Интегральное уравнение типа Абеля.

[amon]

В некоторой физической задаче встретилось уравнение

$$\int\limits_{0}^{1}\frac{f(s)}{|x-s|^\alpha}ds=\lambda f(x),$$

очень похожее на уравнение Абеля. Величина $0<\alpha<1/2,$ найти хочется $\lambda$. Решения найти не могу, и решить сходу (за неделю) тоже не получается.

В принципе, годится и такая величина. Пусть я умею решать уравнение$\int\limits_{0}^{1}\frac{f(s)}{|x-s|^\alpha}ds-\lambda f(x)=g(x),$ и его решение имеет вид $f(x)=\int\limits_{0}^{1}R(x,s,\lambda)g(s)ds$. Тогда меня интересует только $R(x,x,\lambda)$ при совпадающих аргументах. Буду благодарен за любую подсказку.

[Oleg Zubelevich]

день сегодня урожайный на компактные операторы в $L^2$ и самосопряженные

[Red_Herring]

Я не думаю, что точные решения удастся найти, а вот асимптотические при $\lambda\to 0$—можно

[sup]

С большой вероятностью таких $\lambda$ не найдется. К слову, обычно в ядро $R$ не включают всякие "дельтаобразия", и решение имеет немного другой вид
$f(x) = -g(x)/\lambda + \int\limits_{0}^{1}R(x,s,\lambda)g(s)ds$.
Не уверен, что $R(x,x,\lambda)$ можно найти в замкнутом виде. А вот приближенное значение можно найти методом последовательных приближений. Но может Вам нужна какая-нибудь асимптотика?

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #960750 писал(а):

С большой вероятностью таких $\lambda$ не найдется.

это неверно, такие $\lambda$ существуют, и отвечающие им собственые функции тоже

[sup]

Хм, может я и ошибся. Я прикинул, как выглядят повторные ядра. Мне показалось, что их нормы быстро убывают.

[Oleg Zubelevich]

а как у компактного самосопряженного оператора может не быть собственных чисел и собственных векторов?

[sup]

Вы правы.
Уже не соображаю.

[Red_Herring]

Я думаю, что ядро оператор в степени $n$ то ядра будет иметь ядро типа $c_1 |s-t|^{n-1-n\alpha}+ c_2|s+t|^{n-1-n\alpha}+c_2|2-s-t|^{n-1-n\alpha}$ (плюс более регулярные члены)

[amon]

sup в сообщении #960750 писал(а):

Но может Вам нужна какая-нибудь асимптотика?

Стесняюсь сказать (особенно среди математиков), но мне нужен "определитель" этого оператора, определяемый, как это у нас водится, не слишком корректно - либо как произведение сз (способы регуляризации известны), либо через "$\ln\operatorname{det}(A)=\operatorname{Sp}\ln(A)$".

[Red_Herring]

Разумеется $\ln (A)$ оператор неограниченный, и заведомо не trace class, поэтому $\operatorname{Tr}\ln (A)$ тоже надо регуляризовать, например, рассматривая $\operatorname{Tr}(\ln (A)-\ln (A^0))$ где $A^0$ какой нибудь стандартный оператор. В силу того, что Ваш оператор в некотором смысле имеет порядок $\alpha-1$, его с.з. $\lambda_n \asymp n^{\alpha-1}$.

Кстати, математики вместо $\operatorname{Sp}$ обычно пишут $\operatorname{Tr}$ или $\operatorname{tr}$.

[amon]

Red_Herring в сообщении #960835 писал(а):

тоже надо регуляризовать

В регуляризации мы навострились, нам бы уравнения решать научиться.

Red_Herring в сообщении #960835 писал(а):

В силу того, что Ваш оператор в некотором смысле имеет порядок $\alpha-1$, его с.з. $\lambda_n \asymp n^{\alpha-1}$.

А какой-нибудь способ такую асимптотику уточнить не подскажите?

[Red_Herring]

amon в сообщении #960844 писал(а):

А какой-нибудь способ такую асимптотику уточнить не подскажите?

Зависит от того, до чего Вы ее уточнить хотите. Если бы не было концов, то Ваш оператор бы был псевдодифференциальным оператором (а точнее—мультипликатором, т.е. оператором умножения в моментном представлении на $p(\xi)=c|\xi|^{\alpha-1}$ и потому ядро Шварца его спектрального проектора (и сужение на диагональ) считалось бы точно. Для нашего (на отрезке) оператора это давало бы асимптотику для сужения на диагональ ядра Шварца его спектрального проектора $e(x,x,\lambda)\sim \kappa \lambda^{1/(\alpha-1)}$.

Я почти уверен, что оценка остатка будет $O(1)$ или хотя бы $O(\ln \lambda)$ (по крайней мере для $N(\lambda)$ eigenvalue counting function). Вообще-то одномерные операторы гораздо легче многомерных и для одномерных ДО стараются строить полную асимптотику $\lambda_n$, принципиально невозможную для не суперспециальных многомерных ДО. Но здесь оператор не дифференциальный и не обладает свойством трансмиссии, которое означает что $C^\infty $ вплоть до границы он переводит в $C^\infty $ вплоть до границы. Я могу спросить у людей, которые занимаются одномерными операторами и могут знать.

[amon]

Red_Herring в сообщении #960878 писал(а):

Зависит от того, до чего Вы ее уточнить хотите.

Я пока возьму паузу, что бы переформулировать задачку поточнее (была надежда, что уравнение давно решено, а мы по убогости решение не отыскали). Теперь понятно, что надо искать приближенное решение. Спасибо откликнувшимся и просто прочитавшим.

[amon]

Попробую продолжить. Поскольку за почти двести лет никто из математиков не удосужился решить это простенькое уравнение, приходится ковыряться самим. А если серьезно, то прошу проверить следующую выкладку . Пусть имеется какое-то решение $(\lambda,f(x))$ уравнения

$$\int\limits_{0}^{1}\frac{f(s)}{|x-s|^\alpha}ds=\lambda f(x),$$

где $0<\alpha<1/2$. Тогда по теореме о среднем можно написать

$$f(\xi)\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{|x-s|^\alpha}ds=\lambda f(x),$$

где $\xi$ - какая-то точка между нулем и единицей. Положив $x=\xi$ моментально получим

$$\frac{\xi^{1-\alpha}+(1-\xi)^{1-\alpha}}{1-\alpha}=\lambda,$$

т.е. $\lambda$ - ограниченная величина. Значит по теореме о том, что в ограниченной области существует конечное число характеристических чисел, уравнение имеет конечное их число. (Знать бы какое, но если здесь не соврато, то и так хорошо получится)

Вопрос: где я вру? Если совсем глупость написана - заранее извиняюсь.