2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 00:31 
Заслуженный участник


14/03/10
867
OlgaD, я бы даже сказал больше: $GL(V)$ - это полная линейная группа пространства $V$ :P

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 00:38 


06/12/13
275
patzer2097 в сообщении #967880 писал(а):
Еще один частный случай. Если $A$ - это $nxn$ матрица, то $\wedge^n A=\det A\in\mathbb{C}$.

Похоже, что так. Цитата из книги:
Цитата:
В частности, $\bigwedge^k E$ представляет собой линейное расслоение с функциями перехода $j_{\alpha\beta}(x)=\det g_{\alpha\beta}(x)\in GL(1,\mathbb{C})=\mathbb{C}^*.$

Не зная, как вычисляется внешняя степень матрицы, я поставила некорректный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 09:25 


06/12/13
275
Тогда у меня появился новый вопрос. Как вычисляется внешнее произведение матриц. Например, как вычислить $$\left(\begin{array}{cc}
-1  & 0\\
3 & 1 \\
\end{array}
\right)\wedge\left(\begin{array}{cc}
2  & 6\\
4 & -5 \\
\end{array}
\right).$$ И чему равно внешнее произведение трех различных квадратных матриц второго порядка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Давайте пока я задам Вам пару вопросов. Для понимания это точно не помешает.
Вот Вы умножаете внешне две матрицы. Каждая из этих матриц является линейным оператором в $\mathbb R^2$. Вопросы:
1) В каком пространстве будет действовать внешнее произведение этих операторов?
2) Какая размерность этого пространства?
3), 4) Те же вопросы в Вашем случае "трёх различных квадратных матриц второго порядка".

Как только Вы это поймёте, дальше Вам будет намного проще (с нами или без нас).

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 12:00 


06/12/13
275
Попробую ответить как понимаю:

1. в пространстве $\mathbb{R}^2\wedge\mathbb{R}^2;$
2. размерность 4;
3-4. $\mathbb{R}^2\wedge\mathbb{R}^2\wedge\mathbb{R}^2$ и размерность 6.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
OlgaD в сообщении #967992 писал(а):
Попробую ответить как понимаю:

Попытки с размерностями неудачные. Вот поэтому Вам ещё рано знать ответы на Ваши вопросы. Подумайте для вопроса 2, как будут выглядеть базисные (или просто линейно независимые) элементы в $\wedge\mathbb{R}^2$ (мне обычно попадается такое обозначение, а не $\mathbb{R}^2\wedge\mathbb{R}^2$).

(Оффтоп)

Правила форума запрещают просто так отвечать ТС на элементарные вопросы (ТС -- это от "топикстартер"). А я только вчера всё это узнал, так что методист с меня ещё тот. Но я обещаю говорить только в пределах уверенного понимания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 12:34 


06/12/13
275
Скорее $\wedge^2\mathbb{R}^2.$ Если $e_1,e_2$ - базис в $\mathbb{R}^2,$ то базис в $\wedge^2\mathbb{R}^2$ по моему пониманию должен выглядеть так $e_1\wedge e_2.$ Т.е. размерность равна 1? Число сочетаний из 2 по 2.
Пытаюсь представить как это технически вычисляется для моего примера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 12:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
OlgaD в сообщении #968006 писал(а):
Скорее $\wedge^2\mathbb{R}^2.$

Ну мне всюду попадается без двойки. Циферки только для высших степеней. Ну да ладно, не в этом суть.
Да, размерность один. И это будет базисный вектор. А произведение матриц там будет умножением на скаляр -- верно? Для одинаковых -- детерминант, как уже говорили. А для разных сможете попробовать выписать на базисах и продолжить?
upd. удалил глупости про случайно выскочивший из подсознания "функционал"

Про сочетания тоже правильно, надеюсь, что Вы не просто прочитали, но и осознали почему. На этом этапе вопросы про "внешнее умножение трёх квадратных матриц размерности два" должны разрешиться / пропасть. Согласны?

-- 25.01.2015, 13:52 --

grizzly в сообщении #968011 писал(а):
Для одинаковых -- детерминант, как уже говорили.

Это тоже полезно было бы расписать самостоятельно и убедиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 12:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
OlgaD в сообщении #967992 писал(а):
2. размерность 4;

Точна-а-а?

-- 25.01.2015 12:56:46 --

OlgaD в сообщении #968006 писал(а):
Т.е. размерность равна 1? Число сочетаний из 2 по 2.

А каковы размерности пространств $\mathbb{R}^3\wedge\mathbb{R}^3,$ $\mathbb{R}^4\wedge\mathbb{R}^4,$ $\mathbb{R}^5\wedge\mathbb{R}^5$?
$\mathbb{R}^3\wedge\mathbb{R}^3\wedge\mathbb{R}^3,$ $\mathbb{R}^4\wedge\mathbb{R}^4\wedge\mathbb{R}^4$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 13:09 


06/12/13
275
Munin в сообщении #968012 писал(а):
А каковы размерности пространств $\mathbb{R}^3\wedge\mathbb{R}^3,$ $\mathbb{R}^4\wedge\mathbb{R}^4,$ $\mathbb{R}^5\wedge\mathbb{R}^5$?
$\mathbb{R}^3\wedge\mathbb{R}^3\wedge\mathbb{R}^3,$ $\mathbb{R}^4\wedge\mathbb{R}^4\wedge\mathbb{R}^4$?

Ну, если $e_1,e_2,\ldots,e_k$ - базис $\mathbb{R}^k,$ то соответственно ответы будут такие: 3, 6, 10, 1, 4.
grizzly в сообщении #968011 писал(а):
На этом этапе вопросы про "внешнее умножение трёх квадратных матриц размерности два" должны разрешиться / пропасть. Согласны?

думаю, что будет 0

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
OlgaD в сообщении #968017 писал(а):
думаю, что будет 0

Я бы сказал, что 0 -- размерность пространства. А внешнее произведение тех матриц на нём, я считаю, просто неопределено (и его нет смысла там определять).

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 13:29 


06/12/13
275
grizzly в сообщении #968021 писал(а):
Я бы сказал, что 0 -- размерность пространства. А внешнее произведение тех матриц на нём, я считаю, просто неопределено (и его нет смысла там определять).

именно это я и имела в виду, так как выше мы говорили как раз о размерности

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
OlgaD в сообщении #968017 писал(а):
Ну, если $e_1,e_2,\ldots,e_k$ - базис $\mathbb{R}^k,$ то соответственно ответы будут такие: 3, 6, 10, 1, 4.

Всё правильно. Кстати, это треугольник Паскаля, как легко заметить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 13:59 


06/12/13
275
Я вот о чем думаю...нужен ли корректировочный множитель $1/2!$ при вычислении внешнего произведения матриц из моего примера...наверное, все-таки нужен

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя степень матрицы
Сообщение25.01.2015, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Осторожнее. Это при вычислении внешнего произведения векторов он нужен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group