СТО. 4-вектор.

[oleg_2]

ИСО $K'$ движется относительно ИСО $K$ вдоль оси $x$ со скоростью $v$.
Тело летит тоже вдоль оси $x$ со скоростью $u$.

На рисунке и в тексте обозначаения, начинающиеся с четверки, относятся к
четырехвекторам. А простые векторы без четверки, они синие.
Четырехвкторы $4v$ и $4u$ единичной длины и они перпендикулярны гиперболе, хоть на
рисунке этого и не заметно. Ось $x'$ перпендикулярна оси $t'$ и четырехвектору $4v$
и параллельна касательной к гиперболе в точке, где четырехвектор $4v$ упирается в
гиперболу.

Я так понял, что проекция четырехвектора на ось времени точно указывает гамму:
$\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u_x^2}}=4u_t$
$\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v_x^2}}=4v_t$
$\gamma_{u'}=\frac{1}{\sqrt{1-u'_x^2}}=4u'_t$
Например, длина на рисунке обычного вектора $u'_x$ во столько же раз меньше проекции
четырехвектора $4u'_x$, во сколько раз длина проекции $4u'_t$ больше длины единичного
четырехвектора $4v$ ($4v$ есть проекция самого себя на ось $t'$).
Я на 50 процентов уверен, что нарисовал правильно. Прошу ответить.

ИСО $K'$ движется относительно ИСО $K$ вдоль оси $x$ со скоростью $v$.
Тело летит вдоль оси $y'$ со скоростью $u'$.

Если обозначить
$\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}=4u_t$
$\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=4v_t$
то должно выполняться
$4v_x/v_x=\gamma_v$
$u_x=v_x$
$4u_y/u_y=\gamma_u$
Четырехвектор $4u$ лежит в плоскости $y', t'$ и упирается в гиперболоид на линии
сечения гиперболоида этой плоскостью (нарисовать трудно).
Я на 30 процентов уверен, что нарисовал правильно.

Вижу, что обыкновенные векторы нельзя складывать без разбора, но векторы какой-нибудь
одной ИСО складывать всё-же можно.

[Munin]

oleg_2 в сообщении #963280 писал(а):

На рисунке и в тексте обозначаения, начинающиеся с четверки, относятся к
четырехвекторам. А простые векторы без четверки, они синие.

Приняты другие обозначения:

4-векторы пишутся буквой с индексом, например, $u^\mu.$ Индекс пробегает значения $0,1,2,3,$ где $0$ считается временной координатой. Конкретные значения координат такого вектора разные в разных ИСО, но обозначение одно и то же (при желании, можно менять обозначения индекса, например, $u^\mu$ и $u^{\mu'}$).

3-мерные векторы пишутся со значком вектора (предпочитают математики) или прямым шрифтом (предпочитают физики): $\vec{v},\mathbf{v}.$ В разных ИСО к этим векторам принято добавлять штрихи: в "нештрихованной" системе координат $\vec{v},\mathbf{v},$ в "штрихованной" - $\vec{v}\,',\mathbf{v}',$ дальше при желании можно добавлять "дважды штрихованную", и так далее.

Если 3-мерная часть 4-вектора - совпадает с соответствующим 3-вектором, то их можно обозначить одной буквой. Если не совпадает, например, отличается на какой-то коэффициент, то для избежания путаницы лучше обозначить их разными буквами. Например, 3-вектор скорости часто обозначают $\vec{v},\mathbf{v},$ а 4-вектор той же самой скорости - $u^\mu.$ Или, можно, например, 3-вектор обозначать строчной буквой, а соответствующий 4-вектор - прописной: $\vec{u},\mathbf{u},U^\mu.$

-- 16.01.2015 20:45:04 --

oleg_2 в сообщении #963280 писал(а):

Я так понял, что проекция четырехвектора на ось времени точно указывает гамму...
Я на 50 процентов уверен, что нарисовал правильно.

Да, правильно.

-- 16.01.2015 20:59:06 --

oleg_2 в сообщении #963280 писал(а):

Четырехвектор $4u$ лежит в плоскости $y', t'$ и упирается в гиперболоид на линии
сечения гиперболоида этой плоскостью (нарисовать трудно).
Я на 30 процентов уверен, что нарисовал правильно.

Это тоже правильно, и соотношение $u_x=v_x$ правильное (я сначала засомневался, но потом понял, как его понять из физического смысла).

-- 16.01.2015 21:01:25 --

oleg_2 в сообщении #963280 писал(а):

Вижу, что обыкновенные векторы нельзя складывать без разбора, но векторы какой-нибудь
одной ИСО складывать всё-же можно.

Да, верно.

А вот сложение векторов скорости происходит интересно: как изогнутых стрелочек, нарисованных на гиперболоиде, и начинающихся в точке $(1,0,0,0).$ Оказывается, что геометрия на этом гиперболоиде - есть в точности геометрия Лобачевского, а сечения этого гиперболоида плоскостями, проходящими через начало координат $(0,0,0,0)$ - это "прямые" на этой плоскости Лобачевского.

[oleg_2]

Исправляю рисунки. Хорошо получается так: $\mathbf{u}, U^k$. Буквы $\mu$ нет в алфавите
рисовалки. В ЛЛ-2 тоже латинские индексы. Я знаю, Вы писали, что латинские плохо, но
как исключение, раз нет греческих. А проекции 3-мерных векторов как обозначить?
Строчными нежирными $u_x$, так? Вот если так:
4-вектор $U^k, U^{k'}$, его проекции $U^0, U^1, U^2, U^{0'}, U^{1'}, U^{2'},$,
3-вектор $\mathbf{u}, \mathbf{u'}$, его проекции $u_x, u_y, u'_x, u'_y$ ?

Munin post963307.html#p963307 писал(а):

Если не совпадает, например, отличается на какой-то коэффициент, то для избежания
путаницы лучше обозначить их разными буквами. Например, 3-вектор скорости часто
обозначают $\vec{v},\mathbf{v},$ а 4-вектор той же самой скорости - $u^\mu.$

Не нравится мне это, если всего одна скорость, то да, а если две и более, то
одинаковыми буквами, строчными и прописными, по-моему, лучше. Да и букв не напасёшься.

Вижу продолжение Вашего ответа, спасибо. Но и с обозначениями тоже надо разобраться.

Munin post963307.html#p963307 писал(а):

соотношение $u_x=v_x$ правильное

Я его сверил с формулой преобразования скоростей
$u_x=\frac{u'_x+v}{1+\frac{vu'_x}{c^2}}$
у меня $u'_x=0$, стало быть $u_x=v$

[Munin]

oleg_2 в сообщении #963356 писал(а):

Вот если так:
4-вектор $U^k, U^{k'}$, его проекции $U^0, U^1, U^2, U^{0'}, U^{1'}, U^{2'},$,
3-вектор $\mathbf{u}, \mathbf{u'}$, его проекции $u_x, u_y, u'_x, u'_y$ ?

Вполне годится.

oleg_2 в сообщении #963356 писал(а):

Не нравится мне это, если всего одна скорость, то да, а если две и более, то
одинаковыми буквами, строчными и прописными, по-моему, лучше. Да и букв не напасёшься.

Да, в общем, вы правы.

oleg_2 в сообщении #963356 писал(а):

Я его сверил с формулой преобразования скоростей
$u_x=\frac{u'_x+v}{1+\frac{vu'_x}{c^2}}$
у меня $u'_x=0$, стало быть $u_x=v$

Берите полную формулу преобразования скоростей - а то это одномерная. Её можно либо нагуглить в Википедии, либо в некоторых учебниках, кажется, у Угарова. Но гораздо увлекательнее вывести её самостоятельно :-) Путь вы знаете: подняться в 4-векторы, потом преобразование Лоренца, потом спуститься обратно.

[oleg_2]

Привожу рисунки и формулы с улучшенными обозначениями. Избавился от этих противных
четверок.

$\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u_x^2}}=U^0$
$\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v_x^2}}=V^0$
$\gamma_{u'}=\frac{1}{\sqrt{1-u'_x^2}}=U^{0'}$


Если обозначить
$\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}=U^0$
$\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=V^0$
то должно выполняться
$V^1/v_x=\gamma_v$
$u_x=v_x$
$U^2/u_y=\gamma_u$
И еще догадался, что обозначение $U^{k'}$ вряд ли когда понадобится, ведь четырехвектор,
в отличие от своих проекций, абсолютен.
Munin, большое спасибо.

[oleg_2]

В сообщении post1100806.html#p1100806
Munin дал решение задачи о эффекте Доплера через волновой 4-вектор.
Взяв это решение за образец, я попытался решить следующую задачу.

Задача.
ИСО $K$ неподвижна. Тело движется относительно ИСО $K'$ в плоскости $x'y'$ со
скоростью $\mathbf u'=(u_x', u_y')$. Найти формулы преобразования скорости.

$\begin{cases} t=\gamma(t'+vx') \\ x=\gamma(vt'+x') \\ y=y' \\ \end{cases}$

Мировая линия тела в $K'$:
$(t', t'u_x', t'u_y')$ где $t'$ - параметр.
Преобразуем мировую линию в $K$. Для параметрически заданной мировой линии
можно написать:
$x'=f_1(t')=t'u_x'$
$y'=f_2(t')=t'u_y'$
$t=f_3(t')=\gamma(t'+vx')=\gamma(t'+vu_x't')=\gamma t'(1+vu_x')$
$x=f_4(t')=\gamma(vt'+x')=\gamma(vt'+u_x't')=\gamma t'(v+u_x')$
$y=f_5(t')=y'=t'u_y'$
Мировая линия, заданная параметрически:
$(\gamma t'(1+vu_x'), \gamma t'(v+u_x'), t'u_y')$
Я так понимаю, что три выражения в скобках - это параметрически заданная
мировая линия тела в координах $(t, x, y)$, хотя сами эти координаты выражены
через штрихованный параметр $t'$ и штрихованные компоненты скорости $u_x', u_y'$.
Тело вылетело в нулевой момент из нулевой точки, поэтому я просто разделю
его пространственные координаты на время, всё в ИСО $K$, и получу скорость:
$(\gamma t'(1+vu_x'), \gamma t'(v+u_x'), t'u_y')$

$(1, \frac{\gamma t'(v+u_x')}{\gamma t'(1+vu_x')}, \frac{t'u_y'}{\gamma t'(1+vu_x')})$

$(1, \frac{(v+u_x')}{(1+vu_x')}, \frac{u_y'}{\gamma (1+vu_x')})$

Получил пространственные координаты тела за единичное время. Окончательно:

$u_x=\frac{v+u_x'}{1+vu_x'}$

$u_y=\frac{u_y'\sqrt{1-v^2}}{1+vu_x'}$

Ответьте кто-нибудь. А если Вы, Munin, читаете это моё сообщение, и
если Вы ответите, то было бы хорошо. Я и про волновой 4-вектор тоже не понял.

[Munin]

Да, вроде, всё правильно.

Волновой 4-вектор - чёрт с ним. Достаточно взять две волновые поверхности (два фронта), и преобразовать их, совершенно аналогично. Тогда расстояние между ними и даст все необходимые волновые векторы в новой ИСО.

[oleg_2]

Задача (одномерная).
Источник неподвижен в неподвижной ИСО $K$ и находится слева на оси $x$.
Приемник света неподвижен в ИСО $K'$ и удаляется от источника вдоль оси $x$.
$f_0$ и $\lambda_0$ частота и длина волны в неподвижной ИСО $K$
Найти формулу эффекта Доплера.

Рассмотрим два соседних волновых фронта, передний и задний. Найдем их
координаты в обеих ИСО. Для простоты всегда задний фронт привязан к
нулевой точке, а вычисляю положение переднего фронта в моменты $t=0$ и $t'=0$.
На рисунке точка $A$ это когда передний фронт в этой точке, а задний в нуле,
$x_A=\lambda_0$, точка $B$ - то же для ИСО $K'$, $x_B'=\lambda'$.

Мировая линия переднего фронта $(t, \lambda_0+t)$, где $t$ параметр.
Выразим компоненты мировой линии переднего фронта в ИСО $K'$ так
$(t'=f_1(t), x'=f_2(t))$

$t'=f_1(t)=\gamma (t-vx)=\gamma (t-v(\lambda_0 + t))=\gamma (t-v\lambda_0 - vt)=\gamma t(1-v) - \gamma v\lambda_0$
$x'=f_2(t)=\gamma (x-vt)=\gamma (\lambda_0 + t -vt)=\gamma t(1-v) +\gamma \lambda_0$
Выпишу результат для удобства:
$t'=\gamma t(1-v) - \gamma v\lambda_0$
$x'=\gamma t(1-v) +\gamma \lambda_0$
Для нахождения $x_B'$ приравняю $t'$ к нулю и
найду значение $t=t_B$
$t'=\gamma t(1-v) - \gamma v\lambda_0 = 0$
$t(1-v)=v\lambda_0$
$t=t_B=\frac{v\lambda_0}{1-v}$
Подставлю это значение $t_B$ в выражение для $x'$ и получу $x_B'$
$x_B'= \gamma \frac{v\lambda_0}{1-v}(1-v) +\gamma \lambda_0=\gamma v\lambda_0+\gamma \lambda_0=\gamma \lambda_0(v+1)=\lambda_0 \frac{1+v}{\sqrt{1-v^2}}$
$\lambda'=\lambda_0 \frac{1+v}{\sqrt{1-v^2}}$
Модуль пространственного волнового вектора $k=f=\frac{1}{\lambda}$.
$k'=f'=\frac{1}{\lambda '}=f_0 \frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v}=f_0 \sqrt{\frac{(1-v)}{(1+v)}}$

(Оффтоп)

$\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v}=\sqrt{(\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v})^2}=$
$=\sqrt{\frac{1-v^2}{(1+v)(1+v)}}=\sqrt{\frac{(1-v)(1+v)}{(1+v)(1+v)}}=\sqrt{\frac{(1-v)}{(1+v)}}$

У Фейнмана нашел решение. Оно для одномерного, но я его легко
переделал на двухмерное. В офтопе скрин странички.

(Оффтоп)

http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=295
ФЛФ 3-4, гл. 34 "Релятивистские явления в излучении", параграф 6 "Эффект Доплера".
Почему-то Фейнман неправильно формулы (34.15) преобразования Лоренца написал,
знаки неправильные. У меня догадка, что волна летит вправо, а приемник и
штрихованная ИСО - влево, поэтому он знак поменял. Формула у него получилась
сближенческая.

Задача.
Источник неподвижен в неподвижной ИСО $K$ и находится слева на оси $x$.
Приемник света неподвижен в ИСО $K'$ и удаляется от источника, угол на
приемник и осью $x$ равен $\alpha$.

$k$ -модуль пространственного волнового вектора.
Волна: $\cos(f_0 t - k_x x - k_y y)=\cos(f_0 t - kx\cos\alpha - ky\sin\alpha)$
$\begin{cases} t=\gamma(t'+vx') \\ x=\gamma(x'+vt') \\ y'=y \\ \end{cases}$
Волна в ИСО $K'$:
$\cos(\gamma f_0(t'+vx') - \gamma k(x'+vt')\cos\alpha - ky'\sin\alpha)$
Преобразую отдельно аргумент косинуса.
$\gamma f_0(t'+vx') - \gamma k(x'+vt')\cos\alpha - ky'\sin\alpha=$
$\gamma(f_0t' + f_0vx' - kx'\cos\alpha - kvt'\cos\alpha) - ky'\sin\alpha=$
$\gamma(f_0t' - kvt'\cos\alpha + f_0vx' - kx'\cos\alpha) - ky'\sin\alpha=$
$\gamma(f_0t' - kvt'\cos\alpha) + \gamma(f_0vx' - kx'\cos\alpha) - ky'\sin\alpha=$
$\gamma(f_0 - kv\cos\alpha)t' - \gamma(k\cos\alpha - f_0v)x' - ky'\sin\alpha$
Волна в ИСО $K'$:
$\cos(\gamma(f_0 - kv\cos\alpha)t' - \gamma(k\cos\alpha - f_0v)x' - ky'\sin\alpha)$
Модуль пространственного волнового вектора $k=f_0$.
Тогда волна:
$\cos(\gamma f_0(1 - v\cos\alpha)t' - \gamma f_0(\cos\alpha - v)x' - f_0y'\sin\alpha)$
Волновой 4-вектор:
$K^i'=(\gamma f_0(1 - v\cos\alpha), \gamma f_0(\cos\alpha - v), f_0\sin\alpha)$
Это совпадает с образцом:

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Мировая линия импульса света: $(t,t\cos\alpha,t\sin\alpha),$ где $t$ - параметр.
Волновой 4-вектор света: $(f_0,f_0\cos\alpha,f_0\sin\alpha).$
....
Преобразуем мировую линию: $(\gamma t(1-v\cos\alpha),\gamma t(\cos\alpha-v),t\sin\alpha).$
....
Преобразуем волновой 4-вектор: $(\gamma f_0(1-v\cos\alpha),\gamma f_0(\cos\alpha-v),f_0\sin\alpha).$

Я вывел, что модуль пространственного волнового вектора равен временной компоненте
волнового 4-вектора, т. е. частоте, т. е.
$\gamma f_0(1-v\cos\alpha) = \sqrt{(\gamma f_0(\cos\alpha-v))^2 + (f_0\sin\alpha)^2}$

(Оффтоп)

Вычисляю модуль пространственного волнового вектора.

$k=\sqrt{k_x^2+k_y^2}=f_0\sqrt{(\gamma(\cos\alpha-v))^2 + (\sin\alpha)^2}$
Вычислю сначала выражение под корнем.
$(\gamma(\cos\alpha-v))^2 + (\sin\alpha)^2=$

$\gamma^2(\cos^2\alpha-2v \cos\alpha+v^2) + (1-\cos^2\alpha)=$

$=\frac{(\cos^2\alpha-2v \cos\alpha+v^2)+(1-v^2)(1-\cos^2\alpha)}{1-v^2}=$

$=\frac{(\cos^2\alpha-2v \cos\alpha+v^2)+1-v^2-\cos^2\alpha+v^2 \cos^2\alpha}{1-v^2}=$

$\frac{-2v \cos\alpha+1+v^2 \cos^2\alpha}{1-v^2}=\frac{(1- v\cos\alpha)^2}{1-v^2}$
Это выражение под корнем. Подставим его.
$k=f_0\frac{(1- v\cos\alpha)}{\sqrt{1-v^2}}$

Пространственно-временная диаграмма ($v=\cos\alpha$).

[Munin]

oleg_2
Послушайте, вас надо показывать как выставочный образец всем местным "рассуждателям про СТО". Вы молодец! Поставили себе цель, и идёте к ней, и получаете качественные результаты - ответы на свои вопросы.

-- 29.02.2016 12:21:51 --

oleg_2 в сообщении #1102997 писал(а):

Почему-то Фейнман неправильно формулы (34.15) преобразования Лоренца написал, знаки неправильные.

И то и другое правильные. Зависит от того: какая ИСО штрихованная, а какая нештрихованная; и в какую сторону направлена скорость штрихованной относительно нештрихованной. От этого в формуле легко меняются знаки передо всеми $v,$ ну а перед $v^2,$ разумеется, не меняются.

Такие вещи обычно пишут так: берут примерную формулу, а потом "по физическому смыслу" уточняют, какой должен стоять знак в ключевом месте. Это легче, чем копаться в источнике цитирования, и в уточнениях, для какого именно случая там написана формула. Может быть, прямо с вашими знаками - вообще ни в одной книжке формулы нет! Но вы её легко напишете сами, по образцу, если умеете правильно менять знаки.

Ещё пример: в разных книгах приняты разные соглашения, что считать положительным квадратом 4-вектора, а что - отрицательным. В природе нету знаков "+" и "−", есть только различия между пространством и временем. А в формулах мы можем либо выбрать времениподобную сигнатуру

$$(a^\mu)^2=+(a^t)^2-(a^x)^2-(a^y)^2-(a^z)^2,\qquad({+}{-}{-}{-}), (1,3),$$

либо пространственноподобную сигнатуру

$$(a^\mu)^2=-(a^t)^2+(a^x)^2+(a^y)^2+(a^z)^2,\qquad({-}{+}{+}{+}), (3,1).$$

От этого могут меняться некоторые другие формулы, например, волновое уравнение для массивных частиц пишется, в зависимости от выбранной сигнатуры, двумя разными способами:

$$(\nabla_\mu)^2\varphi=m^2\varphi,\quad\text{или}\quad(\nabla_\mu)^2\varphi=-m^2\varphi$$

(сравните с ФЛФ-6 гл. 25 - там рассматриваются безмассовые фотоны, и записаны уравнения для $m=0,$ а волновыми функциями являются $A_\mu=(\varphi,\mathbf{A})$; я не пользуюсь символом $\square,$ чтобы было меньше путаницы: Фейнман его использует несколько иначе, чем общепринято). Это не доставляет проблем, если вы чётко держите в голове выбранные вами сигнатуры и соглашения о знаках (или выписываете их перед собой в начале выкладок), не меняете их, а когда списываете формулу из книги, подправляете её под ваши выбранные соглашения.

----------------

Раз уж вы открыли ФЛФ-3, то там буквально в следующем параграфе рассказано и про волновой 4-вектор $(\omega,\mathbf{k}),$ если вам интересно :-)

[Munin]

Предлагаю вам ещё одну задачу. Вы рассмотрели эффект Доплера для света (оптический). А можно рассчитать и эффект Доплера для звука (акустический).

Источник звука неподвижен в ИСО $K,$ и находится в её начале координат.
Приёмник звука неподвижен в ИСО $K',$ и удаляется от источника вдоль оси $x.$
Звук распространяется в среде, которая неподвижна в ИСО $K^*.$ Относительно этой среды движутся и источник, и приёмник (вдоль оси $x^*$), то есть c точки зрения и источника, и приёмника, дополнительно дует ветер.

Вам понадобятся скорости всех трёх ИСО относительно друг друга; не забудьте, что они связаны между собой релятивистской формулой сложения скоростей. Выберите какой-то конкретный знак скоростей, а случай другого направления движения будет связан с подстановкой отрицательного значения скорости.

В этой среде $K^*$ звук имеет постоянную во всех направлениях скорость $v$ (или $c_s,$ если вам не хватает букв). Известно, что $v<c=1.$ В ИСО $K^*$ действует соотношение $f^*=c_s k^*.$
С точки зрения источника, то есть в ИСО $K,$ источник испускает звук с частотой $f_0.$ Он не знает, какая длина волны у этого звука: какая получится.
Найти формулу эффекта Доплера, то есть, какой частоты звук будет слышать приёмник, в ИСО $K'$?

Это была первая часть задачи. Дальше проверим результат.
Полученную формулу надо перевести в систему единиц $c\ne 1,$ дописав коэффициенты $c$ везде, где это нужно по размерности. Не перепутайте $c_s\ne c.$ После этого, надо взять от этой формулы предел $c\to\+\infty.$ Это имеет тот смысл, что все скорости движения (и скорость звука, и скорости источника и приёмника относительно среды) мы считаем малыми по сравнению со скоростью света, и при этом одного порядка между собой. Тогда мы пренебрегаем малыми поправками от всех $v/c,$ причём одновременно. Мы "переселяемся из царства света в царство звука", "из царства быстрых движений в царство медленных движений".

После взятия этого предела, оставшаяся формула эффекта Доплера должна совпасть с формулой из акустики.

Усложнённые варианты:
- допустим, $K'$ движется относительно $K$ вдоль оси $x,$ а вот направление от источника на приёмник, начерченное в $K,$ наклонено на угол $\alpha$ (как на вашем чертеже ко второй задаче). Скорость среды ($K^*$ относительно $K$) тоже считаем направленной вдоль $x.$
- допустим, у нас все три направления расположены произвольно в пространстве: и скорость $K'$ относительно $K,$ и направление на приёмник, и скорость $K^*$ относительно $K.$ Здесь или придётся писать векторные выкладки для компактности, или подумать над удачным выбором осей координат.

Для усложнённых формул - вы вряд ли найдёте образец, с чем сравнить ответ. Просто можете проделать вычисления для собственного удовольствия, и ощущения, что вы можете это сделать :-)

[Munin]

Написал серию задач на эффект Доплера:
post1103846.html#p1103846

Предлагаю вам тоже решить эти задачи.

Для вас другие условия:
- 4-векторы не не использовать, а использовать обязательно;
- решать задачи не в преобразованиях Галилея, а в преобразованиях Лоренца;
- решать задачи для $\kappa=c$; дополнительно при желании - для $\kappa<c.$