Несложно сформулировать следующий полушутливый парадокс: Гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами

и

равна

. Ясно также, что углы в этом треугольнике получаются странными, так как их синус и косинус бесконечны, а комплексного числа, тангенс которого равен

, и вовсе не существует. В связи с этим возникает вопрос: возможно ли придать смысл комплексным длинам так, чтобы не нарушались основные свойства метрики? Точнее: назовём комплексным метрическим пространством пространство с заданной на его квадрате функцией в комплексные числа с аксиомами метрики (возможно, придётся изменить аксиому симметричности по аналогии со скалярным произведением). Существует ли множество точек с заданными отношениями коллинеарности, конгруэнтности и прочими из элементарной геометрии, такое что выполнены аксиомы инцидентности, конгруэнтности и параллельности из списка Гильберта, а также для каждой прямой найдётся биекция в

, при которой

(Возможно, формулу придётся исказить, если будет изменена аксиома симметричности для метрики)? Единственна ли с точностью до изоморфизма такая структура? Возможно ли ввести на ней понятия угла, площади?
Замечание. Обыкновенное скалярное произведение меня не устраивает, так как длина всегда действительна. Если найдётся структура с произвольным комплексным расстоянием, но прямые в ней не будут хорошо отображаться на

, я всё равно могу посчитать это положительным ответом, но пока ставлю вопрос так.
Добавление. В такой постановке очевидны проблемы с симметричностью конгруэнтности. Конгруэнтность отрезков

и

подразумевается либо как

либо как

, где

- какая-нибудь штука, желательно аддитивная инволюция (

или комплексное сопряжение)