Относительно синекдохи отвечания

[мат-ламер]

Denis Russkih в сообщении #967673 писал(а):

У Вас там в решении используется, в частности, гиперболический косинус гиперболического ареатангенса, вряд ли такое можно освоить за пару недель. :)

Почитал тут немного про эти гиперболические функции... Правильно ли я понимаю, что выражение $\gamma=\ch\operatorname{arth}v$ должно означать следующее:

Интересно, что в школе тригонометрическим функциям уделяется достаточно большое внимание. А в ВУЗе при изучении анализа гиперболические функции возникают как какой-то мимолётный эпизод. Видимо считается, что если студенту это будет нужно, то он и сам может всё это освоить. Что-то наверное нужно и помнить. Например, как связаны $\ch t$ и $\sh t$. Или как выражается $\th t$ через $\sh t$ и $\ch t$. Зная это, можно вычислить, как выражается $\ch t$ через $\th t$.

[arseniiv]

мат-ламер в сообщении #967749 писал(а):

Интересно, что в школе тригонометрическим функциям уделяется достаточно большое внимание. А в ВУЗе при изучении анализа гиперболические функции возникают как какой-то мимолётный эпизод.

Уделяется внимание, но совсем не то, которое нужно. Никакого внимания не уделяется вместо вдалбливания таблицы формул приведения предложить посдвигать график в уме (а в учебнике привести картинку). Кстати, вообще разнообразная мнемоника почему-то обычно передаётся устно, хотя ей стоило бы быть в учебнике. Ну и формула Эйлера — «комплексные числа только зачем учить надо…» (Ломоносов). Вместо этого таблицы, таблицы и страшные бессмысленные неравенства от сорока косинусов!

мат-ламер в сообщении #967749 писал(а):

Или как выражается $\th t$ через $\sh t$ и $\ch t$.

Побуду Станиславским. Во-первых, аналогия прозрачнейшая. Во-вторых, как из выражения через экспоненты будет ясно с первого взгляда, так и никто не мешает определять его сразу как $\sh t/\ch t$.

-- Сб янв 24, 2015 21:29:50 --

Кроме формул приведения, конечно, графики могут помочь много в чём. Ещё квадрат синуса и косинуса проиллюстрировать. Про $\ch,\sh$ полезно явно оговорить, что это чётная и нечётная части экспоненты, и вообще один раз где-то вначале привести выражения для чётной и нечётной части, чтобы они потом не пугали. А вообще это много раз обсуждалось на форуме.

[cepesh]

Тема перемещена из форума «Работа форума» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[Denis Russkih]

Munin в сообщении #967700 писал(а):

Можно гораздо быстрее, если вы знаете волшебные формулы

Это уже какое-то особенно сильное шаманство, я с комплексными числами только шапочно знаком. :) Хотя выглядит очень интересно. И как только математики додумались до таких соотношений...

Munin в сообщении #967700 писал(а):

Ну и в гиперболических функциях то же самое.

Спасибо, очень интересно. :) Но, насколько я понимаю, там всё-таки не совсем то же самое... Там ведь не работает теорема Пифагора для евклидовой геометрии?

Я тут на странице в Википедии нашёл ссылку на книгу, где приводится формула

$$\[\ch c = \ch a \ch b \eqno(1)\]$$

для прямоугольного треугольника в гиперболической геометрии со сторонами $a$, $b$ и $c$, причём сторона $c$ расположена напротив прямого угла.

Вроде бы это и есть аналог теоремы Пифагора для гиперболических функций. Но я так и не понял, как из неё можно вывести зависимость $\ch x$ от $\th x$. :)

Вот здесь я нашёл готовое выражение гиперболического косинуса через гиперболический тангенс:

$$\[\ch x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \th^{2}x}} \eqno(2)\]$$

Отсюда и впрямь со всей очевидностью следует, что $\gamma = \ch \operatorname{arth} v = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2}}$. Но вот как можно вывести формулу $\eqno(2)$ из формулы $\eqno(1)$ — я так и не понял. :) В принципе, наверное, это и не важно, хотя было бы любопытно узнать.

[provincialka]

В гиперболической геометрии формулы почти такие же, как в тригонометрии, только знаки кое-где отличаются. Например, $\ch^2x-\sh^2x=1$, но $\ch^2x+\sh^2x=\ch 2x$. С другой стороны $\sh 2x=2\sh x\ch x$, как и для тригонометрических функций.

А теперь найдите формулу для $\th^2x$ через $\ch^2x$

[Munin]

мат-ламер в сообщении #967749 писал(а):

Интересно, что в школе тригонометрическим функциям уделяется достаточно большое внимание.

Это следствие того, что из них можно не думая мозгами придумать много стандартных экзаменационных задач. Реально они нужны далеко не в таких объёмах.

мат-ламер в сообщении #967749 писал(а):

А в ВУЗе при изучении анализа гиперболические функции возникают как какой-то мимолётный эпизод.

При изучении СТО - уже не как мимолётный. Пользоваться ими приходится постоянно.

мат-ламер в сообщении #967749 писал(а):

Видимо считается, что если студенту это будет нужно, то он и сам может всё это освоить. Что-то наверное нужно и помнить. Например, как связаны $\ch t$ и $\sh t$. Или как выражается $\th t$ через $\sh t$ и $\ch t$. Зная это, можно вычислить, как выражается $\ch t$ через $\th t$.

Вся тригонометрия выражается из двух главных соотношений: $\sin^2x+\cos^2x=1$ и $\tg x=\sin x/\cos x.$
Аналогично, вся гиперболика выражается из двух соотношений: $\ch^2x-\sh^2x=1$ и $\th x=\sh x/\ch x.$
Запомнить нетрудно, сделать соответствующие выводы - тоже.

-- 24.01.2015 22:07:00 --

Denis Russkih в сообщении #967799 писал(а):

Спасибо, очень интересно. :) Но, насколько я понимаю, там всё-таки не совсем то же самое... Там ведь не работает теорема Пифагора для евклидовой геометрии?

Там работает аналогичная теорема: $\ch^2 x-\sh^2 x=1.$ Называется "основное гиперболическое тождество".

Так что, можно ввести аналогичные три числа $c^2=a^2-b^2,$ такие что будет $\ch x=\dfrac{a}{c},\quad\sh x=\dfrac{b}{c},\quad\th x=\dfrac{b}{a}.$ Вычислять эти числа совсем не обязательно (тем более что они неопределены), а выражать дроби одну через другую можно.

В СТО приняты обозначения: $\gamma=\ch\theta,\quad v=\th\theta$ (или иногда не $v,$ а $\beta$), из них моментально выражается $\sh\theta=v\gamma,$ и с этими тремя величинами происходит множество вычислений.

Denis Russkih в сообщении #967799 писал(а):

Вроде бы это и есть аналог теоремы Пифагора для гиперболических функций.

Нет, вы всё перепутали :-) Эту формулу понадобится изучить позже: когда вы заинтересуетесь тем, что такое сферическая геометрия и геометрия Лобачевского. И то, честно говоря, мало пригождается.

Denis Russkih в сообщении #967799 писал(а):

Но вот как можно вывести формулу $\eqno(2)$ из формулы $\eqno(1)$ — я так и не понял. :)

Да и низя.

[Denis Russkih]

provincialka в сообщении #967804 писал(а):

А теперь найдите формулу для $\th^2x$ через $\ch^2x$

Хм, спасибо, по определению $\th x = \dfrac{\sh x}{\ch x}$, значит,

$$\sh^{2}x = \ch^{2}x - 1$$ $$\th^{2}x = \dfrac{\sh^{2}x}{\ch^{2}x} = \dfrac{\ch^{2}x - 1}{\ch^{2}x}$$

...А отсюда уже несложно выразить $\ch x$ через $\th x$. Действительно, ларчик-то просто открывался! :)

Но вот сам $\th x$ так легко найти не получится... На уже упомянутой мною странице приводится формула:

$$\th x = \dfrac{\operatorname{sgn} x \sqrt{\ch^{2}x - 1}}{\ch x}$$

Там упоминается некая загадочная функция $\operatorname{sgn} x$. Я, конечно, тут же заглянул в Википедию и просветился. :) Но так и не понял, откуда она там берётся. Это уже надо уметь исследовать гиперболические функции... В общем, чем дальше в лес, тем больше дров. :)

[provincialka]

Подумаешь, сигнум... Просто знак. Когда решаем уравнение $\th^2 x=b$, ответом может быть $\th x =\sqrt b$ и $\th x =-\sqrt b$, причем знак тангенса всегда совпадает со знаком $x$, т.е. $\th x =\operatorname{sgn}x\sqrt b$

[Denis Russkih]

Munin в сообщении #967817 писал(а):

Там работает аналогичная теорема: $\ch^2 x-\sh^2 x=1.$ Называется "основное гиперболическое тождество".

Так что, можно ввести аналогичные три числа $c^2=a^2-b^2,$ такие что будет $\ch x=\dfrac{a}{c},\quad\sh x=\dfrac{b}{c},\quad\th x=\dfrac{b}{a}.$ Вычислять эти числа совсем не обязательно (тем более что они неопределены), а выражать дроби одну через другую можно.

В СТО приняты обозначения: $\gamma=\ch\theta,\quad v=\th\theta$ (или иногда не $v,$ а $\beta$), из них моментально выражается $\sh\theta=v\gamma,$ и с этими тремя величинами происходит множество вычислений.

Вот оно как! Занятно. :) Спасибо за объяснения. Надо будет это обдумать.

provincialka в сообщении #967828 писал(а):

Подумаешь, сигнум... Просто знак. Когда решаем уравнение $\th^2 x=b$, ответом может быть $\th x =\sqrt b$ и $\th x =-\sqrt b$, причем знак тангенса всегда совпадает со знаком $x$, т.е. $\th x =\operatorname{sgn}x\sqrt b$

Это тоже надо будет обдумать. :) Сейчас что-то голова уже совсем не варит — видимо, не привыкла столько трудиться. :)

[Munin]

В школе обычно пишут не через сигнум, а что-то вроде $\pm\sqrt{1-1/\ch^2 x},$ со словесными пояснениями, что "знак выбирается по таким-то правилам...".