Задача о двух конвертах

[g______d]

Lukum в сообщении #971044 писал(а):

Наприме, задача.
Оценить неизвестное число $N$ - число конвертов в мешке.
Конверты все пронумерованы от $1$ до $N$.
Позволено вытащить один конверт из мешка и узнать его номер.

В этой задаче вообще нет понятия "более выгодно" и "менее выгодно".

grizzly в сообщении #971051 писал(а):

В этом случае без ТВ очевидно, что игра стала 50-50

Без ТВ не понятно, что значит 50-50.

grizzly в сообщении #971051 писал(а):

Ответы в этих ситуациях можно поставить в зависимость от функций распределения, но этот ответ не будет зависеть от N. Это просто понять и с математическими выкладками (это объяснялось на пару страниц выше) и без них.

А что является ответом в такой задаче? Если Вы скажете, что ответом будет "наиболее выгодная стратегия", то следующим моим вопросом будет что такое наиболее выгодная стратегия.

[grizzly]

Лукомор в сообщении #971005 писал(а):

надеюсь, я нигде не накосячил?

Спасибо за ответы. Во второй ситуации выбор стратегии неоптимальный (см. ниже), но в любом случае всё "житейское" сказано верно. А придираться к особой мат.аккуратности я здесь не хочу и не буду.

Лукомор в сообщении #971005 писал(а):

И все это не интересно, и ни к каким парадоксам не приводит.

Да, парадоксов здесь нет. В Ситуации 2 можно было по ходу вскрытия конвертов делать надёжные предположения о величине N и учитывать это в принятии решения по следующим конвертам. Тогда можно немного выиграть. Можно и рисковать немного (считать точно мне лень, но вряд ли можно дойти до чего-то настолько интересного, как в задаче Гусейн-Заде с невестой -- хотя кто-то упомянул выше).

[Лукомор]

grizzly в сообщении #971056 писал(а):

В Ситуации 2 можно было по ходу вскрытия конвертов делать надёжные предположения о величине N и учитывать это в принятии решения по следующим конвертам. Тогда можно немного выиграть

Стоп! Мы уже уходим в дебри.
Сначала предположили, что вместо 2 конвертов их 2000, что не влияет на результат (т.к. суммы выбираются случайным образом), теперь уже вместо двух "чистых" стратегий: "всегда меняем" vs "никогда не меняем" (кстати, они обе неоптимальные в новых сформулированных условиях) - начинаем прикидывать стратегии адаптивные, учитывающие дополнительную информацию, полученную при вскрытии предыдущих конвертов.
Можно даже пойти дальше.
Добавить пункт условия, согласно которому, после вскрытия очередной пары конвертов, казино (ну, или кто там эти деньги по конвертам пакует) само выбирает суммы для следующей пары конвертов.
При такой пошаговой стратегии у игрока никаких шансов на выигрыш уже не будет.
И все это уводит нас от простой и в то же время парадоксальной постановки вопроса: Всего два конверта, деньги разложены заранее, конверт выбирает игрок, он же вскрывает его, он же принимает решение.
И поистине гамлетовский вопрос:"Менять или не менять?!"

-- Пт янв 30, 2015 09:08:41 --

(Оффтоп)

g______d в сообщении #971055 писал(а):

Без ТВ не понятно, что значит 50-50.

Без ТВ $50-50=0$

[atlakatl]

grizzly в сообщении #970462 писал(а):

Ситуация 1.
На стол выложили 1000 конвертов. Количество денег в каждом определяли равномерно-случайным образом в интервале от 2 до N тугриков. Число N знает крупье, но Вам оно неизвестно. Напротив каждого конверта с помощью монетки положили конверт с суммой в 2 раза большей / меньшей.
Вопрос 1. Ваша стратегия с этой стороны стола?
Вопрос 2. Ваша стратегия с той стороны стола?

Что-то затупил.
С "этой стороны" всё понятно. У тебя $X$, напротив $X/2$ или $2 \ctod X$, - с равной вероятностью. При обмене тебе достаётся $5/4 \ctod X$ в среднем. Махнём не глядя.
Как должен рассуждать участник с "той стороны", увидев в своём конверте $X$? - Чтобы в среднем у него получилось при обмене $4/5 \ctod X$?

[Lukum]

Лукомор в сообщении #971063 писал(а):

И все это уводит нас от простой и в то же время парадоксальной постановки вопроса: Всего два конверта, деньги разложены заранее, конверт выбирает игрок, он же вскрывает его, он же принимает решение.

Все просто, в конверте сумма $a$ или сумма $2a$, вероятность каждого варианта $1/2$, вскрытие конверта не дает нам дополнительной информации о числе $a$ для принятия решения, вскрытие не меняет пространства элементарных событий.

[grizzly]

g______d в сообщении #971055 писал(а):

Без ТВ не понятно, что значит 50-50.

По поводу этого и следующих вопросов. Я согласен, что прежде чем употреблять какое-либо слово (вне зависимости математический контекст или бытовой), нужно иметь полную формализацию предмета обсуждения. Тогда таких вот "парадоксов" возникать не будет. Если потребовать дополнительно, чтобы формализация была "конструктивной" (финитизм желателен), то вообще никаких парадоксов возникать не будет.

В некоторых случаях мне представляется уместным обсуждать что-то без полной формализации. Слова "риск" и "шанс" появились до зарождения ТВ как науки, значит их как-то применяли и, зачастую, вполне верно и даже, может быть, обоснованно, хотя формализация была неявной.

Если Вам в данном случае употребление этих слов без нужного уровня формализации представляется неуместным, я просто готов уступить как непрофессионал профессионалу. Но Вы тоже обратите внимание, что неокрепшие умы продолжат обсуждение в этих терминах, хотя исчерпывающая формализация была выше. Ведь чтобы применять такие формализации к жизненным ситуациям (хотя бы сопоставить одно другому) нужен определённый базис и опыт, а есть они пока не у всех желающих.

-- 30.01.2015, 11:45 --

atlakatl
Вы задали очень уместный вопрос. Но потрудитесь немного, не спешите получить ответ на блюдечке -- ведь ситуация теперь Вам понятна лучше и парадокс уже прямо перед глазами. Как только поймёте этот момент, от парадокса ничего не останется. Точнее, от этой его части. А с остальными частями станет проще -- появится опыт.

[grizzly]

Лукомор в сообщении #971063 писал(а):

Стоп! Мы уже уходим в дебри.
...
И поистине гамлетовский вопрос:"Менять или не менять?!"

Не нужно в дебри. Поверьте, не было задней мысли и совершенно не хотел подловить Вас на неоптимальном решении -- да и задачу с оптимальностью я не ставил и сам во втором случае правильного решения не имею.

Моей целью было только услышать на гамлетовский вопрос ответ таким вопросом, как от atlakatl. Я уверен, что его теперь на понт "поменялся -- меняйся обратно" не купишь. Он теперь готов к пониманию: будет желание -- разберётся с мат.моделью и увидит, почему "та сторона" неравносильна "этой"; не будет -- тоже не страшно, зато его интуицию уже не обманешь и он просто будет посылать подальше. И думаю, что как минимум этот уровень понимания у Вас также есть.

[g______d]

grizzly в сообщении #971076 писал(а):

Если Вам в данном случае употребление этих слов без нужного уровня формализации представляется неуместным, я просто готов уступить как непрофессионал профессионалу.

Дело не в этом, и давить я как раз не хотел. Разумеется, в жизни бывают случаи, когда формализация слишком сложна или не нужна. Но в данном случае она доступна школьнику (и, как следствие, любому читателю данного форума). А то, что она нужна, показывает тот факт, что без нее возникают парадоксы.

Т. е. если есть простое средство избежать парадоксов и неверных выводов, то какие могут быть причины им не пользоваться?

--------------------------------------

Мне, кстати, нравится похожая задача про то, как выиграть у любого казино. Ставим рубль на красное. Если проиграли, ставим 10. Если проиграли, ставим 100. Если проиграли, ставим 1000. Вероятность того, что мы будет все время проигрывать, равна нулю (это, кстати, строго формализуемый факт). Следовательно, с вероятностью 1 мы выиграем. В момент выигрыша мы вернем все проигранное до этого в девятикратном размере.

[grizzly]

g______d
Я раскрою карты. Да, с формулировками стратегий я малость накосячил. Лукомор первый заподозрил неладное, потом Вы подключились (думал, не отверчусь :)

А я всего-то хотел показать этими примерами, насколько вариант 1 с той стороны стола похож на вариант 2 с этой. На удочку попался только atlakatl, и я хотел потянуть время -- посмотреть, заметит он это сходство или нет. Но польза от рассматривания таких наивных примеров и сопоставления их с моделями Red_Herring для кого-то есть, я думаю.

[timber]

На эту тему попалась интересная статья, в которой автор поделился результатами эксперимента. Он смоделировал на компьютере несколько сценариев розыгрыша конвертов, видоизменив условия задачи. Были программно созданы функции рефери и всего один участник игры. Каждый скрипт, по словам автора, разыгрывал 1 миллион комбинаций конвертов. Рефери закладывал в один конверт деньги в размере от 1 USD до 1 000 000 USD. В другой конверт рефери закладывал в два раза больше денег.

Результаты были такие:

Сценарии:
1) Участник выбирает конверт случайным образом.
2) Участник выбирает конверт случайным образом и затем делает выбор: оставлять конверт или взять другой.
3) Участник выбирает первый конверт и смотрит его сумму. Затем он решает оставить ли себе этот конверт или поменять его на другой, руководствуясь двумя правилами:
а) Если участнику в первый раз попалась большая сумма, он оставляет этот конверт себе. Это чисто фиктивное правило, поскольку вполне хватает следующего условия.
б) Если среднее арифметическая сумма всех ранее получаемых денег ниже суммы в конверте, он так же оставляет этот конверт себе.
В случае если хотя бы одно правило выполнено, конверт остается у участника шоу. Иначе, он всегда выбирает другой конверт.

Оба варианта 1) и 2) закономерно вернули 50% удач и 50% неудач.

Но совсем не так себя повел вариант 3). На одном миллионе итераций достигался стабильный результат — 76% успеха и 24% неудач.

То есть, участник игры, используя вышеуказанную стратегию (сценарий 3), увеличивал вероятность угадывания конверта с большей суммой на 26%. При этом он ничего не знал о диапазоне сумм, и не знал сколько денег лежит во втором конверте.

Картина обратно изменялась, если:
а) изменить стратегию рефери: конверт с большей суммой отличается от конверта с малой суммой всего на 1 USD.
б) уменьшить количество итераций и увеличить диапазон сумм.

Вновь получался результат 50% на 50%.

[g______d]

timber в сообщении #971349 писал(а):

Если среднее арифметическая сумма всех ранее получаемых денег ниже суммы в конверте, он так же оставляет этот конверт себе.
В случае если хотя бы одно правило выполнено, конверт остается у участника шоу. Иначе, он всегда выбирает другой конверт.

Можно проще: миллион раз выбрать случайный конверт, а потом оставлять себе конверт только если сумма будет больше среднего по первому миллиону значений. Те же 75%, если распределение от 1 до $N$ равномерное и если мы пренебрегаем отклонением среднего по миллиону измерений от мат. ожидания.

[atlakatl]

grizzly в сообщении #971335 писал(а):

На удочку попался только atlakatl

Объясните - внятно - на какую "удочку" я попался. Цитаты, тезисы там. Послушаю.

[Лукомор]

atlakatl в сообщении #971067 писал(а):

Как должен рассуждать участник с "той стороны", увидев в своём конверте $X$? - Чтобы в среднем у него получилось при обмене $4/5 \ctod X$?

А так прямо и должен рассуждать:
"В моем конверте $X$, значит в другом конверте $Y$!"
Вопрос:"А как получился $X$ в моем конверте?!"
Ответ:"Сначала положили $Y$ в другой конверт, затем подбросили монетку, и выбрали $X=2Y$ либо $X=Y/2$.
Находим среднее по больнице: $X=5Y/4$, откуда и получаем окончательно $Y=4X/5$.

[atlakatl]

Лукомор, с этим вариантом разбора я согласен. Просто встаём на "другую сторону".
Меня что смущает? Да следующее рассуждение:
У меня - "той стороне" - в конверте $X$. Это значит, что в конверте напротив $X/2$ или $2 \ctod X$. Так вероятность - считаем обычным способом - наличия там первой суммы $4/5$, а второй - только $1/5$.
Вот мне и интересно, как можно вывести (а ещё лучше - объяснить "на пальцах") - эту разницу, не прибегая к "отзеркаливанию" ситуации.

[grizzly]

atlakatl в сообщении #971528 писал(а):

Объясните - внятно - на какую "удочку" я попался.

Поддержали разговор в желаемом мне направлении. Ничего негативного.

Но раз готовы послушать, я скажу. Есть разные уровни понимания вопросов. Вот я могу написать формулы или -- это проще -- проверить чужие. Ну и сколько-то могу сообразить, к какой ситуации какие формулы отнести. Вы думаете этого всё? Это формальный уровень. Есть уровень выше -- когда формулы являются следствием понимания, а не наоборот. См. разницу на примере моего диалога с g______d. Он смотрит на 3 хода вперёд, а я максимум на 1. Вот этот уровень очень важен. На формальном можно сдать экзамены и даже читать книжки, а создавать что-то очень сложно.

-- 31.01.2015, 11:21 --

atlakatl
Но правда -- почему не попробовать шаг за шагом, начиная с описания случайной величины?

-- 31.01.2015, 11:37 --

atlakatl в сообщении #971595 писал(а):

а ещё лучше - объяснить "на пальцах"

"На пальцах" я вчера пытался подсказать -- ситуация в чём-то похожа на Вариант 2 с этой стороны стола -- конверты с большими числами только уполовиниваются.