Комплексные метрические пространства

[stef]

Несложно сформулировать следующий полушутливый парадокс: Гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами $1$ и $i$ равна $0$. Ясно также, что углы в этом треугольнике получаются странными, так как их синус и косинус бесконечны, а комплексного числа, тангенс которого равен $i$, и вовсе не существует. В связи с этим возникает вопрос: возможно ли придать смысл комплексным длинам так, чтобы не нарушались основные свойства метрики? Точнее: назовём комплексным метрическим пространством пространство с заданной на его квадрате функцией в комплексные числа с аксиомами метрики (возможно, придётся изменить аксиому симметричности по аналогии со скалярным произведением). Существует ли множество точек с заданными отношениями коллинеарности, конгруэнтности и прочими из элементарной геометрии, такое что выполнены аксиомы инцидентности, конгруэнтности и параллельности из списка Гильберта, а также для каждой прямой найдётся биекция в $\mathbb{C}$, при которой $\rho(x,y)=f(x)-f(y)$ (Возможно, формулу придётся исказить, если будет изменена аксиома симметричности для метрики)? Единственна ли с точностью до изоморфизма такая структура? Возможно ли ввести на ней понятия угла, площади?
Замечание. Обыкновенное скалярное произведение меня не устраивает, так как длина всегда действительна. Если найдётся структура с произвольным комплексным расстоянием, но прямые в ней не будут хорошо отображаться на $\mathbb{C}$, я всё равно могу посчитать это положительным ответом, но пока ставлю вопрос так.
Добавление. В такой постановке очевидны проблемы с симметричностью конгруэнтности. Конгруэнтность отрезков $ab$ и $cd$ подразумевается либо как $\rho(a,b)=\rho(c,d)$ либо как $\rho(a,b)=\rho(c,d) \vee \rho(a,b)=f(\rho(c,d))$, где $f$ - какая-нибудь штука, желательно аддитивная инволюция ($-z$ или комплексное сопряжение)

[Geen]

stef в сообщении #968171 писал(а):

пространство с заданной на его квадрате функцией в комплексные числа с аксиомами метрики

И то делать с "неравенством треугольника"?

[stef]

Неравенство треугольника придётся рассматривать как $|\rho(x,y)+\rho(y,z)| \geq |\rho(x,z)|$. Если есть другие версии, можно по-другому, это самая простая, приходящая на ум.

[provincialka]

В порядке бреда.
Не особо вчитывалась в текст вопроса. Но наличие нулевых расстояний навело мысль на метрику в пространстве-времени и, соответственно, на псевдоевклидову плоскость (плоскость с геометрией Лобачевского). Нет тут связи?

[мат-ламер]

stef в сообщении #968200 писал(а):

Неравенство треугольника придётся рассматривать как $|\rho(x,y)+\rho(y,z)| \geq |\rho(x,z)|$. Если есть другие версии, можно по-другому, это самая простая, приходящая на ум.

Можно рассматривать комплексное линейное нормированное пространство. А метрику ещё до неравенства треуголника сделать действительной с помощью модуля.

[stef]

Цитата:

Замечание. Обыкновенное скалярное произведение меня не устраивает, так как длина всегда действительна.

Основная суть в том, чтобы формализовать "треугольники со стороной $i$".

[Geen]

(provincialka)

В псевдометрике квадрат "расстояния" - действительное число. Здесь ТС не подразумевает такого ограничения.
Более того, аксиомы то он хочет "сохранить"....

[мат-ламер]

stef в сообщении #968220 писал(а):

Основная суть в том, чтобы формализовать "треугольники со стороной $i$".

Или "треугольники со длиной стороны $i$"? Это две разные вещи.

-- Вс янв 25, 2015 22:04:32 --

stef в сообщении #968220 писал(а):

Основная суть в том, чтобы формализовать "треугольники со стороной $i$".

Возьмите множество комплексных чисел. Там стороны треугольника задаются комплексными числами. А длины сторон действительными.

[stef]

Да, требуется, чтобы любое комплексное число могло быть длиной, в первом посте я даже попытался наложить более сильное условие.

[мат-ламер]

stef
Ещё (кроме отмеченных) вот какие могут сложности. Во многих теоремах про метрические пространствах используется, что расстояния можно сравнивать. А где-то, что расстояние больше нуля.

[Munin]

stef
Я правильно понимаю, что о комплексных банаховых и гильбертовых пространствах вы в курсе, и они вас не устраивают?

[stef]

Меня в первом посте не устроили конечномерные векторные пространства над $\mathbb{C}$, а вот насчёт банаховых бесконечномерных -- я подумаю. Там, вероятно, не будет выполнено $\rho(x,y)=0 \to x=y$.

[Munin]

В общем, так не будет выполнено в любом пространстве с псевдометрикой.

[Oleg Zubelevich]

комплексные банаховы пространства и гильбертовы в частности являются метрическими (а не псевдометрическими)

[Munin]

Да. Я просто уже отошёл от них, чтобы подстроиться под запросы собеседника.