2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 тензор деформаций
Сообщение16.01.2015, 19:44 


10/02/11
6786
Все будет происходить в нашем физическом $E=\mathbb{R}^3$ со стандартным скалярным произведением $(\cdot,\cdot)$ и декартовыми координатами $x=(x^1,x^2,x^3)$. Точки объема сплошной среды нумеруются лагранжевыми координатами $\xi=(\xi^i),\quad i=1,2,3.$ Закон движения точки с координатами $\xi$ задается радиус-вектором $\overline r=\overline r(t,\xi)=(x^i(t,\xi))$.
Координаты $\xi$ являются локальными координатами в объеме занятом сплошной средой. В начальный момент времени $t=0$ координаты $\xi$ как правило выбираются какими-то стандартными, отечающими специфике задачи, сферическими, например.

Можно считать, что $\xi\mapsto \overline r(t,\xi)$ это вложение некоторой абстрактной трехмерной области $D,\quad \xi\in D$ в наше физическое $E$. Вложение зависит от времени.

Введем обозначения $\overline r^0=\overline r(0,\xi)=(x^i_0(\xi)),$
$$e_i=\frac{\partial \overline r}{\partial \xi^i},\quad e^0_i=\frac{\partial \overline r^0}{\partial \xi^i},\quad g_{ij}=(e_i,e_j),\quad g^0_{ij}=(e^0_i,e^0_j).$$
Замечание: $x_0$ и $x$ это одна и таже декартова система координат, идекс нужне лишь чтобы различать отображение $\xi\to x$ в момент $t$ и $t=0$.

Определение (предварительное). Тензором деформаций называется
$$\tilde \epsilon_{ij}=(g_{ij}-g^0_{ij})/2.$$
Легко видеть, что этот набор функций преобразуется по тензорному закону относительно замен $\xi\mapsto\xi'$. Т.e. является тензором на многообразии $D$.
Этот тензор можно перенести из $D$ в объем $E$, который занимает сплошная среда, по крайней мере двумя способами.

Определение. Тензором деформаций Грина называется
$$\epsilon^0_{ij}=\frac{\partial \xi^l}{\partial x^i_0}\frac{\partial \xi^s}{\partial x^j_0}\tilde \epsilon_{ls}=\frac{1}{2}\Big(\Big(\frac{\partial \overline r}{\partial x_0^i},\frac{\partial \overline r}{\partial x_0^j}\Big)-\delta_{ij}\Big)$$
Тензором деформаций Альманси называется
$$\epsilon_{ij}=\frac{\partial \xi^l}{\partial x^i}\frac{\partial \xi^s}{\partial x^j}\tilde \epsilon_{ls}=\frac{1}{2}\Big(\delta_{ij}-\Big(\frac{\partial \overline r^0}{\partial x^i},\frac{ \partial \overline r^0}{\partial x^j}\Big)\Big).$$
Оба набора компонент записаны в декартовой системе координат.

Дальше вводятся два вектора перемещения
$$\overline w(t,x)=\overline r(t,\xi(t,x))-\overline r^0(\xi(t,x)),\quad \overline u(t,x_0)=\overline r(t,\xi(x_0))-\overline r^0(\xi(x_0)).$$
И соответственно,

$$\epsilon^0_{ij}=\big(\nabla_iu_j+\nabla_j u_i+(\nabla_i u_k)(\nabla_j u^k)\big)/2,\quad \epsilon_{ij}=\big(\nabla_iw_j+\nabla_j w_i-(\nabla_i w_k)(\nabla_j w^k)\big)/2.$$
Ковариантные производные понимаются в смысле стандартной метрики $E$.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение16.01.2015, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Много лет назад я слышал от С.К.Годунова следующий тезис: хотя упругое тело можно всегда "разгрузить" (сделать недеформированным) в каждой отдельной точке, это не всегда возможно глобально. Тогда тензор деформаций следует вводить "поточечно" и подсчитав тензор кривизны мы сможем определить можно ли разгрузить тело хотя бы локально.

Интересно, где подобный подход практикуется?

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение16.01.2015, 20:19 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
Oleg Zubelevich
Я может проявлю некоторую неосведомленность, но все же....Тензор деформаций Грина и деформаций Коши-Грина это одно и тоже?

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение16.01.2015, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #963296 писал(а):
Много лет назад я слышал от С.К.Годунова следующий тезис: хотя упругое тело можно всегда "разгрузить" (сделать недеформированным) в каждой отдельной точке, это не всегда возможно глобально.

Возьмём резиновый цилиндр ("палку"), свернём его в кольцо и склеим концами.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение16.01.2015, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Munin в сообщении #963320 писал(а):
Red_Herring в сообщении #963296 писал(а):
Много лет назад я слышал от С.К.Годунова следующий тезис: хотя упругое тело можно всегда "разгрузить" (сделать недеформированным) в каждой отдельной точке, это не всегда возможно глобально.

Возьмём резиновый цилиндр ("палку"), свернём его в кольцо и склеим концами.


Разумеется, но это очень поверхностный пример: маленький кусок палки можно разгрузить и потому сопутствующий тензор кривизны равен 0. Но можно, например, в процессе кристаллизации расплавленного металла создать пруток такой, что никакой кусочек его разгрузить нельзя (предварительно напряжённый железобетон ближе к этому).


Но мой вопрос другой: где есть строгое изложение подобной ситуации?

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение16.01.2015, 23:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #963341 писал(а):
Разумеется, но это очень поверхностный пример: маленький кусок палки можно разгрузить и потому сопутствующий тензор кривизны равен 0.

Так вы и сказали, что локально всё можно разгрузить. А вот интегрально - нет.

Если вам не нравится дырка в полученном кольце, то её можно заполнить резиной.

Red_Herring в сообщении #963341 писал(а):
Но мой вопрос другой: где есть строгое изложение подобной ситуации?

В квантовой физике очень любят дифгеометрию и её топологические аспекты, а вот в физике конденсированных сред - не всегда. Впрочем, в довольно продвинутых книгах это, вроде есть, вот только я в них не разбираюсь - от старших слышал. Но по идее, всё это вещи аналогичные, можно искать по словам типа "калибровочная теория поля в твёрдом теле, в конденсированной среде, топология там же". А, вот есть книжка Монастырского прямо с таким названием.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение17.01.2015, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Munin в сообщении #963390 писал(а):
Так вы и сказали, что локально всё можно разгрузить.

Я имел в виду поточечно. Т.е. в каждой конкретной точке можно убрать напряжение и соответственно деформацию, а уже даже в ее окрестности—нет. Как такое может образоваться в природе: ну например через кристаллизацию, или в результате неравномерного теплового расширения и т.д.

Да в книгах под ред. Монастырского "Topology in Condensed Matter" (2006) и "Topology in Molecular Biology" (2007) есть поминания всяких там тензоров деформации и напряжения, но не в том контексте (т.е. чистой теории упругости).

А меня интересует вопрос: есть ли где систематическое изложение теории упругости именно без предположения, что среду можно разгрузить даже локально и при этом поминается тензор кривизны и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение17.01.2015, 01:44 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Red_Herring в сообщении #963433 писал(а):
Я имел в виду поточечно. Т.е. в каждой конкретной точке можно убрать напряжение и соответственно деформацию, а уже даже в ее окрестности—нет.

А это верно? В локальных координатах тензор напряжения это матрица три на три. Если она имеет гладкие коэффициенты и положительно определена, то вроде можно гладким преобразованием координат привести к единичному виду в некоторой окрестности точки. Если я ничего не путаю, это какой-то старый результат Картана. Ссылку не могу привести.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение17.01.2015, 02:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Vince Diesel
Это не по делу. В теле вводится расстояние между двумя бесконечно близкими точками как евклидово расстояние между ними если очень близко к ним напряжения бесконечно малы, т.е. мы получаем риманову метрику. При этом локальное разгружение возможно тогда и только тогда, когда в некоторой локальной системе координат эта метрика евклидова...

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение17.01.2015, 05:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
А если мы сделаем так: возьмём цилиндр из резины, вырежем из него сектор, потом совместим два прямоугольника, образующих границу этого сектора, между собой, растянув цилиндр (т. е. превратив угол $2\pi-\alpha$ в $2\pi$). Потом склеим их или спаяем. Тогда в окрестности центра непохоже, чтобы можно было избавиться от напряжения. Такой пример подходит? Или он слишком негладкий?

Ну или просто взять пространство с ненулевой кривизной, в нём какое-нибудь тело, чувствующее себя там нормально, а потом отобразить его в евклидово пространство.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение17.01.2015, 07:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Как такое сделать природа позаботится без нас. Но просто стандартный способ введения тензора деформаций здесь не сработает. Я думаю, что С.К.Годунов говорил об этом в ранних 70х, что вовсе не означает, что он когда бы то ни бы;о это записывал.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение17.01.2015, 10:19 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Red_Herring в сообщении #963476 писал(а):
Vince Diesel
Это не по делу. В теле вводится расстояние между двумя бесконечно близкими точками как евклидово расстояние между ними если очень близко к ним напряжения бесконечно малы, т.е. мы получаем риманову метрику. При этом локальное разгружение возможно тогда и только тогда, когда в некоторой локальной системе координат эта метрика евклидова...

Да, с цитированием я тут ошибся. В трехмерном случае матрицу (а, значит и метрику) локально можно привести, вообще говоря, только к диагональному виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение17.01.2015, 11:27 


10/02/11
6786
Red_Herring в сообщении #963494 писал(а):
Как такое сделать природа позаботится без нас. Но просто стандартный способ введения тензора деформаций здесь не сработает. Я думаю, что С.К.Годунов говорил об этом в ранних 70х, что вовсе не означает, что он когда бы то ни бы;о это записывал.

Седов МСС том 2

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение17.01.2015, 12:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Спасибо. На самом деле в т.2 (гл IX, §1) Л.И.Седов только поминает о

Цитата:
Однако существуют теории, в которых за «начальное» состояние выбирается состояние, которое невозможно реально осуществить в евклидовом пространстве г) (см. § 5, гл. II, т. 1).


А там (в главе II) действительно расписываются все элементы римановой геометрии. Но удивительно, что за полвека это все еще остается "специальным знанием"

 Профиль  
                  
 
 Re: тензор деформаций
Сообщение17.01.2015, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #963433 писал(а):
Да в книгах под ред. Монастырского "Topology in Condensed Matter" (2006) и "Topology in Molecular Biology" (2007) есть поминания всяких там тензоров деформации и напряжения, но не в том контексте (т.е. чистой теории упругости).

У меня
Монастырский М. И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. 1995.
Авторства, а не под редакцией.

А на чистую теорию упругости это "проецируется" уже достаточно элементарно. Если есть более сильная теория, зачем вам искать именно изложение более слабой?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group