Интегральное уравнение типа Абеля.

[Red_Herring]

amon в сообщении #965036 писал(а):

где $\xi$ - какая-то точка между нулем и единицей. Положив $x=\xi$

$\xi=\xi(x)$ и скорее всего $\xi\ne x$ при $x\ne 1/2$

[amon]

Спасибо! Будем дальше думать.

[Brukvalub]

Скажите, это интегральное уравнение возникло из задач электрохимии?

[amon]

Brukvalub в сообщении #965076 писал(а):

Скажите, это интегральное уравнение возникло из задач электрохимии?

Будете смеяться - из физики твердого тела (одномерной Латтинжеровской жидкости).

-- 19.01.2015, 20:17 --

Red_Herring в сообщении #965048 писал(а):

$\xi=\xi(x)$ и скорее всего $\xi\ne x$ при $x\ne 1/2$

Еще дурацкий вопрос. Правда ли, что $\xi(x)$ - непрерывная функция $x$?

[Oleg Zubelevich]

amon в сообщении #965091 писал(а):

Еще дурацкий вопрос. Правда ли, что $\xi(x)$ - непрерывная функция $x$?

это трудно сказать, нет, скорее всего, вот функция $f$ она непрерывна

-- Пн янв 19, 2015 20:37:00 --

а ведь про эти вещи куча литературы написана. навскидку

1)Рисс Надь Функциональный анализ
2) Данфорд Шварц Линейные операторы
3) Канторович Акилов Функан
4)Эдвардс Функан

[amon]

Oleg Zubelevich в сообщении #965108 писал(а):

а ведь про эти вещи куча литературы написана. навскидку

Это правда, но найти спектр эта литература пока не помогла. Непонятно даже (нам, убогим), конечное ли число характеристических чисел у этого уравнения.

[Oleg Zubelevich]

в явном виде только учебные задачи решаются

[Red_Herring]

Я бы ограничился асимптотикой $\lambda_n$ при $n\to \infty$ и нахождением первых (наибольших) с.з. численно,

[amon]

Red_Herring в сообщении #965130 писал(а):

Я бы ограничился асимптотикой $\lambda_n$ при $n\to \infty$

Не подскажете, как ее отыскать (такая идея у нас сейчас отрабатывается).

Oleg Zubelevich в сообщении #965123 писал(а):

в явном виде только учебные задачи решаются

Так уравнение с виду простенькое, и когда к нему некую затейливую задачу свели, то решили, что все: остальное за нас в 19 веке уже сделано, ан нет - приходится в чужом огороде копаться.

[Red_Herring]

amon в сообщении #965138 писал(а):

Не подскажите, как ее отыскать (такая идея у нас сейчас отрабатывается).

Ну я об этом уже писал. Будет время—напишу подробнее.

[amon]

Red_Herring в сообщении #965141 писал(а):

Будет время—напишу подробнее.

Если не затруднит - напишите пожалуйста!

[mihiv]

Oleg Zubelevich в сообщении #965108 писал(а):

вот функция $f$ она непрерывна

Если $f(x)$ непрерывна, то с.з. можно оценить. Пусть $M$ наибольшее значение $f(x)$ на отрезке $[0,1]$ достигается в точке $x_0$. Тогда выполняется неравенство

$$M\int \limits _0^1\dfrac 1{|x-s|^{\alpha }}ds\geqslant \lambda f(x)$$

или

$$\dfrac M{1-\alpha }\left (x^{1-\alpha}+(1-x)^{1-\alpha}\right )\geqslant \lambda f(x)$$

Наибольшее значение левой части последнего неравенства на $[0,1]$ достигается при $x=\frac 12$ и равно $M\dfrac {2^{\alpha }}{1-\alpha }$ Поэтому

$$M\dfrac {2^{\alpha }}{1-\alpha }\geqslant \lambda f(x)$$

.Положив в последнем неравенстве $x=x_0$, получим:

$$\dfrac {2^{\alpha }}{1-\alpha }\geqslant \lambda $$

[Утундрий]

(Оффтоп)

здесь было сообщение

[Red_Herring]

1) Показать, что преобразование Фурье от $|x|^{-\alpha}$ есть $c|\xi|^{\alpha-1}$ и подсчитать $c$;

2) Показать что $H e^{2\pi in x}=\mu_n e^{2\pi in x} + v_n$, где $\mu_n= c (2\pi |n|)^{\alpha-1}$, а $\|v_n\|_{L^2}$ меньше. Чем точнее оцените $\|v_n\|$ тем лучше.

3) Вывести отсюда оценку для $|\lambda_n-\mu_n|$

[amon]

Red_Herring, спасибо! Дальше справимся.