, то в рукаве что-нибудь обязательно найдем ;)

[Munin]

Интересно, спасибо. Учебники для начинающих какие порекомендуете.

[jlecter]

Munin в сообщении #971273 писал(а):

Если есть один фотон на миллиард кубических световых лет, то это просто значит, что везде, в каждой точке будет $\dfrac{\text{объём точки}}{\text{1 млрд куб. св. лет}}$ фотона.

Как Вы сказали, фотон точечная частица. А значит, в объеме миллиард куб.св.лет это лишь одна точка. Весь остальной объем-пустота.

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #971271 писал(а):

Предлагаю дополнить его формой $g(E)$ в нулевом приближении у края зоны для фононов (акустической ветви) и фермионов. Чтобы можно было делать некоторые "оценки на пальцах" и качественные рассуждения по размерности.

Да. Плотность состояний колебаний простой 3-мерной кристаллической решётки в т.н. модели Дебая:

$D(\omega)=V_{\text{крист}}\, \dfrac{3\omega^2}{2\pi^2v^3}$ ,

где $v$ - усреднённая по трём акустическим ветвям скорость звука; в каждой такой ветви $\omega_{\mathbf{k}, j}=v_j |\mathbf{k}|,$ а усреднение определено формулой:

$\dfrac{3}{v^2} = \dfrac{1}{v_1^2}+\dfrac{1}{v_2^2} + \dfrac{1}{v_3^2}$ .

Плотность состояний для электрона в 3-мерном кристалле в модели "простой изотропной зоны", т.е. для одной ветви энергетического спектра вида $E_{\mathbf{k}, j}=(\hbar |\mathbf{k}|)^2/(2m),$ где $m$ - эффективная масса электрона, $j$ - спиновый индекс с двумя значениями, ноль отсчёта энергии выбран "на дне" зоны:

$g(E)=V_{\text{крист}} \, \dfrac{4 \pi (2m)^{3/2}}{(2 \pi \hbar)^3} \, \sqrt{E}$

В этих формулах $V_{\text{крист}}$ - объём кристалла. плотность состояний электронов здесь записана уже с учётом "спиновой двойки", т.е. она просуммирована по двум возможным проекциям проекции элекетронного спина (плотность состояний в расчёте на одну проекцию спина получится делением указанного выражения на $2$).

[amon]

Munin в сообщении #971290 писал(а):

Учебники для начинающих какие порекомендуете.

Не знаю, как для начинающих, а для Вас -

про теорию Ландау
Абрикосов, Горьков, Дзялошинский Методы квантовой теории поля в статистической физике

Про бозоны, становящиеся фермионами, и при этом не имеющие распределения Ферми-Дирака

Боголюбов,Изергин,Корепин Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи. (Первую главу, ее, в отличии от остальных, понять можно легко)

К стати, три акустических фонона - это Голдстоуновские бозоны.

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #971273 писал(а):

Я правильно разглядел, что акустическая LA и оптическая LO ветви переходят друг в друга на участке WL?

Из рисунка трудно понять, но может быть и переходят. Дело в том, что участок WL лежит на границе зоны Бриллюэна, т.е. там, где качественное различие между "акустическими" и "оптическими" типами колебаний невелико.

-- 30.01.2015, 20:53 --

Munin в сообщении #971273 писал(а):

Cos(x-pi/2) в сообщении #971266 писал:

Цитата:

Стоит ещё раз подчеркнуть, что функции распределения Ферми-Дирака и Планка (и выводы с их применением) справедливы в приближении "идеального газа", т.е. в пренебрежении энергией взаимодействия частиц друг с другом.

Это о чём речь? Если не о режиме сильной связи, то я готов спорить, что они и при наличии взаимодействия остаются неизменными. Разумеется, в смысле среднего по ансамблю.

Здесь имеется ввиду, что энергия системы частиц может быть записана как сумма одночастичных энергий, без члена, представляющего собой энергию взаимодействия частиц. Другими словами, предполагается допустимость понятия "одночастичное стационарное состояние", с определённой энергией $E_k$.

В случае нормальной (несверхпроводящей) системы электронов проводимости в металлах это действительно хорошее приближение, потому что даже при учёте заведомо немалого кулоновского взаимодействия между электронами срабатывает "теория ферми-жидкости" Ландау, т.е. можно ввести понятие слабо взаимодействующих квазичастиц, о которых мы обычно и говорим как об электронах в зоне проводимости.

Но есть и другие ситуации; в них межэлектронное взаимодействие (т.н. "корреляционные эффекты") существенно меняет статистические свойства системы. Один пример - сверхпроводящий конденсат электронных пар. В нём затруднительно ввести представление об одночастичных энергиях, а распределение электронов по импульсам не описывается функцией Ферми-Дирака. Менее "экзотический" пример - распределение электронов по примесным уровням в полупроводниках. Хотя здесь в каждом локализованном на примеси состоянии электрон по-прежнему может иметь любую из двух проекций спина, однако нельзя при подсчёте количества электронов просто умножать функцию Ферми-Дирака на "спиновую двойку" - потому что, когда на один и тот же примесный центр садится второй электрон (с другой проекцией спина), энергия двух электронов резко возрастает: на величину межэлектронного кулоновского отталкивания. Этот корреляционный эффект приводит к тому, что формула Ферми-Дирака в исходном виде не применима и должна быть модифицирована, если под энергией $E_k$ в ней понимать энергию локализованного электронного состояния.

С бозе-системами, предполагаю, ситуация аналогичная: взаимодействие бозе-атомов заметно усложняет свойства таких систем (а иначе теория бозе-конденсатов была бы элементарна; правда, в этой области я скорее осло, чем копенгаген).

-- 30.01.2015, 21:22 --

(Оффтоп)

Наконец-то прочитал повнимательнее посты, и вижу, что amon уже ответил на всё раньше. У меня "быстродействие" никудышнее; лана, перехожу в "читатели"

-- 30.01.2015, 21:24 --

Munin в сообщении #971273 писал(а):

Мне кажется, здесь речь идёт не об "энергии" взаимодействия, а об интенсивности взаимодействия (амплитуда, константа связи, у неё много названий). Эта величина, в каком-то смысле, "перпендикулярна" энергии.

Да, согласен.

[Munin]

jlecter в сообщении #971294 писал(а):

Как Вы сказали, фотон точечная частица.

А ещё она квантовая. Хотите в демагогии упражняться? Вы для этого выбрали неподходящий форум. Здесь оказывают помощь тем, кто в ней нуждается. А не потакают болтунам.

-- 30.01.2015 22:12:00 --

amon в сообщении #971302 писал(а):

Не знаю, как для начинающих, а для Вас

Ну, вы меня не переоценивайте. В стата́х я на уровне первых учебников типа Киттеля, и первых учебников по ФТТ, типа Ашкрофта-Мермина, да и то прочитанного по диагонали. Знаю слово "кинетика" :-)

[jlecter]

Munin в сообщении #971345 писал(а):

А ещё она квантовая. Хотите в демагогии упражняться? Вы для этого выбрали неподходящий форум. Здесь оказывают помощь тем, кто в ней нуждается. А не потакают болтунам.

Я не хочу упражняться в демагогии. Я просто хочу понять. Вот и все. Если мы говорим, что "один фотон на миллиард куб.св. лет", это значит, что этот фотон занимает весь этот объем? Фотон ведь представляет собой волновой пакет, да? То есть это волновой пакет занимает такой огромный объем?

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #971301 писал(а):

где $v$ - усреднённая по трём акустическим ветвям скорость звука; в каждой такой ветви $\omega_{\mathbf{k}, j}=v_j |\mathbf{k}|,$ а усреднение определено формулой:
$\dfrac{3}{v^2} = \dfrac{1}{v_1^2}+\dfrac{1}{v_2^2} + \dfrac{1}{v_3^2}$.

А вот кстати, я призадумался, эти скорости же переходят друг в друга, при вращении кристалла? Там усреднение точно корректно, то есть, можно взять любое направление, три скорости для трёх поляризаций, и оглы?

Cos(x-pi/2) в сообщении #971301 писал(а):

где $m$ - эффективная масса электрона

Для неизотропной долины её тоже можно усреднить, аналогично скорости звука. Например, в Si шесть анизотропных долин, но формула по сути та же самая (шестикратно умноженная). (Примечание в сторону.)

Cos(x-pi/2) в сообщении #971305 писал(а):

Здесь имеется ввиду, что энергия системы частиц может быть записана как сумма одночастичных энергий, без члена, представляющего собой энергию взаимодействия частиц. Другими словами, предполагается допустимость понятия "одночастичное стационарное состояние", с определённой энергией $E_k$.

Это всё-таки намекает на режим сильной связи, как я понимаю. А, не, и на коллективные эффекты. Наконец-то допёр, о чём amon говорил (про перестройку вакуума).

-- 30.01.2015 22:31:36 --

amon в сообщении #971302 писал(а):

К стати, три акустических фонона - это Голдстоуновские бозоны.

О! А это я знаю!!! :-)