Степени в элементарной математике

[Ms-dos4]

Qazed
А что подробнее? Я сам не понимаю её логики. Нет, я конечно знаю, что там есть функция CubeRoot, которая вернёт мне $\[{ - 1}\]$. Но я всё же не доволен, что на ввод $\sqrt[3]{-1}$ она мне даёт не три корня сразу, а выбирает только один. Ну и плюс мне не нравится системе записи корней. Так например все кубические корни из минус единицы она записывает так $\[\{ - 1,{( - 1)^{\frac{1}{3}}}. - {( - 1)^{\frac{2}{3}}}\} \]$
upgrade
Очевидно, первое единица, т.к. она эти выражения отождествляет, а второе возвращает $\[ - 1\]$, конечно
P.S.Не поймите меня неверно, формально Wolfram Mathematica права, т.к. она работает над полем комплексных чисел, но некоторые вещи, такие как произвольный выбор одного из корней и система их записи, мне не нравятся, не общепринято это.

[upgrade]

Ms-dos4 в сообщении #966345 писал(а):

Очевидно, первое единица

mihailm в сообщении #966326 писал(а):

Qazed в сообщении #966272 писал(а):

...Верно ли равенство?
$\sqrt[3]{-1}=(-1)^{1/3}$

По современным школьным правилам нет, правая часть не определена.
Такого же мнения придерживается, кстати, maple.
В науке математике равенства тоже нет, но не по школьным основаниям, а по недоопределенности (исправлять которую смысла маловато).

так если единица, значит равенство верно...

-- 21.01.2015, 19:19 --

Ms-dos4 в сообщении #966345 писал(а):

а второе возвращает $\[ - 1\]$, конечно

значит $(-1^{\frac{1}{3}})^3=(-1^3)^{\frac{1}{3}}$

[Ms-dos4]

upgrade
Дело не в этом. Во первых, это НЕ общепринято. Во вторых, НАМНОГО хуже то, что она считает, что $\[\sqrt[3]{{ - 1}} = {( - 1)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]$

-- Ср янв 21, 2015 19:22:04 --

upgrade
А вот второе, что вы написали - уже не так. Она выдаёт $\[{({( - 1)^3})^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]$

[upgrade]

Ms-dos4 в сообщении #966351 писал(а):

Во вторых, НАМНОГО хуже то, что она считает, что $\[\sqrt[3]{{ - 1}} = {( - 1)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]$

это что-же получается, для значимых вычислений комплексная форма обязательна...

[Ms-dos4]

Это значит, что вы должны учитывать, что некоторые вещи в математике не такие, какие общепринятые (хотя неверными я их назвать не могу, но глупыми-да, если кто не знает про функцию CubeRoot, будет проблемы).

[upgrade]

Ms-dos4 в сообщении #966351 писал(а):

А вот второе, что вы написали - уже не так.

так снова тогда:
чему равно $\frac{(-1^{\frac{1}{3}})^3}{(-1^3)^{\frac{1}{3}}}$ ?
оно равно $1$, значит ... и так далее

[Ms-dos4]

upgrade
$\[\frac{{{{({{( - 1)}^{\frac{1}{3}}})}^3}}}{{{{({{( - 1)}^3})}^{\frac{1}{3}}}}} = {( - 1)^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]$
Что значит равно 1? С чего вы взяли?

[mihailm]

Qazed в сообщении #966336 писал(а):

mihailm в сообщении #966326 писал(а):

По современным школьным правилам нет, правая часть не определена.

Заканчиваю физико-математический класс, на всех уроках математики $\sqrt[3]{-1} = (-1)^{1/3}$ и наоборот по определению. (Класс возможно несовременный или неправильный *ирония*)

mihailm в сообщении #966326 писал(а):

Такого же мнения придерживается, кстати, maple.

И Mathematica

Ну и что? Не знает учитель определение, а школьники учебники не читают - это не новость.
Действительно, посмотрел, мой последний maple (17-й) считает $(-1)^{\frac{1}{3}}$ и выдает комплексный ответ (если попросишь). Корень кубический из минус единицы как и раньше равен минус один.

[Ms-dos4]

mihailm
Воот, а почему математика за $\[{\sqrt[3]{{ - 1}}}\]$ выбирает именно $\[{{{( - 1)}^{\frac{1}{3}}}}\]$, что у неё равно $\[\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]$?

[upgrade]

Ms-dos4 в сообщении #966358 писал(а):

Вы ещё не поняли её логики, что ли?

нет, я по теме, прочитал и из обсуждения понял, что дробные степени так просто (как целые) нельзя сокращать или например, вычитать с корнями и степенями, которые так же выглядят (с отрицательными значениями в степени боль-менее понятно)

-- 21.01.2015, 19:34 --

Ms-dos4 в сообщении #966358 писал(а):

Что значит равно $1$? С чего вы взяли?

так потому что $\frac{(x^{\frac{1}{3}})^3}{(x^3)^{\frac{1}{3}}}=1$

[Qazed]

mihailm в сообщении #966359 писал(а):

Ну и что? Не знает учитель определение, а школьники учебники не читают - это не новость.

В компетентности моего учителя можете не сомневаться --- у него кандидатская по теории чисел, полагаю что определения он не успел забыть. Собственно из-за учебников вопрос и возник, как ранее заметил Brukvalub:

Brukvalub в сообщении #966315 писал(а):

Понятно, что ответ на этот вопрос зависит исключительно от определения корня и дробной степени в конкретных учебниках. Поэтому берем в ручки набор школьных учебников, находим в них соответствующие определения...

[mihailm]

Ms-dos4 в сообщении #966360 писал(а):

mihailm
Воот, а почему математика за $\[{\sqrt[3]{{ - 1}}}\]$ выбирает именно $\[{{{( - 1)}^{\frac{1}{3}}}}\]$, что у неё равно $\[\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]$?

Не знаю, сейчас проведу эксперимент)

[Kras]

$ a^{p\over q} = (\sqrt[q]{a})^p, \quad p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} $
Это определение. Теперь если предположить, что $\sqrt[3]{-1}=(-1)^{1/3}$, то степени нельзя сокращать. Иначе $(-1)^{2/6}$ по определению можно записать как $(\sqrt[6]{-1})^2$, а это уже ни в какие рамки не лезет.

Школьная математика - самое унылое и беспонтовое занятие, потому что в ней такие вопросы не ставятся.

[mihailm]

Qazed, мы что ли за вас учебники школьные открывать будем??? Откройте и убедитесь, что я прав

[Ms-dos4]

upgrade
С чего бы это?