Живёт ли наш мир по вероятностным законам?

[amon]

warlock66613 в сообщении #964490 писал(а):

"В гейзенберговском представлении волновая функция с течением времени не меняется"

По-моему, все правильно. В Гейзенберговском представлении зависимость от времени перенесена на операторы.

[warlock66613]

amon в сообщении #964495 писал(а):

По-моему, все правильно. В Гейзенберговском представлении зависимость от времени перенесена на операторы.

Да, зависимость с состояния перенесена на операторы. Но волновая функция - это же не состояние, это проекция, и она одна и та же, куда зависимость не носи: $\psi(x) = \left\langle x(t) \vert \psi(0) \right\rangle = \left\langle x(0) \vert \psi(t) \right\rangle$, где $\left\vert x(t) \right\rangle$ - собственный вектор гейзенберговского оператора $\hat x(t)$, а $\left\vert \psi(t) \right\rangle$ - шрёдингеровский вектор состояния.

[amon]

warlock66613 в сообщении #964502 писал(а):

Но волновая функция - это же не состояние, это проекция

Но ведь в качестве базиса не обязательно выбирать собственные вектора какого-нибудь оператора. В этом случае для Шредингеровского представления волновая функция всегда зависит от времени, а для Гейзенберговского - как повезет.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #964490 писал(а):

Нехорошая фраза сразу попалась. "В гейзенберговском представлении волновая функция с течением времени не меняется". А функция-то как раз меняется. Это состояние не меняется. Или я не прав?

Э-э-э, а что вы называете функцией и состоянием? Навскидку выглядит, что вы неправы, по крайней мере, ср. формулировки ЛЛ-3 § 13.

-- 18.01.2015 23:00:11 --

warlock66613 в сообщении #964502 писал(а):

Но волновая функция - это же не состояние, это проекция

Принято в. ф. называть именно вектор состояния (причём в координатном представлении, туды его в качель).

warlock66613 в сообщении #964502 писал(а):

$\psi(x) = \left\langle x(t) \vert \psi(0) \right\rangle = \left\langle x(0) \vert \psi(t) \right\rangle$,

Было бы корректней записать это как $\psi(x,t)=\ldots,$ и волновой функцией это называется не всегда. Я бы это назвал "волновой функцией в шрёдингеровском представлении (смысле)", чтобы быть точным.

[warlock66613]

Munin в сообщении #964555 писал(а):

Э-э-э, а что вы называете функцией и состоянием? Навскидку выглядит, что вы неправы, по крайней мере, ср. формулировки ЛЛ-3 § 13.

Выше вроде уже разобрались. Действительно, по-дефолту принято проектировать на неподвижный базис, так что волновая функция оказывается неизменной (но несколько теряет в физическом смысле, становится более косвенной величиной).

[Munin]

warlock66613 в сообщении #964502 писал(а):

$\left\langle x(t) \vert \psi(0) \right\rangle = \left\langle x(0) \vert \psi(t) \right\rangle$

Кстати, это равенство вообще верно? Тут нигде комплексного сопряжения не напутано?

-- 18.01.2015 23:11:55 --

warlock66613 в сообщении #964559 писал(а):

Действительно, по-дефолту принято проектировать на неподвижный базис

Боюсь, как бы у вас не смешалось несколько стилей использования бра-кет нотации, у Фейнмана в ФЛФ-8-9 она вводится несколько нестандартно. Мне кажется, вашу формулу более правильно записать как:
$\psi_\text{ш}(x,t)=\langle x|\,(\text{пропагатор})(t,0)\,|\psi(0)\rangle=\langle x|\,e^{-i\hat{H}\cdot(t-0)/\hbar}\,|\psi(0)\rangle=\langle x|\psi(t)\rangle.$
Можно внести пропагатор в первый множитель, и определить
$\langle x(t)|\stackrel{\mathrm{def}}{=}\langle x|\,(\text{пропагатор})(t,0),$
но это как-то необщепринято. Удерживать пропагатор как отдельный множитель удобнее, особенно в КТП, где его расписывают как ряд, и вычисляют долго и с удовольствием.

-- 18.01.2015 23:15:30 --

У Фейнмана "кет" - это приготовленные условия опыта, а "бра" - наблюдённый результат. Обычно "кет" и "бра" - векторы пространства состояний.

[warlock66613]

Munin, да, что-то не срастается. Засада с этими картинами. Ладно, щас я посижу и раскушу.

[amon]

У меня "с детства" в голове такая картинка (может - неправильная, но менять уже поздно). Есть состояние в абстрактном гильбертовом пространстве $\left\vert \psi \right\rangle.$ Есть базис пространства $\left\vert \xi \right\rangle$, нумеруемый параметром $\xi$. Тогда волновой функцией $\psi(\xi)$ в $\xi$-представлении называется $\left\langle \xi \vert \psi \right\rangle$. Является ли $\xi$ собственным значением какого-нибудь оператора, и кто из них зависит от времени - не суть важно.

[warlock66613]

Не, всё-таки всё получается. Итак, в шрёдингеровской картине эволюционируют вектора:

$$\left\vert \psi(t) \right\rangle = U \left\vert \psi \right\rangle.$$

Тогда, помня, что среднее значение наблюдаемой выражается одинаково в обоих картинах, получаем эволюцию гейзенберговских операторов:

$$\left\langle x(t) \right\rangle = \left\langle \psi(t) \vert \hat x \vert \psi(t) \right\rangle = \left\langle \psi U^{-1} \vert \hat x \vert U \psi(0) \right\rangle = \left\langle \psi \vert U^{-1} \hat x U \vert \psi \right\rangle,$$

$$\left\langle x(t) \right\rangle = \left\langle \psi \vert \hat x(t) \vert \psi \right\rangle,$$

$$\hat x(t) = U^{-1} \hat x U.$$

Далее, если $\left\vert x(t) \right\rangle$ - это собственный вектор $\hat x(t)$, и $x(t)$ - соответствующее собственное значение, то $\left\langle x(t) \vert \hat x(t) \vert x(t) \right\rangle = x(t)$, или

$$\left\langle x(t) \vert U^{-1} \hat x U \vert x(t) \right\rangle = x(t).$$

Сравнивая это с $\left\langle x \vert \hat x \vert x \right\rangle = x$, получим

$$x(t) = x,$$

$$U \left\vert x(t) \right\rangle = \left\vert x \right\rangle.$$

Отсюда

$$\left\vert x(t) \right\rangle = U^{-1}\left\vert x \right\rangle.$$

А значит

$$\left\langle x(t) \vert \psi \right\rangle = \left\langle x \vert U \vert \psi \right\rangle=\left\langle x \vert \psi(t) \right\rangle$$

[g______d]

warlock66613 в сообщении #964589 писал(а):

$$\left\langle x(t) \vert \psi \right\rangle = \left\langle x \vert U \vert \psi \right\rangle=\left\langle x \vert \psi(t) \right\rangle$$

Это вроде бы верно. Но какой вывод из этого следует для волновой функции? Как мне кажется, всё зависит от того, определяем ли мы в картине Гейзенберга волновую функцию как $\langle x(t)|\psi\rangle$, или $\langle x(0)|\psi\rangle$. Можно и так, и так. Утверждение о равенстве средних в разных картинах -- это утверждение про векторы состояния, а не про волновые функции, поэтому от того, как мы определим волновую функцию, оно не зависит.

[warlock66613]

g______d, про волновую функцию по-идее всё выяснили выше.

warlock66613 в сообщении #964559 писал(а):

Действительно, по-дефолту принято проектировать на неподвижный базис, так что волновая функция оказывается неизменной (но несколько теряет в физическом смысле, становится более косвенной величиной).

[g______d]

А, опять я по диагонали читаю, сорри.

[Munin]

amon в сообщении #964579 писал(а):

У меня "с детства" в голове такая картинка (может - неправильная, но менять уже поздно). Есть состояние в абстрактном гильбертовом пространстве $\left\vert \psi \right\rangle.$ Есть базис пространства $\left\vert \xi \right\rangle$, нумеруемый параметром $\xi$. Тогда волновой функцией $\psi(\xi)$ в $\xi$-представлении называется $\left\langle \xi \vert \psi \right\rangle$. Является ли $\xi$ собственным значением какого-нибудь оператора, и кто из них зависит от времени - не суть важно.

Вроде, так и есть по ЛЛ-3.

-- 19.01.2015 01:38:37 --

warlock66613 в сообщении #964589 писал(а):

Далее, если $\left\vert x(t) \right\rangle$ - это собственный вектор $\hat x(t)$

Ну, можно так сказать, но редко кто говорит, потому что вот это вот:

warlock66613 в сообщении #964589 писал(а):

$$\left\vert x(t) \right\rangle = U^{-1}\left\vert x \right\rangle.$$

- неприятный разнобой в обозначениях.

[Magoga]

Описать в терминах теории вероятностей такие способы подсчёта, применение которых к случайным данным (возможно - не содержащих никаких количественных значений) приведёт к наблюдаемому распределению, и увязать их с физическими явлениями (любое взаимодействие реализует какой-то способ подсчёта. Например, прямоугольная система координат и неравная длина траекторий под разными углами, без чего не наблюдалась бы интерференция).

См. сообщении #964899

[profrotter]

Magoga, предупреждение за бессодержательное сообщение и бредогенерацию.