Задача о двух конвертах

[_Ivana]

Только что сын показал в интернете ссылку на эту известную, как оказалось, задачу.Почитал, и после некоторых раздумий возникли у меня в голове мысли, весьма сильно расходящиеся с тем, что написано в википедии. Например, что это никакой не парадокс, а стратегия меняться действительна выгодна Опишу в двух словах мои кустарные размышления.

1. Рассмотрим задачу с позиции казино. Если казино знает, какую сумму получил каждый игрок, то его оценка выигрышной стратегии игроков тривиальна - у кого меньшая сумма, тому надо меняться, у кого большая - тому не надо. Если же казино не знает сумму каждого игрока, тогда оно все равно при кажущейся бессмысленности стратегии обмена может попытаться понять мотивы игроков, которые таковы:

2. С позиции игрока мы знаем сумму в нашем конверте. Допустим, это 2 у.е. Эта информация позволяет нам утверждать, что у соперника либо 1, либо 4 у.е., и при оценке вероятностей этих вариантов как равных каждому игроку действительно выгодно поменяться, что якобы противоречит здравому смыслу и мнению известных и заслуженных людей. Но давайте распишем подробнее: 2 у.е. я как игрок могу получить только при вариантах исходных сумм в конвертах 1 - 2 и 2 - 4. Но поскольку я не имею информации о том, какой вариант реализовался, я именно буду предполагать их равновероятными, хоть это и противоречит выводам в википедии. Другими словами, я могу переформулировать задачу для себя - у меня есть 2 у.е. и казино с монеткой - если я говорю "меняемся", то монетка подбрасывается и при орле я получаю взамен своих 2 у.е. 4 у.е., а при решке 1 у.е. - конечно выгодно меняться. Точно так же выгодно меняться второму игроку. Можно смоделировать эту постановку на компьютере и убедиться. И имхо эта постановка полностью эквивалентна исходной - суть в том, что мы не можем рассматривать эту игру с позиции игрока как игру с нулевой суммой - у нас всегда есть шанс на то, что казино вбросило в банк бОльшую сумму, и мы можем оказаться в выигрыше "как бы" за счет казино.

А теперь скажите, почему эти кустарные рассуждения неверны и противоречат утверждениям ученых мужей, цитируемых в википедии.

[Nurzery[Rhymes]]

Цитата:

поэтому если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет $\left(2X+\frac{X}{2}\right)/2 = \frac54X,$ то есть больше, чем сейчас. Значит, обмен выгоден

Очевидно, что говорящий живет в своем собственном мире, где такой обмен выгоден в любом случае, хотя по факту он получит либо в два раза больше, либо в два раза меньше.

Цитата:

А теперь скажите, почему эти кустарные рассуждения неверны и противоречат утверждениям ученых мужей, цитируемых в википедии

Потому что те ученые мужи - аутисты, которые думают, что к жизни можно применить теорвер. В действительности жизнь подчиняется законам времени, законам подлости и причинно-следственной связи, а не математическим, а теорвер нужен максимум для определения вероятности того, например, какой шанс найти простое число при генерации параметров криптосистемы. Не надо требовать от математики того, для чего она не предназначена.

[ИСН]

В википедии написана какая-то чушь. Сравнивать бесполезно потому, что матожидание бесконечно; а бесконечность, умноженная на $5\over4$, ничуть не лучше (не "больше") самой себя.

-- менее минуты назад --

В зависимости от некоторых тонкостей, вместо "бесконечно" можете читать "не определено". В итоге один хрен.

[_Ivana]

Действительно, ситуация выглядит тривиальнее, если сильно изменить и упростить исходную постановку до следующей: казино может равновероятно выдавать пары конвертов только двух вариантов - 1 и 2 у.е. и 2 и 4 у.е., и право поменяться есть только у обладателя суммы 2 у.е.

[Red_Herring]

Попробую и я освежить свои ТВ познания. Пока нет с.в. говорить о её матожидании некорректно.

Вариант 1. Пусть у нас есть непрерывная с.в. $\zeta$ с функцией распределения $F(x)$. Положим в первый конверт значение $\xi=\zeta$, а потом бросим монетку, и положим во второй конверт соответственно вдвое больше или меньше ($\eta=2\zeta$ или $\eta=\frac{1}{2}\zeta$). Тогда случайная величина $\eta$ будет иметь другую функцию распределения, а именно $\frac{1}{2}F(\frac{1}{2}x)+\frac{1}{2}F(2x)$ т.е. ни о какой симметрии речь не идет (о чем Википедия и упоминает)

Вариант 2. Попробуем объехать на кривой. Сначала получим значение $\zeta$, потом бросим монетку, и в зависимости от результата положим в первый конверт $\xi=\zeta$, а во второй $\eta=2\zeta$, или наоборот. Тгда симметрия сохранится и $\xi$ и $\eta$ будут ф.р. $\frac{1}{2}F(\frac{1}{2}x)+\frac{1}{2}F(x)$ с плотностью $\frac{1}{4} f(\frac{1}{2}x)+\frac{1}{2}f(x)$ . Но какой ценой? Легко подсчитать, что при $\xi$ принявшем значение в интервале $(x,x+dx)$ условная вероятность что $\eta=2\xi$ будет не $\frac{1}{2}$, а зависеть от $x$, т.е. в зависимости от того, какую сумму будет видеть игрок в своем конверте будет зависеть его решение!

[_Ivana]

Мне так кажется, что если расширить мой дискретный частный случай по второму варианту Red_Herring, то есть возьмем непрерывную с.в. с равномерной плотностью вероятности на отрезке $[1,3]$, ее удвоенное значение будет равномерно распределено на отрезке $[2,6]$, выбор конвертов будем определять монеткой, игрок может получить сумму из диапазона $[1,6]$, о чем ему известно заранее. Тогда игрок по этому диапазону восстановит интервалы обоих с.в. и скорее всего (кажется мне очень сильно, что так) оптимальной будет стратегия всегда меняться при получении суммы из диапазона меньшей с.в., а при сумме в интервале $[3,6]$ не меняться. Но это будет принятие решения опираясь на известные возможные границы суммы в конверте. А расширяя интервалы определения первой (и, следовательно, второй) с.в. в пределе до бесконечности (при условии их положительности) мы и получаем ситуацию парадокса, когда оба интервала будут от нуля до бесконечности и при любой полученной сумме надо будет меняться, но в этом вырожденном случае у нас уже отсутствует критерий принятия решения, не говоря уже о том, что равномерно распределенная на бесконечном интервале с.в. невозможна.

[Red_Herring]

_Ivana в сообщении #963984 писал(а):

не говоря уже о том, что равномерно распределенная на бесконечном интервале с.в. невозможна.

Поэтому следует брать "возможное" распределение. Можно взять и дискретное распределение, со возможными значениями $2^n$ ($n\in \mathbb{Z}$). Но там то же самое

[_Ivana]

Тогда получается парадокс в том, что не задан закон распределения с.в., характеризующий меньшую сумму. А если задать этот закон любым непротиворечивым образом, то мне продолжает смутно казаться, что даже без знания этого закона стратегия всегда меняться при сумме меньшей некоторого числа будет выигрышна. Причем, это число может корректироваться в процессе игры - ему достаточно быть больше минимальной из выпавших в процессе игры сумм и меньше максимальной. Можно взять их среднее арифметическое.

[atlakatl]

При варианте _Ivana, когда игроку вручается конверт с $X$, а затем монеткой определяется, сколько денег положить в конверт для возможного обмена - $X/2$ или $2X$ - обмен действительно выгоден. Игроку даже не надо заглядывать в первый конверт, - меняйся смело.
В классической постановке ситуация сложнее. Статья в Википедии корявая, потому своими словами попробую.
Ситуация чисто психологическая. Доказываю.
Заменим бездуховное казино и привычного математически-абстрактного игрока на следующее:
А семье растут два близнеца. Горячо любящие их родители, папа таксист, мама учитель, вручили каждому из них по конверту. Ну и обсказали ситуацию: у одного из вас в конверте в $2$ раза больше, чем у другого.
Петя открывает свой конверт. $1000$ рублей. Его мысли: День рождения, всё-таки. Вряд ли родители Васе положили только $500$ рублей. А $2000$ рублей у него вполне могут оказаться. Меняюсь.
Вася: $2000$ рублей. $1000$ рублей они Пете вполне могли положить. А вот про $4000$ рублей большие сомнения. Мама с утра жаловалась, что на коммуналку никак денег собрать не получается. Оставляю себе этот конверт.
И никакого парадокса.

[Nemiroff]

atlakatl в сообщении #964002 писал(а):

При варианте _Ivana, когда игроку вручается конверт с $X$, а затем монеткой определяется, сколько денег положить в конверт для возможного обмена - $X/2$ или $2X$ - обмен действительно выгоден. Игроку даже не надо заглядывать в первый конверт, - меняйся смело.

Поменялся? Теперь меняйся обратно, потому что выгодно. Поменялся?

[atlakatl]

Nemiroff в сообщении #964005 писал(а):

Поменялся? Теперь меняйся обратно, потому что выгодно. Поменялся?

Поймали. Буду думать.
Но про близнецов я жду мнения.

[_Ivana]

Nemiroff в сообщении #964005 писал(а):

Поменялся? Теперь меняйся обратно, потому что выгодно. Поменялся?

Очевидно, что выгодно только нечетное количество обменов
ЗЫ если непонятно почему, рассмотрите постановку что казино с вероятностью 100 процентов кладет во второй конверт в 100 раз большую сумму.

[atlakatl]

_Ivana в сообщении #964011 писал(а):

казино с вероятностью 100 процентов кладет во второй конверт в 100 раз большую сумму.

Намекаете, что у казино может просто не хватить денег?

Цитата:

Поменялся? Теперь меняйся обратно, потому что выгодно. Поменялся?

Дошло. В варианте _Ivana - и чтоб не смотреть в конверты - меняться следует до тех пор, пока казино само не скажет: мужик, отстань, мы разорены.
PS. Почему число обменов должно быть нечётным, так и не понял.

[g______d]

atlakatl в сообщении #964002 писал(а):

При варианте _Ivana, когда игроку вручается конверт с $X$, а затем монеткой определяется, сколько денег положить в конверт для возможного обмена - $X/2$ или $2X$ - обмен действительно выгоден. Игроку даже не надо заглядывать в первый конверт, - меняйся смело.

Это как раз правда. Только к классической постановке это отношения не имеет, и никакой симметрии здесь нет.

[atlakatl]

g______d в сообщении #964033 писал(а):

Это как раз правда. Только к классической постановке это отношения не имеет, и никакой симметрии здесь нет.

Почему "не имеет отношения"? Отличия есть, я их и разделяю:

atlakatl в сообщении #964014 писал(а):

В варианте _Ivana

А о классической постановке я говорю в

atlakatl в сообщении #964002 писал(а):

Заменим бездуховное казино и привычного математически-абстрактного игрока на следующее: