ТФКП

[TripleLucker]

Здравствуйте. Пытаюсь вычислить интеграл, но есть один момент, который вводит меня в тупик.
$\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} $

Переходим на комплексную плоскость.
Особыми точками будут три корня из уравнения в знаменателе и, как обычно, бесконечность:
${z_1} = {e^{\frac{{i\pi }}{3}}},{z_2} = - 1,{z_3} = {e^{ - \frac{{i\pi }}{3}}},{z_4} = \infty $
Первые три являются простыми полюсами.
Контур я взял такой: полуокружность радиуса $\[R\]$ с положительной мнимой частью, выкинул точку на вещественной оси с помощью маленькой полуокружности радиуса $\varepsilon $. Интеграл разбился на 4 части : $\[\int\limits_{{D_{R\varepsilon }}}^{} {f(z)dz = \int\limits_{{C_R}}^{} {} + \int\limits_{\gamma _\varepsilon ^ - }^{} {} + \int\limits_{{\tau _{R\varepsilon }}}^{} {} + \int\limits_{\tau _{R\varepsilon }^'} {} } \]$,
где интеграл слева по замкнутой области (считаем через вычеты), первый интеграл справа по дуге большой окружности, второй интеграл по дуге маленькой окружности ПО часовой стрелке, а последние два в пределе (это маленькие кусочки вещественной оси) по обоим параметрам дают наш ответ, т.е. интеграл по всей вещественной оси.
Внутри области только один вычет - ${z_1}$, поэтому интеграл равен:

$\[\int\limits_{{D_{R\varepsilon }}}^{} {f(z)dz = 2\pi i(1 + \frac{{{e^{ - \frac{{2\pi i}}{3}}}}}{3}} )\]$

Второй интеграл справа считаем по лемме о полувычете:

$\[\int\limits_{{C_R}}^{} {f(z)dz = - \pi i\mathop {{\mathop{\rm Re}\nolimits} s}\limits_{z = - 1} (f(z))} = - \frac{{4\pi i}}{3}\]$

Но вот первый интеграл слева обычно в ноль уходит(либо по лемме Жордана, либо просто по оценке для интеграла), а тут при оценке даже так видно, что в числителе 3-ья степень и в знаменателе тоже. Что с этим делать, я не знаю. Да и к тому же те два посчитанные интеграла не дают вещественное число, которое должно получиться в ответе, т.к. интеграл считаем вещественный.

[Ms-dos4]

TripleLucker
Зачем вообще лезть в ТФКП, если сразу очевидно, что интеграл расходится?

[TripleLucker]

Ms-dos4 в сообщении #964054 писал(а):

TripleLucker
Зачем вообще лезть в ТФКП, если сразу очевидно, что интеграл расходится?

Преподаватель сказал считать. Не знаю, что ему сказать.
Я вижу, что расходится. Я даже на вольфраме проверил еще на всякий случай. Ну ладно тогда, раз такое дело. Преподаватель, значит, ошибся просто.

[Ms-dos4]

TripleLucker
Сказать, что интеграл равен бесконечности (расходится)
P.S.Он там про главное значение ничего не говорил ?

[TripleLucker]

Да нет, ничего не говорил. Ну я знаю, что такое интеграл в смысле главного значения, но это ж получается и есть то, что я делаю, пределы по $R$ и по $\varepsilon $ (ну если совсем грубо говорить, конечно).
А вот некоторые интегралы расходятся, а v.p. не расходится при этом.

[Ms-dos4]

Если вы хотите брать интеграл в смысле главного значения, то вам надо рассмотреть здесь $\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} = \mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$. Разбиваете интеграл на два и вперёд. Обе функции прекрасно интегрируются и без ТФКП.

[TripleLucker]

Хм, если б так все было легко, то предмет бы не назывался ТФКП, по которому задали посчитать интеграл . Я в вольфрам его забивал, как неопределенный, там логарифмы и арткангенсы, а логарифмов аж несколько, разве это легко? Ну первый легкий, да, а вот второй. На простые дроби раскладывать - это то еще испытание же. Там такие корни некрасивые. Но я попробую все равно.

[provincialka]

Для второго слагаемого (с единичкой в числителе) интеграл сходится, поэтому его можно найти как-нибудь по-другому, хоть через гамма-функцию. Есть еще хитрые приемчики. А, может, и вычеты сюда приткнуть.

[Ms-dos4]

TripleLucker
Используйте разложение $\[{x^3} + 1 = (x + 1)({x^2} - x + 1)\]$ (то бишь как геом. прогрессия). Вот и простые дроби для второго интеграла почти готовы, только коэффициенты определить.
P.S.Не ну если предмет ТФКП. Но я не вижу, чем здесь легче идти через ТФКП (для всего интеграла).

-- Вс янв 18, 2015 11:26:37 --

provincialka
С какого перепугу $\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{x^3} + 1}}} \]$ сходится? В смысле главного значения да, конечно, но в обычном смысле нет

[g______d]

Видимо, проще всего $\frac{3x^2}{x^3+1}$ взять явно (неопределённый; а потом перейти к пределам, чтобы получить главное значение), а $\frac{1}{x^3+1}$ по вычетам, как в головном посте.

[provincialka]

А, там еще в (-1) особенность. А как же берут главное значение, если особенностей две?

[g______d]

provincialka в сообщении #964076 писал(а):

А как же берут главное значение, если особенностей две?

Видимо, выкидывают $\varepsilon$-окрестности всех особых точек, заменяют $\pm\infty$ на $\pm R$, а потом устремляют $\varepsilon\to 0$ и $R\to +\infty$.

[TripleLucker]

Что-то какой-то матан первый курс. А все равно проблема. Последний логарифм ж к $\ln ( - 1)$ стремится :(. А это комплексное число. Или там оно сократится с чем-нибудь дальше? Или я предел неправильно считаю?

$\[\int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx = } \int\limits_{ - R}^R {\frac{{d{x^3}}}{{{x^3} + 1}} = \ln ({R^3} + 1) - \ln ( - {R^3} + 1) = \ln (\frac{{{R^3} + 1}}{{ - {R^3} + 1}})} \]$

[Ms-dos4]

g______d
Да, именно так я и считал

-- Вс янв 18, 2015 11:52:23 --

TripleLucker
А модули где? И надо ещё рассмотреть $\[\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$, который выкинули

[TripleLucker]

Ух ты ж, там такая интересная замена вылезла в интеграле $y = {x^2} - x$, будто так и нужно было считать.