2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 ТФКП
Сообщение18.01.2015, 09:40 


11/12/14
148
Здравствуйте. Пытаюсь вычислить интеграл, но есть один момент, который вводит меня в тупик.
$\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} $

Переходим на комплексную плоскость.
Особыми точками будут три корня из уравнения в знаменателе и, как обычно, бесконечность:
${z_1} = {e^{\frac{{i\pi }}{3}}},{z_2} =  - 1,{z_3} = {e^{ - \frac{{i\pi }}{3}}},{z_4} = \infty $
Первые три являются простыми полюсами.
Контур я взял такой: полуокружность радиуса $\[R\]$ с положительной мнимой частью, выкинул точку на вещественной оси с помощью маленькой полуокружности радиуса $\varepsilon $. Интеграл разбился на 4 части : $\[\int\limits_{{D_{R\varepsilon }}}^{} {f(z)dz = \int\limits_{{C_R}}^{} {}  + \int\limits_{\gamma _\varepsilon ^ - }^{} {}  + \int\limits_{{\tau _{R\varepsilon }}}^{} {}  + \int\limits_{\tau _{R\varepsilon }^'} {} } \]$,
где интеграл слева по замкнутой области (считаем через вычеты), первый интеграл справа по дуге большой окружности, второй интеграл по дуге маленькой окружности ПО часовой стрелке, а последние два в пределе (это маленькие кусочки вещественной оси) по обоим параметрам дают наш ответ, т.е. интеграл по всей вещественной оси.
Внутри области только один вычет - ${z_1}$, поэтому интеграл равен:

$\[\int\limits_{{D_{R\varepsilon }}}^{} {f(z)dz = 2\pi i(1 + \frac{{{e^{ - \frac{{2\pi i}}{3}}}}}{3}} )\]$

Второй интеграл справа считаем по лемме о полувычете:

$\[\int\limits_{{C_R}}^{} {f(z)dz =  - \pi i\mathop {{\mathop{\rm Re}\nolimits} s}\limits_{z =  - 1} (f(z))}  =  - \frac{{4\pi i}}{3}\]$

Но вот первый интеграл слева обычно в ноль уходит(либо по лемме Жордана, либо просто по оценке для интеграла), а тут при оценке даже так видно, что в числителе 3-ья степень и в знаменателе тоже. Что с этим делать, я не знаю. Да и к тому же те два посчитанные интеграла не дают вещественное число, которое должно получиться в ответе, т.к. интеграл считаем вещественный.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 09:41 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
TripleLucker
Зачем вообще лезть в ТФКП, если сразу очевидно, что интеграл расходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 09:46 


11/12/14
148
Ms-dos4 в сообщении #964054 писал(а):
TripleLucker
Зачем вообще лезть в ТФКП, если сразу очевидно, что интеграл расходится?


Преподаватель сказал считать. Не знаю, что ему сказать.
Я вижу, что расходится. Я даже на вольфраме проверил еще на всякий случай. Ну ладно тогда, раз такое дело. Преподаватель, значит, ошибся просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 09:46 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
TripleLucker
Сказать, что интеграл равен бесконечности (расходится)
P.S.Он там про главное значение ничего не говорил :-) ?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 09:51 


11/12/14
148
Да нет, ничего не говорил. Ну я знаю, что такое интеграл в смысле главного значения, но это ж получается и есть то, что я делаю, пределы по $R$ и по $\varepsilon $ (ну если совсем грубо говорить, конечно).
А вот некоторые интегралы расходятся, а v.p. не расходится при этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 10:18 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Если вы хотите брать интеграл в смысле главного значения, то вам надо рассмотреть здесь $\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx}  = \mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$. Разбиваете интеграл на два и вперёд. Обе функции прекрасно интегрируются и без ТФКП.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 11:11 


11/12/14
148
Хм, если б так все было легко, то предмет бы не назывался ТФКП, по которому задали посчитать интеграл :-( . Я в вольфрам его забивал, как неопределенный, там логарифмы и арткангенсы, а логарифмов аж несколько, разве это легко? Ну первый легкий, да, а вот второй. На простые дроби раскладывать - это то еще испытание же. Там такие корни некрасивые. Но я попробую все равно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 11:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Для второго слагаемого (с единичкой в числителе) интеграл сходится, поэтому его можно найти как-нибудь по-другому, хоть через гамма-функцию. Есть еще хитрые приемчики. А, может, и вычеты сюда приткнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 11:25 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
TripleLucker
Используйте разложение $\[{x^3} + 1 = (x + 1)({x^2} - x + 1)\]$ (то бишь как геом. прогрессия). Вот и простые дроби для второго интеграла почти готовы, только коэффициенты определить.
P.S.Не ну если предмет ТФКП. Но я не вижу, чем здесь легче идти через ТФКП (для всего интеграла).

-- Вс янв 18, 2015 11:26:37 --

provincialka
С какого перепугу $\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{x^3} + 1}}} \]$ сходится? В смысле главного значения да, конечно, но в обычном смысле нет

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 11:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Видимо, проще всего $\frac{3x^2}{x^3+1}$ взять явно (неопределённый; а потом перейти к пределам, чтобы получить главное значение), а $\frac{1}{x^3+1}$ по вычетам, как в головном посте.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 11:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А, там еще в (-1) особенность. А как же берут главное значение, если особенностей две?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
provincialka в сообщении #964076 писал(а):
А как же берут главное значение, если особенностей две?


Видимо, выкидывают $\varepsilon$-окрестности всех особых точек, заменяют $\pm\infty$ на $\pm R$, а потом устремляют $\varepsilon\to 0$ и $R\to +\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 11:44 


11/12/14
148
Что-то какой-то матан первый курс. А все равно проблема. Последний логарифм ж к $\ln ( - 1)$ стремится :(. А это комплексное число. Или там оно сократится с чем-нибудь дальше? Или я предел неправильно считаю?

$\[\int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx = } \int\limits_{ - R}^R {\frac{{d{x^3}}}{{{x^3} + 1}} = \ln ({R^3} + 1) - \ln ( - {R^3} + 1) = \ln (\frac{{{R^3} + 1}}{{ - {R^3} + 1}})} \]$

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 11:44 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
g______d
Да, именно так я и считал

-- Вс янв 18, 2015 11:52:23 --

TripleLucker
А модули где? И надо ещё рассмотреть $\[\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon  \to 0} \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$, который выкинули

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 11:56 


11/12/14
148
Ух ты ж, там такая интересная замена вылезла в интеграле $y = {x^2} - x$, будто так и нужно было считать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group