Задачи по матану, алгебре, комбинаторике, всего по понемногу

[netang]

Здравствуйте. Сидел готовился, решал задачи. Пожалуйста, укажите на ошибки.

=================================================================
1. Рассмотрим последовательность $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$. Напишите явную формулу для $a_n$ (знаки суммирования и многоточия использовать нельзя).
2. Приведите пример таких двух последовательностей, имеющих конечный предел, что их частное не имеет предела ни конечного, ни бесконечного.
3. Стороны правильного треугольника разбили на $n$ равных частей. Через каждую точку разбиения провели по две прямые, параллельные двум сторонам треугольника. Посчитайте количество треугольников разбиения. Ответ выразите через $n$ без многоточий и знаков суммирования.
4. Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры которых различны? (С нуля число начинаться не может.)
5. Дана система линейных уравнений $Ax = b$ с квадратной матрицей $A$ размера $n \times n$, все элементы первой строки этой матрицы равняются $1$, второй строки $2$, …, $n$-ой строки $n$. Чему равняется размерность пространства решений системы уравнений $Ax = b$?
6. Может ли так быть, что определитель квадратной матрицы равен $0$ и остается равным нулю, если к ней прибавить единичную матрицу?
7. Верно ли, что если положительная последовательность стремиться к нулю, то она убывает, начиная с некоторого места?
8. В выпуклом $n$-угольнике посчитайте количество пар пересекающихся диагоналей. Ответ выразить без многоточий и знаков суммирования.
9. На каждой грани кубика написано два числа от $1$ до $6$: одно зеленое, другое красное. Каждое число каждого цвета написано ровно один раз. Кубик бросили так, что все грани выпадают с равной вероятностью. Пусть $p$ – это условная вероятность того, что зеленое выпавшее число четно при условии, что красное число делится на $3$. Найдите вероятность того, что красное число делится на три при условии того, что зеленое число четно.
10. Найдите собственные числа (с учетом кратности) матрицы $10 \times 10$, у которой на двух диагоналях стоят единицы, а все остальные элементы – нули.
=================================================================

1. При выполнении первого задания я нашел первые четыре члена последовательности: $1, 3, 7, 15...$ И потом наугад нашел явную формулу $a_n = 2^n - 1$. Но нужно еще обосновать решение. Я думаю, обосновать можно следующим образом. Т. к. при нахождении следующего члена мы умножаем предыдущий член на $2$, то это получается возведение в квадрат, и вдобавок к этому имеем $+1$ в формуле, что есть смещение относительно предыдущего ($2\cdot a_n$) результата.

2. Т. к. в результате нам нужен ни конечный, ни бесконечный результат, то нужно взять что-то колеблющееся в качестве первой последовательности, пусть будет $a_n = \frac{\sin(n)}{n}$. Теперь нам нужно избавится в этой последовательности от $n$ в знаменателе (чтобы последовательность не стремилась к нулю), для этого определим вторую последовательность как $b_n = \frac{1}{n}$. При делении получаем $\frac{a_n}{b_n} = \sin(n)$.

3. В третьей части я нарисовал треугольники для $n = 2, 3, 4$, и подобрал результат $a_n = n^2$. Интуиция интуицией, но так не пойдет, нужно обосновать, что я еще не сделал

4. Всего цифр десять ${0, 1, 2, ... 9}$; найдем количество размещений по 4 элемента $A^4_{10} = 5040$. Но в эти размещения также вошли числа $0123, 0124, 0125, ...$, их нужно отсечь. Их количество равно $A^3_9 = 504$(ноль в качестве цифры уже не учитываем, предполагая, что мы его поставили в начало числа). $A^4_{10} - A^3_9 = 4536$.

5. Для $n = 2$ имеем:
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = b_1 \\ 2x_1+ 2x_2 = b_2 \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = b_1 \\ x_1+ x_2 = \frac{b_2}{2} \end{cases} \end{equation*}$
Пусть $(y_1, y_2)^{T}$ - решение системы, тогда $(y_2, y_1)^{T}$ также будет решением системы, т. к. операция $+$ коммутативна.
Для размерности $n$, имеем $n!$ решений.
Но мне кажется, такой подход не верен, что-то перемудрил я с этим

6. $\begin{vmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{vmatrix} = 0 ?$
$\begin{equation*} \begin{cases} AD - BC = 0 \\ (A+1)\cdot (D+1) - BC = 0 \end{cases} \end{equation*} \Rightarrow A+D = -1 $
Пробуем подставить: $A = -0.5; B = -0.5$, подгоняем $B = 0.5$ и $C = 0.5$.
Ответ: можно, например, $\begin{pmatrix} -0.5 & 0.5 \\ 0.5 & -0.5 \\ \end{pmatrix} $

7. Убывает, тут имеется ввиду каждый последующий член строго меньше предыдущего? Если да, то неверно, можно привести какую-нибудь скачкообразную стремящуюся к нулю последовательность, например, $a_n = |\frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n}|$

[ex-math]

По поводу 5-й задачи.
Что, по-Вашему, означают слова "пространство решений"?

-- 29.01.2015, 10:48 --

По поводу 1 и 3.
Раз Вы угадали результат, попробуйте индукцию.

[ewert]

netang в сообщении #970381 писал(а):

В третьей части я нарисовал треугольники для $n = 2, 3, 4$, и подобрал результат $a_n = n^2$.

Ну там же очевидно будет арифметическая прогрессия, надо её просто честно выписать. Допустим, первый слой -- это один маленький треугольничек вверху. Сколько таких треугольничков будет на втором слое, на третьем?... Причём даже не надо подсчитывать эти количества вручную: достаточно прикинуть, сколько дополнительных треугольничков добавляется к каждому следующему слою по сравнению с предыдущим, а это уж совсем очевидно.

-- Чт янв 29, 2015 12:16:28 --

netang в сообщении #970381 писал(а):

Но мне кажется, такой подход не верен, что-то перемудрил я с этим

Недомудрил. От Вас требовалось найти ранг этой матрицы, и явно ожидалось, что Вы об этом догадаетесь.

[ИСН]

1, 3, 5 - уже сказали.
2, 4, 6, 7 - ОК. В шестой много букв, можно было и так увидеть ответ, например $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, но с буквами надёжнее.
- - - - - - -
Про остальные:
8 сделайте, она простая, и понять её условие просто; проблема в том, что ещё проще его понять неправильно.
9 ниасилил, многа букв.
10 загадочная какая-то. Что значит "на двух диагоналях"? На каких двух? Главной и сверху от неё? Главной и снизу? Сверху и снизу? Ещё варианты?

[ewert]

7 -- кстати, совсем неОК:

ИСН в сообщении #970407 писал(а):

можно привести какую-нибудь скачкообразную стремящуюся к нулю последовательность, например, $a_n = |\frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n}|$

Она, конечно, скачет, но она вовсе не положительна. Задачка далеко не такая дешёвая (хотя и очень простая) -- надо ещё сравнивать скачки числителя с убыванием знаменателя.

10-я -- да, действительно бредовая формулировка.

[ИСН]

ewert в сообщении #970413 писал(а):

Она, конечно, скачет, но она вовсе не положительна.

А, ну да, есть нюанс. Нулей надо чтобы не.

[mihailm]

10. Ясно же, что имелись в виду главная диагональ и диагональ идущая из нижнего левого в правый верхний угол матрицы

[Sender]

ИСН в сообщении #970407 писал(а):

Ещё варианты?

На главной и побочной, вероятнее всего.

[ИСН]

mihailm в сообщении #970419 писал(а):

и диагональ идущая из нижнего левого в правый верхний угол матрицы

Это вообще не диагональ. Но да, в виду имелась таки она, теперь понятно.

[netang]

ex-math в сообщении #970385 писал(а):

По поводу 1 и 3.
Раз Вы угадали результат, попробуйте индукцию.

Спасибо, буду пробовать мат. индукцию

ewert в сообщении #970400 писал(а):

Допустим, первый слой -- это один маленький треугольничек вверху. Сколько таких треугольничков будет на втором слое, на третьем?...

Вы гений! Сделал как Вы сказали, получил формулу $a_n = a_{n-1} + 2n-1$. Сижу думаю, как явную формулу получить из этого.

ИСН в сообщении #970407 писал(а):

8 сделайте, она простая, и понять её условие просто; проблема в том, что ещё проще его понять неправильно.

Я утонул в ней, когда нарисовал семиугольник Я еще её решаю только, мне кажется там нужно за что-то зацепиться, за что я не могу понять, из-за большого количества пересечений у меня глаза разбегаются

[ewert]

netang в сообщении #970425 писал(а):

получил формулу $a_n = a_{n-1} + 2n-1$. Сижу думаю, как явную формулу получить из этого.

Не надо ничего выдумывать. Вы что, формулу для суммы арифметической прогрессии не знаете?

[netang]

ewert в сообщении #970431 писал(а):

Не надо ничего выдумывать. Вы что, формулу для суммы арифметической прогрессии не знаете?

Спасибо, до меня дошло

$S_{n} = \frac{(a_1 + (a_1+d(n-1)))n}{2} = \frac{(1+(1+2(n-1)))n}{2} = n^2$

-- 29.01.2015, 15:16 --

ewert в сообщении #970413 писал(а):

Она, конечно, скачет, но она вовсе не положительна. Задачка далеко не такая дешёвая (хотя и очень простая) -- надо ещё сравнивать скачки числителя с убыванием знаменателя.

А что если прибавить $|\frac{1}{n}|$ ? $a_n = |\frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n}| + |\frac{1}{n}|$

[mihailm]

(Оффтоп)

Тоже захотелось что-нибуть подсказать)

В десятой разложить определитель с лямдами по первой строке (или столбцу)

[netang]

ex-math в сообщении #970385 писал(а):

По поводу 5-й задачи.
Что, по-Вашему, означают слова "пространство решений"?

Множество всех решений этой системы. А размерность этого пространства, есть количество решений, или я ошибаюсь?

[ИСН]

И чему равны то и другое, например, у системы из одного уравнения $x+y=1$?