Не дается задачка по матану за 2 курс

[izirekter]

Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда, вписанного в прямой круговой конус, радиус основания которого равен 8, а высота - 10.
Звучит очень легко, но я просто застопорился. Выглядит как задача на метод множителей Лагранжа, но т.к. даны числа, то вроде можно просто геометрией решить. Короче, я запутался) Буду благодарен если кто поможет)

[ex-math]

Разумно предположить, что он ровненько стоит на торце. Тогда все сводится к плоской задаче. Геометрией вряд ли удобно, а вот свести к экстремуму функции одной переменной можно.

[izirekter]

Я не совсем понимаю что у параллелепипеда можно назвать торцом) просто одна из граней? Я пытался решить так: основание параллелепипеда=квадрат, т.к. у него наибольшая площадь среди прямоугольников вписанных в круг. Тогда его диагональ это 16, дальше уже легко найти и высоту параллелепипеда. Но, видимо, в моих суждениях есть ошибка, т.к. на ответ не похоже)

[ex-math]

С чего это 16? Квадрат же вписан не в основание конуса, а в окружность, находящуюся на высоте $h$. Ее радиус можно выразить через $h$.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Hasek]

Если угол раствора конуса $\theta$, то объём параллелепипеда выражается как $V=2R^2h$, а радиус $R$ и высота $h$ связаны соотношением $R=h\tg\theta$.

[Neos]

Hasek, $V=V(h)$, действительно должно быть. Но у Вас получилась линейная зависимость. Где здесь максимум? А объем V$, очевидно при $V(0)=0$, и $V(10)=0$.
Поэтому $V$ имеет максимум при $0 <h<10$ . Т.е. функцию V(h) нужно "доработать". Здесь $h$ - высота параллелепипеда.

[Hasek]

Neos в сообщении #970899 писал(а):

Hasek, $V=V(h)$, действительно должно быть. Но у Вас получилась линейная зависимость. Где здесь максимум? А объем V$, очевидно при $V(0)=0$, и $V(10)=0$.
Поэтому $V$ имеет максимум при $0 <h<10$ . Т.е. функцию V(h) нужно "доработать". Здесь $h$ - высота параллелепипеда.

Согласен, не прав. $V=2R^2(h-10)$, уравнение связи то же, тогда максимум объёма получится при $h=6\frac{2}{3}$.

[Neos]

Hasek, уже "ближе". А как Вы использовали $ \tg\theta $ ?
$h$ должно входить как $-h^{2}$, т.е. перевернутая парабола. Затем, в формуле должен быть $\sqrt{2}$ - окружность проходит через вершины квадрата. Вычислите длину его стороны.

[Hasek]

Neos,

Цитата:

А как Вы использовали $ \tg\theta $ ?

$\tg \theta$ я действительно забыл использовать, в заданной топикстартером конфигурации его можно вычислить и получается $\tg \theta = 0,8$.

Цитата:

$h$ должно входить как $-h^{2}$, т.е. перевернутая парабола.

Не понимаю, почему Вы всё же хотите заменить $h$ на $-h^2$? Объём параллелепипеда записан как произведение основания (квадрат, вписанный в круг) на высоту, а уравнение связи -- не что иное как уравнение конуса в цилиндрических координатах, если не ошибаюсь.

Цитата:

Затем, в формуле должен быть $\sqrt{2}$ - окружность проходит через вершины квадрата. Вычислите длину его стороны.

Площадь квадрата, вписанного в круг радиуса $R$ -- это $2R^2$.

[izirekter]

В ответе измерения параллелепипеда ​$2r\sqrt{\frac23}$, $2r\sqrt{\frac23}$, $h/3$
И я абсолютно не понимаю как могло это получиться
Я нарисовал осевое сечение конуса и подставил туда $h/3$ как высоту параллелепипеда. Получил $x=2r/3$, т.е. как в ответе но без корня. Где я ошибаюсь?

[ex-math]

Наверно, в ответе все же $2r\sqrt 2/3$. Вы не учитываете, что $x$ -- это не сторона основания, а половина его диагонали.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

izirekter
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[izirekter]

Да, видимо $2r\sqrt{2}/3$
Преподаватель сегодня сказал найти высоту через подобие треугольников, сижу делаю, пока что я так выражаю, что у меня все сокращается)

[Neos]

izirekter, ваша задача относится к классу задач на экстремум. Все они решаются по одной схеме.
1. Величина (в данном случае объем параллелепипеда вписанного в конус), выражается в виде функции от одной переменной, ( в данном случае $h$ - высота параллелепипеда).
2. Берется первая производная и приравнивается нулю.
3. Решается уравнение $dV/dh=0$ и находится $h_{\max}$
4. В выражение для $V$ подставляете $h_{\max}$ и получаете $V_{\max}$. Все. И тысячи задач решаются по этой схеме.
==============================================
Дано:
H - высота конуса
R - радиус основания конуса
-------------------------------
$V_{\max} = ? $

РЕШЕНИЕ. Пересечем конус плоскостью, параллельной основанию на высоте $h$ от основания. В результате пересечения плоскости и конуса получили окружность. Впишем в нее квадрат. Вычислим площадь квадрата. Половина диагонали его равна радиусу $r$ описанной. Радиус $r$ находим из подобия треугольников, или используя определение тангенса, что фактически одно и то же.

izirekter, аккуратно вычислите площадь квадрата у умножьте на высоту $r$.
Получите некую кубическую функцию $V = V(h) $. И действуете по схеме.

PS. Корня квадратного в результате нет, он "возвелся в квадрат" при вычислении площади квадрата. Насчет просто параболы я тоже "промахнулся". Мы имеем кубическую параболу.
Полагаю, что это не "халява", вам есть что посчитать.