Вращение твердого тела

[unistudent]

unistudent в сообщении #962694 писал(а):

Итак, чтобы найти центр вращения в данной СО в произвольный момент времени, по скорости центра колеса $v$ и угловой скорости $\omega$, надо решить уравнение $[\omega, r]=v$.

Это вобще правильно? У меня какой-то бред получается. Рассмотрим катящееся по оси $x$ колесо. Расписываем уравнения $[\omega, r]=v$:
$-r_y\omega=v_x$,
$r_x\omega=v_y$.
Так как $v_y=0$, то $r_x=0$ и $r_y=-v_x/\omega$

-- 15.01.2015, 20:51 --

Munin в сообщении #962733 писал(а):

Вообще-то именно эта прямая мгновенной осью вращения и является. А вот через какие-то центры она проходить не обязана.

Естественно, именно с мгновенной осью она и совпадает. Я это и хотел написать. Вопрос: при отсутсвии внешних сил, ведь эта прямая должна проходить через центр масс, разве нет?

-- 15.01.2015, 21:02 --

Кстати, в утверждении Зубелевича не говорится ни слова о СО, только о самом теле. Если утверждение исчерпывающее, то мгновенная ось инвариантна. Однако, пример колеса говорит нам, что это не так.

[Munin]

unistudent в сообщении #962737 писал(а):

Это вобще правильно? У меня какой-то бред получается. Рассмотрим катящееся по оси $x$ колесо. Расписываем уравнения $[\omega, r]=v$:
$-r_y\omega=v_x$,
$r_x\omega=v_y$.
Так как $v_y=0$, то $r_x=0$ и $r_y=-v_x/\omega$

Ну да, всё правильно, точка мгновенного центра вращения ниже центра самого колеса на $v_x/\omega.$ А по горизонтали - находится точно под ним. Ну, можно писать $\Delta r$ вместо $r,$ если хотите.

Решить-то это векторное уравнение можете? Выразить неизвестное в виде $r=\ldots$ Подсказка: на что надо домножить обе части уравнения?

unistudent в сообщении #962737 писал(а):

Вопрос: при отсутсвии внешних сил, ведь эта прямая должна проходить через центр масс, разве нет?

Да нет же, не должна! Подумайте, при отсутствии внешних сил тело точно так же может шарашить куда-нибудь вбок по инерции, равномерно и прямолинейно. То же самое колесо, катящееся по дороге - оно ведь это может делать и по инерции в невесомости.

unistudent в сообщении #962737 писал(а):

Кстати, в утверждении Зубелевича не говорится ни слова о СО, только о самом теле. Если утверждение исчерпывающее, то мгновенная ось инвариантна.

Нет, про инвариантность там ни слова :-) Oleg Zubelevich вообще большой любитель говорить намёками, как и я, так что если у него чего-то не сказано - это не значит, что до этого не надо додумываться. Скорее, это значит, что это оставлено на самостоятельное упражнение.

[Oleg Zubelevich]

unistudent в сообщении #962694 писал(а):

Это очень хорошая прямая, и понятно, что эта прямая не совпадает с мгновенной осью и проходит через какой-то из центров, либо центр масс, либо центр тяжести. Это верно?

неверно. Есть терминологический нюанс странный. О мгновенной оси вращения говорят тоько тогда, когда тело имеет неподвижную точку. В этом случае указанная прямая является именно мгновенной осью вращения.
А вообще, если в твердом теле известна точка $A$ и ее скорость $\overline v_A$ то точка $C$, принадлежащая данной прямой находится по формуле

$$\overline{AC}=\frac{[\overline \omega,\overline v_A]}{|\overline \omega|^2}.$$

[unistudent]

Про линию, прошу прощения - я имел в виду вертикальное падение колеса, т.е. те же условия, какия я и формулировал выше (но об этом, разумеется, помню только я).

Как выразить $r$ из $[\omega, r]=v$? Ну это я могу. Домножаем векторно на $\omega$, получаем $[\omega,[\omega, r]]=[\omega,v]$, что, как известно, можно переписать в виде $\omega(\omega,r)-r(\omega,\omega)=[\omega,v]$, т.е. $r = ([\omega,v]-\omega(\omega,r))|\omega|^{-2}$. В частности, в случае колеса $r = [\omega,v]|\omega|^{-2}$. Если умножить на $\omega$ скалярно, то получаем $(v,\omega)=\left([\omega, r],\omega\right)=0$, что ничего хорошего не дает.

Вопрос о колесе, однако, для меня остается открытым. Уравенение $[\omega, r]=v$ дает правильный ответ только в CO, связанной с колесом, в которой, кстати говоря, $v=0$!

[Oleg Zubelevich]

ваш диалог про СО я не понял, во всех моих утверждениях подразумевается неподвижная СО и твердое тело, которое движется относительно нее как угодно.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #962860 писал(а):

Есть терминологический нюанс странный. О мгновенной оси вращения говорят тоько тогда, когда тело имеет неподвижную точку.

Не замечал. В тех книгах, что я читал, она может и не проходить через тело вообще (да и центр масс может не находиться в теле, ср. бублик и полумесяц).

unistudent в сообщении #962861 писал(а):

В частности, в случае колеса $r = [\omega,v]|\omega|^{-2}$.

Сравните с формулой одним сообщением выше :-)

Oleg Zubelevich в сообщении #962871 писал(а):

ваш диалог про СО я не понял, во всех моих утверждениях подразумевается неподвижная СО и твердое тело, которое движется относительно нее как угодно.

Вторая СО - это система центра масс этого твёрдого тела, которая движется инерциально.

[unistudent]

Oleg Zubelevich в сообщении #962860 писал(а):

О мгновенной оси вращения говорят тоько тогда, когда тело имеет неподвижную точку. В этом случае указанная прямая является именно мгновенной осью вращения.

Следуя этой терминологии, твердое тело ассоциируется со всем пространством, "жестко" связанным с ним, ведь неподвижная точка может находится и вне тела?

Oleg Zubelevich в сообщении #962860 писал(а):

А вообще, если в твердом теле известна точка $A$ и ее скорость $\overline v_A$ то точка $C$, принадлежащая данной прямой находится по формуле

$$\overline{AC}=\frac{[\overline \omega,\overline v_A]}{|\overline \omega|^2}.$$

Судя по всему, речь идет не о любой точке данной прямой, а о ближайшей к $A$. Верно?

-- 16.01.2015, 01:52 --

Munin в сообщении #962882 писал(а):

unistudent в сообщении #962861 писал(а):

В частности, в случае колеса $r = [\omega,v]|\omega|^{-2}$.

Сравните с формулой одним сообщением выше

Да, теперь понятно значение $r$ в формуле $[\omega, r]=v$. Я сначала так и думал, а потом почему-то вообразил, что $r$ это радиус-вектор центра вращения относительно начала координат. Затупил… Но по сути, все прояснилось. Сейчас мне кажется, что все так очевидно

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #962882 писал(а):

Не замечал. В тех книгах, что я читал, она может и не проходить через тело вообще (да и центр масс может не находиться в теле, ср. бублик и полумесяц).

естесно, но я не про это. вот та прямая, о которой речь идет в Утв., ее, вообще говоря, не называют мгновенной осью вращения, ее называют мгновенной осью вращения только если скорости точек, лежащих на ней равны нулю.

[Батороев]

unistudent
Может так будет понятнее: Вы по ходу данного обсуждения справедливо приходили к выводу, что ГМТ точек касания на стенке и основании стакана, а также на самом шарике - это окружности. Данные окружности имеют разные длины, следовательно, чтобы шарик не проскальзывал, отношение длин окружностей на шарике должно быть равно отношению длин окружностей ГМТ на стакане.
Ось вращения шарика является осью конуса, построенного на окружностях (ГМТ) шарика.

[unistudent]

Батороев в сообщении #963031 писал(а):

unistudent
Может так будет понятнее: Вы по ходу данного обсуждения справедливо приходили к выводу, что ГМТ точек касания на стенке и основании стакана, а также на самом шарике - это окружности. Данные окружности имеют разные длины, следовательно, чтобы шарик не проскальзывал, отношение длин окружностей на шарике должно быть равно отношению длин окружностей ГМТ на стакане.
Ось вращения шарика является осью конуса, построенного на окружностях (ГМТ) шарика.

Если в СО, вращающейся вместе с шариком, то да. Но в СО стакана мы остановились на том, что осью вращения будет прямая, проходящая через точки контакта. Последнее, на мой взгляд, проще, потому что не требует нахождения ГМТ касания на шарике, - задачка, лично для меня, не такая уж и очевидная.
Про условия непроскальзывания понятно приблизительно. Можно ли доказать это формально каким-нибудь не гиперсложным образом?

[unistudent]

Про отношение длин окружности понятно. Пусть $l_1$ и $l_2$ - длины ГМТ касания на шаре, с дном и со стенкой соответственно. Тогда $al_1 = 2\pi r $ и $al_2 = 2\pi R$, где $a$ - кол-во оборотов шара вокруг оси конуса за один полный оборот центра шара вокруг оси цилиндра. То есть

$$ \frac{r}{R} =\frac{l_1}{l_2}=k.$$

Радиусы $r$ и $R$ известны, а значит известно и $k$. Знания $k$ достаточно для того, чтобы найти ось конуса. В принципе, это не сложно, но требует дополнительных действий, в то время как линия, проходящая через точки контакта уже в нашем распоряжении. Дальше дело техники.

-- 16.01.2015, 15:54 --

Интересно узнать про катание по плоскости раскрученного шара. Не верится, что ГМТ контакта на шаре всегда будут окружностями. Если обозначить через $r$ радиус-вектор центра шара, а через $F$ реакцию в точке контакта, то
$J\frac{d\omega}{dt}=[\Delta r,F],$
$\frac{d^2r}{dt^2}=F$,
где $J$ - момент инерции, а $\omega$ - угловая скорость.

Это верно?

[Oleg Zubelevich]

эти вопросы обсуждались с моей подачи года два назад и в нескольуих темах, ройте

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #962973 писал(а):

вот та прямая, о которой речь идет в Утв., ее, вообще говоря, не называют мгновенной осью вращения, ее называют мгновенной осью вращения только если скорости точек, лежащих на ней равны нулю.

А, вы имеете в виду наличие скорости вдоль этой прямой? А почему бы не называть? Не понимаю.

-- 16.01.2015 18:13:21 --

На крайняк, "мгновенная ось винтового движения" :-)

[unistudent]

Oleg Zubelevich в сообщении #963174 писал(а):

эти вопросы обсуждались с моей подачи года два назад и в нескольуих темах, ройте

Порыл. Нашел про ГМТ касания на шаре, но в геометрической постановке: нарисовать кривую касания на шаре по заданной кривой касания на плоскости, и то при условии, что вертикальная составляющая угловой скорости - ноль. По динамике катания раскрученного шара на плоскости только это

MacSinus в сообщении #806419 писал(а):

Задача решается через закон сохранения момента импульса.
Дело в том, что все силы, действующие на систему имеют нулевой момент относительно точки касания шара и плоскости. Значит относительно этой оси момент импульса будет сохраняться будет сохраняться. Находим момент импульса относительно этой точки до касания, находим его же после. Приравниваем и вуаля!

[Батороев]

unistudent в сообщении #963041 писал(а):

Если в СО, вращающейся вместе с шариком, то да. Но в СО стакана мы остановились на том, что осью вращения будет прямая, проходящая через точки контакта. Последнее, на мой взгляд, проще, потому что не требует нахождения ГМТ касания на шарике, - задачка, лично для меня, не такая уж и очевидная.
Про условия непроскальзывания понятно приблизительно. Можно ли доказать это формально каким-нибудь не гиперсложным образом?

Вообще-то, как правило, легче найти отдельно параметры относительного движения (в СО шарика) и параметры переносного движения (вращение шарика относительно оси стакана), а затем путем векторного сложения найти параметры верхней точки шарика в СО стакана.
Нахождение ГМТ касания на шарике - задача не трудная. Отношение длин ГМТ на стакане: $\dfrac{R}{R-r}$. Надо найти такое же отношение длин ГМТ на шаре, а это уже элементарная планиметрия и тригонометрия.
Условие непроскальзывания вытекает из того, что путь, пройденный точками касания в СО шарика и в СО стакана должны быть равны.