ТФКП

[Otta]

TripleLucker
Это Вас в каком классе так делить научили?

...не, чего я ругаюсь. Все ж хорошо.

[ex-math]

Ну как же, в первой сумме первое слагаемое.
На самом деле, достаточно того, что $f(z)=\frac3z+O(z^{-2})$. Главный член интегрируете по большой полуокружности явно, а остаток оцениваете так, как привыкли.

[TripleLucker]

Ооой, я сглупил что-то. Ну тогда по формуле интегрируем:

$\[\int\limits_{|z| = R}^{} {\frac{3}{z}dz = 'z = R{e^{i\phi }},dz = iR} {e^{i\phi }}d\phi ' = \int\limits_0^\pi {3id\phi = } 3\pi i\]$

Ну и берем с минусом, т.к. на бесконечности. Тогда там и правда мнимая часть сократится и ответ вещественный получится. Неужели правильно? Я остаток опустил, правда.

P.S. Если брать с минусом, то как раз не сокращается :(. Минус, похоже, не нужен?

[ex-math]

У Вас же полуокружность проходится против часовой стрелки, так что никакой минус, естественно, не нужен.

[TripleLucker]

ex-math в сообщении #964385 писал(а):

У Вас же полуокружность проходится против часовой стрелки, так что никакой минус, естественно, не нужен.

Ах, ну да. Тогда, видимо, все получается:

$\[\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty ,\varepsilon \to 0} (\int\limits_{{D_{R\varepsilon }}}^{} {} - \int\limits_{{C_R}}^{} {} - \int\limits_{\gamma _\varepsilon ^ - }^{} {} ) = 2\pi i(1 + \frac{{{e^{ - \frac{{2\pi i}}{3}}}}}{3}) + \frac{4}{3}\pi i - 3\pi i = \frac{\pi }{3}i + \frac{2}{3}\pi i( - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i)= \frac{{\pi \sqrt 3 }}{3}\]$

Нам никогда не говорили про то, что можно так считать через полувычет на бесконечности. Спасибо! Если все верно, конечно .

[ex-math]

Я считаю слово "полувычет" идеологически вредным. Забудьте его. В таких задачах лучше каждый раз получать все эти леммы заново, на конкретном материале (ну Жордана можно оставить, с ним чуть побольше возни). Тогда Вы никогда не запутаетесь в знаках и в том, можно или нельзя, правильно или неправильно.

Ответ правильный.

[green5]

Эх, у меня ответ (eсли брать сумму двух вычетов)
$13/3\,i\pi +1/3\,\pi \,\sqrt {3}$

[ex-math]

Интеграл вещественным все-таки должен быть.

[green5]

Ну да , забыл, мнимая часть из-за обхода
по верхней дуге: $3\,i\pi$
и мелкого обхода полюса -1: $4/3\,i\pi$.

Незначительная деформация контура интегриравания около -1 так влияет на интеграл.
Странно физики сплошь и рядом сдвигают полюс (добавляют $0\,i$) и ничего.