2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9411
Hogtown
amon в сообщении #965036 писал(а):
где $\xi$ - какая-то точка между нулем и единицей. Положив $x=\xi$


$\xi=\xi(x)$ и скорее всего $\xi\ne x$ при $x\ne 1/2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3866
ФТИ им. Иоффе СПб
Спасибо! Будем дальше думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13284
Москва
Скажите, это интегральное уравнение возникло из задач электрохимии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3866
ФТИ им. Иоффе СПб
Brukvalub в сообщении #965076 писал(а):
Скажите, это интегральное уравнение возникло из задач электрохимии?

Будете смеяться - из физики твердого тела (одномерной Латтинжеровской жидкости).

-- 19.01.2015, 20:17 --

Red_Herring в сообщении #965048 писал(а):
$\xi=\xi(x)$ и скорее всего $\xi\ne x$ при $x\ne 1/2$

Еще дурацкий вопрос. Правда ли, что $\xi(x)$ - непрерывная функция $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 20:34 


10/02/11
6786
amon в сообщении #965091 писал(а):
Еще дурацкий вопрос. Правда ли, что $\xi(x)$ - непрерывная функция $x$?

это трудно сказать, нет, скорее всего, вот функция $f$ она непрерывна

-- Пн янв 19, 2015 20:37:00 --

а ведь про эти вещи куча литературы написана. навскидку

1)Рисс Надь Функциональный анализ
2) Данфорд Шварц Линейные операторы
3) Канторович Акилов Функан
4)Эдвардс Функан

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3866
ФТИ им. Иоффе СПб
Oleg Zubelevich в сообщении #965108 писал(а):
а ведь про эти вещи куча литературы написана. навскидку

Это правда, но найти спектр эта литература пока не помогла. Непонятно даже (нам, убогим), конечное ли число характеристических чисел у этого уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 20:55 


10/02/11
6786
в явном виде только учебные задачи решаются

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9411
Hogtown
Я бы ограничился асимптотикой $\lambda_n$ при $n\to \infty$ и нахождением первых (наибольших) с.з. численно,

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3866
ФТИ им. Иоффе СПб
Red_Herring в сообщении #965130 писал(а):
Я бы ограничился асимптотикой $\lambda_n$ при $n\to \infty$
Не подскажете, как ее отыскать (такая идея у нас сейчас отрабатывается).
Oleg Zubelevich в сообщении #965123 писал(а):
в явном виде только учебные задачи решаются

Так уравнение с виду простенькое, и когда к нему некую затейливую задачу свели, то решили, что все: остальное за нас в 19 веке уже сделано, ан нет - приходится в чужом огороде копаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9411
Hogtown
amon в сообщении #965138 писал(а):
Не подскажите, как ее отыскать (такая идея у нас сейчас отрабатывается).

Ну я об этом уже писал. Будет время—напишу подробнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3866
ФТИ им. Иоффе СПб
Red_Herring в сообщении #965141 писал(а):
Будет время—напишу подробнее.

Если не затруднит - напишите пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 21:22 
Заслуженный участник


03/01/09
1379
москва
Oleg Zubelevich в сообщении #965108 писал(а):
вот функция $f$ она непрерывна

Если $f(x)$ непрерывна, то с.з. можно оценить. Пусть $M$ наибольшее значение $f(x)$ на отрезке $[0,1]$ достигается в точке $x_0$. Тогда выполняется неравенство $$M\int \limits _0^1\dfrac 1{|x-s|^{\alpha }}ds\geqslant \lambda f(x)$$или$$\dfrac M{1-\alpha }\left (x^{1-\alpha}+(1-x)^{1-\alpha}\right )\geqslant \lambda f(x)$$Наибольшее значение левой части последнего неравенства на $[0,1]$ достигается при $x=\frac 12$ и равно $M\dfrac {2^{\alpha }}{1-\alpha }$ Поэтому$$M\dfrac {2^{\alpha }}{1-\alpha }\geqslant \lambda f(x)$$.Положив в последнем неравенстве $x=x_0$, получим: $$\dfrac {2^{\alpha }}{1-\alpha }\geqslant \lambda $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8063

(Оффтоп)

здесь было сообщение

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 21:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9411
Hogtown
1) Показать, что преобразование Фурье от $|x|^{-\alpha}$ есть $c|\xi|^{\alpha-1}$ и подсчитать $c$;

2) Показать что $H e^{2\pi in x}=\mu_n e^{2\pi in x} + v_n$, где $\mu_n= c (2\pi |n|)^{\alpha-1}$, а $\|v_n\|_{L^2}$ меньше. Чем точнее оцените $\|v_n\|$ тем лучше.

3) Вывести отсюда оценку для $|\lambda_n-\mu_n|$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение типа Абеля.
Сообщение19.01.2015, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3866
ФТИ им. Иоффе СПб
Red_Herring, спасибо! Дальше справимся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group