2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Комплексные метрические пространства
Сообщение25.01.2015, 19:21 


04/08/14
26
Несложно сформулировать следующий полушутливый парадокс: Гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами $1$ и $i$ равна $0$. Ясно также, что углы в этом треугольнике получаются странными, так как их синус и косинус бесконечны, а комплексного числа, тангенс которого равен $i$, и вовсе не существует. В связи с этим возникает вопрос: возможно ли придать смысл комплексным длинам так, чтобы не нарушались основные свойства метрики? Точнее: назовём комплексным метрическим пространством пространство с заданной на его квадрате функцией в комплексные числа с аксиомами метрики (возможно, придётся изменить аксиому симметричности по аналогии со скалярным произведением). Существует ли множество точек с заданными отношениями коллинеарности, конгруэнтности и прочими из элементарной геометрии, такое что выполнены аксиомы инцидентности, конгруэнтности и параллельности из списка Гильберта, а также для каждой прямой найдётся биекция в $\mathbb{C}$, при которой $\rho(x,y)=f(x)-f(y)$ (Возможно, формулу придётся исказить, если будет изменена аксиома симметричности для метрики)? Единственна ли с точностью до изоморфизма такая структура? Возможно ли ввести на ней понятия угла, площади?
Замечание. Обыкновенное скалярное произведение меня не устраивает, так как длина всегда действительна. Если найдётся структура с произвольным комплексным расстоянием, но прямые в ней не будут хорошо отображаться на $\mathbb{C}$, я всё равно могу посчитать это положительным ответом, но пока ставлю вопрос так.
Добавление. В такой постановке очевидны проблемы с симметричностью конгруэнтности. Конгруэнтность отрезков $ab$ и $cd$ подразумевается либо как $\rho(a,b)=\rho(c,d)$ либо как $\rho(a,b)=\rho(c,d) \vee \rho(a,b)=f(\rho(c,d))$, где $f$ - какая-нибудь штука, желательно аддитивная инволюция ($-z$ или комплексное сопряжение)

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение25.01.2015, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
stef в сообщении #968171 писал(а):
пространство с заданной на его квадрате функцией в комплексные числа с аксиомами метрики

И то делать с "неравенством треугольника"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение25.01.2015, 20:26 


04/08/14
26
Неравенство треугольника придётся рассматривать как $|\rho(x,y)+\rho(y,z)| \geq |\rho(x,z)|$. Если есть другие версии, можно по-другому, это самая простая, приходящая на ум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение25.01.2015, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
В порядке бреда.
Не особо вчитывалась в текст вопроса. Но наличие нулевых расстояний навело мысль на метрику в пространстве-времени и, соответственно, на псевдоевклидову плоскость (плоскость с геометрией Лобачевского). Нет тут связи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение25.01.2015, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6592
stef в сообщении #968200 писал(а):
Неравенство треугольника придётся рассматривать как $|\rho(x,y)+\rho(y,z)| \geq |\rho(x,z)|$. Если есть другие версии, можно по-другому, это самая простая, приходящая на ум.

Можно рассматривать комплексное линейное нормированное пространство. А метрику ещё до неравенства треуголника сделать действительной с помощью модуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение25.01.2015, 20:41 


04/08/14
26
Цитата:
Замечание. Обыкновенное скалярное произведение меня не устраивает, так как длина всегда действительна.

Основная суть в том, чтобы формализовать "треугольники со стороной $i$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение25.01.2015, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318

(provincialka)

В псевдометрике квадрат "расстояния" - действительное число. Здесь ТС не подразумевает такого ограничения.
Более того, аксиомы то он хочет "сохранить"....

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение25.01.2015, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6592
stef в сообщении #968220 писал(а):
Основная суть в том, чтобы формализовать "треугольники со стороной $i$".

Или "треугольники со длиной стороны $i$"? Это две разные вещи.

-- Вс янв 25, 2015 22:04:32 --

stef в сообщении #968220 писал(а):
Основная суть в том, чтобы формализовать "треугольники со стороной $i$".

Возьмите множество комплексных чисел. Там стороны треугольника задаются комплексными числами. А длины сторон действительными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение25.01.2015, 22:06 


04/08/14
26
Да, требуется, чтобы любое комплексное число могло быть длиной, в первом посте я даже попытался наложить более сильное условие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение26.01.2015, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6592
stef
Ещё (кроме отмеченных) вот какие могут сложности. Во многих теоремах про метрические пространствах используется, что расстояния можно сравнивать. А где-то, что расстояние больше нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение26.01.2015, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
stef
Я правильно понимаю, что о комплексных банаховых и гильбертовых пространствах вы в курсе, и они вас не устраивают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение26.01.2015, 22:50 


04/08/14
26
Меня в первом посте не устроили конечномерные векторные пространства над $\mathbb{C}$, а вот насчёт банаховых бесконечномерных -- я подумаю. Там, вероятно, не будет выполнено $\rho(x,y)=0 \to x=y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение26.01.2015, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В общем, так не будет выполнено в любом пространстве с псевдометрикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение28.01.2015, 00:20 


10/02/11
6786
комплексные банаховы пространства и гильбертовы в частности являются метрическими (а не псевдометрическими)

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексные метрические пространства
Сообщение28.01.2015, 03:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да. Я просто уже отошёл от них, чтобы подстроиться под запросы собеседника.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group