тензор деформаций

[Oleg Zubelevich]

Все будет происходить в нашем физическом $E=\mathbb{R}^3$ со стандартным скалярным произведением $(\cdot,\cdot)$ и декартовыми координатами $x=(x^1,x^2,x^3)$. Точки объема сплошной среды нумеруются лагранжевыми координатами $\xi=(\xi^i),\quad i=1,2,3.$ Закон движения точки с координатами $\xi$ задается радиус-вектором $\overline r=\overline r(t,\xi)=(x^i(t,\xi))$.
Координаты $\xi$ являются локальными координатами в объеме занятом сплошной средой. В начальный момент времени $t=0$ координаты $\xi$ как правило выбираются какими-то стандартными, отечающими специфике задачи, сферическими, например.

Можно считать, что $\xi\mapsto \overline r(t,\xi)$ это вложение некоторой абстрактной трехмерной области $D,\quad \xi\in D$ в наше физическое $E$. Вложение зависит от времени.

Введем обозначения $\overline r^0=\overline r(0,\xi)=(x^i_0(\xi)),$

$$e_i=\frac{\partial \overline r}{\partial \xi^i},\quad e^0_i=\frac{\partial \overline r^0}{\partial \xi^i},\quad g_{ij}=(e_i,e_j),\quad g^0_{ij}=(e^0_i,e^0_j).$$

Замечание: $x_0$ и $x$ это одна и таже декартова система координат, идекс нужне лишь чтобы различать отображение $\xi\to x$ в момент $t$ и $t=0$.

Определение (предварительное). Тензором деформаций называется

$$\tilde \epsilon_{ij}=(g_{ij}-g^0_{ij})/2.$$

Легко видеть, что этот набор функций преобразуется по тензорному закону относительно замен $\xi\mapsto\xi'$. Т.e. является тензором на многообразии $D$.
Этот тензор можно перенести из $D$ в объем $E$, который занимает сплошная среда, по крайней мере двумя способами.

Определение. Тензором деформаций Грина называется

$$\epsilon^0_{ij}=\frac{\partial \xi^l}{\partial x^i_0}\frac{\partial \xi^s}{\partial x^j_0}\tilde \epsilon_{ls}=\frac{1}{2}\Big(\Big(\frac{\partial \overline r}{\partial x_0^i},\frac{\partial \overline r}{\partial x_0^j}\Big)-\delta_{ij}\Big)$$

Тензором деформаций Альманси называется

$$\epsilon_{ij}=\frac{\partial \xi^l}{\partial x^i}\frac{\partial \xi^s}{\partial x^j}\tilde \epsilon_{ls}=\frac{1}{2}\Big(\delta_{ij}-\Big(\frac{\partial \overline r^0}{\partial x^i},\frac{ \partial \overline r^0}{\partial x^j}\Big)\Big).$$

Оба набора компонент записаны в декартовой системе координат.

Дальше вводятся два вектора перемещения

$$\overline w(t,x)=\overline r(t,\xi(t,x))-\overline r^0(\xi(t,x)),\quad \overline u(t,x_0)=\overline r(t,\xi(x_0))-\overline r^0(\xi(x_0)).$$

И соответственно,

$$\epsilon^0_{ij}=\big(\nabla_iu_j+\nabla_j u_i+(\nabla_i u_k)(\nabla_j u^k)\big)/2,\quad \epsilon_{ij}=\big(\nabla_iw_j+\nabla_j w_i-(\nabla_i w_k)(\nabla_j w^k)\big)/2.$$

Ковариантные производные понимаются в смысле стандартной метрики $E$.

[Red_Herring]

Много лет назад я слышал от С.К.Годунова следующий тезис: хотя упругое тело можно всегда "разгрузить" (сделать недеформированным) в каждой отдельной точке, это не всегда возможно глобально. Тогда тензор деформаций следует вводить "поточечно" и подсчитав тензор кривизны мы сможем определить можно ли разгрузить тело хотя бы локально.

Интересно, где подобный подход практикуется?

[maxmatem]

Oleg Zubelevich
Я может проявлю некоторую неосведомленность, но все же....Тензор деформаций Грина и деформаций Коши-Грина это одно и тоже?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #963296 писал(а):

Много лет назад я слышал от С.К.Годунова следующий тезис: хотя упругое тело можно всегда "разгрузить" (сделать недеформированным) в каждой отдельной точке, это не всегда возможно глобально.

Возьмём резиновый цилиндр ("палку"), свернём его в кольцо и склеим концами.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #963320 писал(а):

Red_Herring в сообщении #963296 писал(а):

Много лет назад я слышал от С.К.Годунова следующий тезис: хотя упругое тело можно всегда "разгрузить" (сделать недеформированным) в каждой отдельной точке, это не всегда возможно глобально.

Возьмём резиновый цилиндр ("палку"), свернём его в кольцо и склеим концами.

Разумеется, но это очень поверхностный пример: маленький кусок палки можно разгрузить и потому сопутствующий тензор кривизны равен 0. Но можно, например, в процессе кристаллизации расплавленного металла создать пруток такой, что никакой кусочек его разгрузить нельзя (предварительно напряжённый железобетон ближе к этому).


Но мой вопрос другой: где есть строгое изложение подобной ситуации?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #963341 писал(а):

Разумеется, но это очень поверхностный пример: маленький кусок палки можно разгрузить и потому сопутствующий тензор кривизны равен 0.

Так вы и сказали, что локально всё можно разгрузить. А вот интегрально - нет.

Если вам не нравится дырка в полученном кольце, то её можно заполнить резиной.

Red_Herring в сообщении #963341 писал(а):

Но мой вопрос другой: где есть строгое изложение подобной ситуации?

В квантовой физике очень любят дифгеометрию и её топологические аспекты, а вот в физике конденсированных сред - не всегда. Впрочем, в довольно продвинутых книгах это, вроде есть, вот только я в них не разбираюсь - от старших слышал. Но по идее, всё это вещи аналогичные, можно искать по словам типа "калибровочная теория поля в твёрдом теле, в конденсированной среде, топология там же". А, вот есть книжка Монастырского прямо с таким названием.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #963390 писал(а):

Так вы и сказали, что локально всё можно разгрузить.

Я имел в виду поточечно. Т.е. в каждой конкретной точке можно убрать напряжение и соответственно деформацию, а уже даже в ее окрестности—нет. Как такое может образоваться в природе: ну например через кристаллизацию, или в результате неравномерного теплового расширения и т.д.

Да в книгах под ред. Монастырского "Topology in Condensed Matter" (2006) и "Topology in Molecular Biology" (2007) есть поминания всяких там тензоров деформации и напряжения, но не в том контексте (т.е. чистой теории упругости).

А меня интересует вопрос: есть ли где систематическое изложение теории упругости именно без предположения, что среду можно разгрузить даже локально и при этом поминается тензор кривизны и т.д.

[Vince Diesel]

Red_Herring в сообщении #963433 писал(а):

Я имел в виду поточечно. Т.е. в каждой конкретной точке можно убрать напряжение и соответственно деформацию, а уже даже в ее окрестности—нет.

А это верно? В локальных координатах тензор напряжения это матрица три на три. Если она имеет гладкие коэффициенты и положительно определена, то вроде можно гладким преобразованием координат привести к единичному виду в некоторой окрестности точки. Если я ничего не путаю, это какой-то старый результат Картана. Ссылку не могу привести.

[Red_Herring]

Vince Diesel
Это не по делу. В теле вводится расстояние между двумя бесконечно близкими точками как евклидово расстояние между ними если очень близко к ним напряжения бесконечно малы, т.е. мы получаем риманову метрику. При этом локальное разгружение возможно тогда и только тогда, когда в некоторой локальной системе координат эта метрика евклидова...

[g______d]

А если мы сделаем так: возьмём цилиндр из резины, вырежем из него сектор, потом совместим два прямоугольника, образующих границу этого сектора, между собой, растянув цилиндр (т. е. превратив угол $2\pi-\alpha$ в $2\pi$). Потом склеим их или спаяем. Тогда в окрестности центра непохоже, чтобы можно было избавиться от напряжения. Такой пример подходит? Или он слишком негладкий?

Ну или просто взять пространство с ненулевой кривизной, в нём какое-нибудь тело, чувствующее себя там нормально, а потом отобразить его в евклидово пространство.

[Red_Herring]

Как такое сделать природа позаботится без нас. Но просто стандартный способ введения тензора деформаций здесь не сработает. Я думаю, что С.К.Годунов говорил об этом в ранних 70х, что вовсе не означает, что он когда бы то ни бы;о это записывал.

[Vince Diesel]

Red_Herring в сообщении #963476 писал(а):

Vince Diesel
Это не по делу. В теле вводится расстояние между двумя бесконечно близкими точками как евклидово расстояние между ними если очень близко к ним напряжения бесконечно малы, т.е. мы получаем риманову метрику. При этом локальное разгружение возможно тогда и только тогда, когда в некоторой локальной системе координат эта метрика евклидова...

Да, с цитированием я тут ошибся. В трехмерном случае матрицу (а, значит и метрику) локально можно привести, вообще говоря, только к диагональному виду.

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #963494 писал(а):

Как такое сделать природа позаботится без нас. Но просто стандартный способ введения тензора деформаций здесь не сработает. Я думаю, что С.К.Годунов говорил об этом в ранних 70х, что вовсе не означает, что он когда бы то ни бы;о это записывал.

Седов МСС том 2

[Red_Herring]

Спасибо. На самом деле в т.2 (гл IX, §1) Л.И.Седов только поминает о

Цитата:

Однако существуют теории, в которых за «начальное» состояние выбирается состояние, которое невозможно реально осуществить в евклидовом пространстве г) (см. § 5, гл. II, т. 1).

А там (в главе II) действительно расписываются все элементы римановой геометрии. Но удивительно, что за полвека это все еще остается "специальным знанием"

[Munin]

Red_Herring в сообщении #963433 писал(а):

Да в книгах под ред. Монастырского "Topology in Condensed Matter" (2006) и "Topology in Molecular Biology" (2007) есть поминания всяких там тензоров деформации и напряжения, но не в том контексте (т.е. чистой теории упругости).

У меня
Монастырский М. И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. 1995.
Авторства, а не под редакцией.

А на чистую теорию упругости это "проецируется" уже достаточно элементарно. Если есть более сильная теория, зачем вам искать именно изложение более слабой?