Внешняя степень матрицы

[patzer2097]

OlgaD, я бы даже сказал больше: $GL(V)$ - это полная линейная группа пространства $V$

[OlgaD]

patzer2097 в сообщении #967880 писал(а):

Еще один частный случай. Если $A$ - это $nxn$ матрица, то $\wedge^n A=\det A\in\mathbb{C}$.

Похоже, что так. Цитата из книги:

Цитата:

В частности, $\bigwedge^k E$ представляет собой линейное расслоение с функциями перехода $j_{\alpha\beta}(x)=\det g_{\alpha\beta}(x)\in GL(1,\mathbb{C})=\mathbb{C}^*.$

Не зная, как вычисляется внешняя степень матрицы, я поставила некорректный вопрос.

[OlgaD]

Тогда у меня появился новый вопрос. Как вычисляется внешнее произведение матриц. Например, как вычислить

$$\left(\begin{array}{cc} -1 & 0\\ 3 & 1 \\ \end{array} \right)\wedge\left(\begin{array}{cc} 2 & 6\\ 4 & -5 \\ \end{array} \right).$$

И чему равно внешнее произведение трех различных квадратных матриц второго порядка?

[grizzly]

Давайте пока я задам Вам пару вопросов. Для понимания это точно не помешает.
Вот Вы умножаете внешне две матрицы. Каждая из этих матриц является линейным оператором в $\mathbb R^2$. Вопросы:
1) В каком пространстве будет действовать внешнее произведение этих операторов?
2) Какая размерность этого пространства?
3), 4) Те же вопросы в Вашем случае "трёх различных квадратных матриц второго порядка".

Как только Вы это поймёте, дальше Вам будет намного проще (с нами или без нас).

[OlgaD]

Попробую ответить как понимаю:

1. в пространстве $\mathbb{R}^2\wedge\mathbb{R}^2;$
2. размерность 4;
3-4. $\mathbb{R}^2\wedge\mathbb{R}^2\wedge\mathbb{R}^2$ и размерность 6.

[grizzly]

OlgaD в сообщении #967992 писал(а):

Попробую ответить как понимаю:

Попытки с размерностями неудачные. Вот поэтому Вам ещё рано знать ответы на Ваши вопросы. Подумайте для вопроса 2, как будут выглядеть базисные (или просто линейно независимые) элементы в $\wedge\mathbb{R}^2$ (мне обычно попадается такое обозначение, а не $\mathbb{R}^2\wedge\mathbb{R}^2$).

(Оффтоп)

Правила форума запрещают просто так отвечать ТС на элементарные вопросы (ТС -- это от "топикстартер"). А я только вчера всё это узнал, так что методист с меня ещё тот. Но я обещаю говорить только в пределах уверенного понимания.

[OlgaD]

Скорее $\wedge^2\mathbb{R}^2.$ Если $e_1,e_2$ - базис в $\mathbb{R}^2,$ то базис в $\wedge^2\mathbb{R}^2$ по моему пониманию должен выглядеть так $e_1\wedge e_2.$ Т.е. размерность равна 1? Число сочетаний из 2 по 2.
Пытаюсь представить как это технически вычисляется для моего примера.

[grizzly]

OlgaD в сообщении #968006 писал(а):

Скорее $\wedge^2\mathbb{R}^2.$

Ну мне всюду попадается без двойки. Циферки только для высших степеней. Ну да ладно, не в этом суть.
Да, размерность один. И это будет базисный вектор. А произведение матриц там будет умножением на скаляр -- верно? Для одинаковых -- детерминант, как уже говорили. А для разных сможете попробовать выписать на базисах и продолжить?
upd. удалил глупости про случайно выскочивший из подсознания "функционал"

Про сочетания тоже правильно, надеюсь, что Вы не просто прочитали, но и осознали почему. На этом этапе вопросы про "внешнее умножение трёх квадратных матриц размерности два" должны разрешиться / пропасть. Согласны?

-- 25.01.2015, 13:52 --

grizzly в сообщении #968011 писал(а):

Для одинаковых -- детерминант, как уже говорили.

Это тоже полезно было бы расписать самостоятельно и убедиться.

[Munin]

OlgaD в сообщении #967992 писал(а):

2. размерность 4;

Точна-а-а?

-- 25.01.2015 12:56:46 --

OlgaD в сообщении #968006 писал(а):

Т.е. размерность равна 1? Число сочетаний из 2 по 2.

А каковы размерности пространств $\mathbb{R}^3\wedge\mathbb{R}^3,$ $\mathbb{R}^4\wedge\mathbb{R}^4,$ $\mathbb{R}^5\wedge\mathbb{R}^5$?
$\mathbb{R}^3\wedge\mathbb{R}^3\wedge\mathbb{R}^3,$ $\mathbb{R}^4\wedge\mathbb{R}^4\wedge\mathbb{R}^4$?

[OlgaD]

Munin в сообщении #968012 писал(а):

А каковы размерности пространств $\mathbb{R}^3\wedge\mathbb{R}^3,$ $\mathbb{R}^4\wedge\mathbb{R}^4,$ $\mathbb{R}^5\wedge\mathbb{R}^5$?
$\mathbb{R}^3\wedge\mathbb{R}^3\wedge\mathbb{R}^3,$ $\mathbb{R}^4\wedge\mathbb{R}^4\wedge\mathbb{R}^4$?

Ну, если $e_1,e_2,\ldots,e_k$ - базис $\mathbb{R}^k,$ то соответственно ответы будут такие: 3, 6, 10, 1, 4.

grizzly в сообщении #968011 писал(а):

На этом этапе вопросы про "внешнее умножение трёх квадратных матриц размерности два" должны разрешиться / пропасть. Согласны?

думаю, что будет 0

[grizzly]

OlgaD в сообщении #968017 писал(а):

думаю, что будет 0

Я бы сказал, что 0 -- размерность пространства. А внешнее произведение тех матриц на нём, я считаю, просто неопределено (и его нет смысла там определять).

[OlgaD]

grizzly в сообщении #968021 писал(а):

Я бы сказал, что 0 -- размерность пространства. А внешнее произведение тех матриц на нём, я считаю, просто неопределено (и его нет смысла там определять).

именно это я и имела в виду, так как выше мы говорили как раз о размерности

[Munin]

OlgaD в сообщении #968017 писал(а):

Ну, если $e_1,e_2,\ldots,e_k$ - базис $\mathbb{R}^k,$ то соответственно ответы будут такие: 3, 6, 10, 1, 4.

Всё правильно. Кстати, это треугольник Паскаля, как легко заметить.

[OlgaD]

Я вот о чем думаю...нужен ли корректировочный множитель $1/2!$ при вычислении внешнего произведения матриц из моего примера...наверное, все-таки нужен

[Munin]

Осторожнее. Это при вычислении внешнего произведения векторов он нужен.