Опрос физиков. Бредятина это или нет?

[Otta]

Touol в сообщении #961055 писал(а):

А так как в действительных числах квадрат всегда положителен, обратное преобразование
$x=\frac{1}{|v|}$

Нет. Обратное $x=\frac{\operatorname{sgn} v}{v^2}$.

-- 13.01.2015, 07:12 --

Sicker в сообщении #961057 писал(а):

Просто тогда в координатах $v$ при $v=0$ будет выколотая точка)

Не. Надо смотреть на такую замену как на отображение с расширенной прямой на расширенную прямую. Та гомеоморфна окружности, в свою очередь, - завернули прямую в окружность и заткнули бесконечностью - и если это себе представить и надстроить график над этим добром, легко понять, что график преобразуется ровно тем же макаром, точно так же сомкнувшись в бесконечноудаленной точке. (Функция-то к нулю стремится на бесконечности, что на левой, что на правой.)

В общем, если нужно разрешить себе ходить из правой полуплоскости в левую или наоборот, можно не делать никаких замен, а лишь продолжить функцию на $\mathbb {\overline R}$, доопределив в бесконечно удаленной точке, и ходить через нее. По сути, все равно все сводится к этому. А через неустранимый разрыв никаких хождений не получится, хоть иззаменяйся.

[Touol]

Otta в сообщении #961059 писал(а):

Touol в сообщении #961055 писал(а):

А так как в действительных числах квадрат всегда положителен, обратное преобразование
$x=\frac{1}{|v|}$

Нет. Обратное $x=\frac{\operatorname{sgn} v}{v^2}$.

Ну да конечно можно их так задать. И получать, что хочется, но квадрат в действительных числах всегда положителен. Обратные преобразования $x=\frac{\operatorname{sgn} v}{v^2}$ не соответствуют прямым. Правила обхода бесконечности не с потолка же берутся. А из пределов и комплексных чисел.
Это $x=\frac{\operatorname{sgn} v}{v^2}$ преобразование взято с потолка. Придумайте предел в котором работает нормальная математика. Потом устремив в бесконечность получайте математику расширенную. Тогда и только тогда такие преобразования можно отнести к математике.

[Otta]

Touol
Благодарю за комментарий. Не могли бы Вы оказать мне еще одну любезность и пояснить, почему предъявленное мной обратное отображение более с потолка, чем оба Ваших? Желательно, на конкретных значениях. Пусть $x=-4$. Тогда $v=...$. Тогда обратное-1 дает $x=... $, обратное-2... ну и так далее.
Спасибо.

[Touol]

Otta в сообщении #961063 писал(а):

Touol
Благодарю за комментарий. Не могли бы Вы оказать мне еще одну любезность и пояснить, почему предъявленное мной обратное отображение более с потолка, чем оба Ваших? Желательно, на конкретных значениях. Пусть $x=-4$. Тогда $v=...$. Тогда обратное-1 дает $x=... $, обратное-2... ну и так далее.
Спасибо.

Нарвался однако . Да и мое и ваше с потолка . Математически не корректная задача. Мне кажется бессмысленным спор о том, что у кого взято с потолка. Сами условия задачи противоречивы. Вообщем пощадите плиз . Но таки задача бредовая

[Otta]

Не пощадю. Задача, может, и бредовая, но простая.
Все там корректно, обратное существует. Так какие значения-то получились? Для всех трех?

[Touol]

Ах в этом смысле вы правы. Круто. У вас каждому значению прямого преобразования сопоставлено свое обратное. Хм. не математик я совсем.
А насчет интеграла.
$\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{1}{|x|}dx$.
Допустима ли в нем такая замена координат? $x_{1}$ любое отрицательное. $x_{2}$ любое положительное.

-- Вт янв 13, 2015 12:15:33 --

Нет здесь все таки какой-то парадокс. Если брать прямое и обратное преобразование

Otta в сообщении #961059 писал(а):

$x=\frac{\operatorname{sgn} v}{v^2}$.

как сопоставление элементов некого множества. То на этом множестве нельзя непротиворечиво определить функцию квадрата.
Ладно я пас . Пойду в зал попкорн жевать. Не увлекался математическими головоломками.

[IGOR1]

vicont в сообщении #961006 писал(а):

Задачка. Есть график функции $y(x)=1/|x|$. Можно ли двигаясь по этой линии от отрицательных значений $x$ в сторону их возрастания перейти из области отрицательных значений $x$ в область положительных значений $x$ ?

Ответ - переход невозможен, так как функция $y(x)=1/|x|$ не имеет эквивалента в реальном мире - это нематематическая абстракция

[Otta]

Да, если в этой фразе убрать все лишние слова, добавить недостающие и расставить их в нужном порядке, возможно, даже получится что-то осмысленное.

[schekn]

У Вас , vicont, функция $1/|x|$ сингулярна в $x=0$ и вы как раз в этой точке
проводите сингулярные же преобразования координат. Поэтому у вас происходит безобразие в данной точке и ее окрестности.
Я догадываюсь куда вы клоните.
Если предположить, что ваша функция имела предысторию , то есть явилось в результате решения дифференциального уравнения, а
такое может быть в случае нелинейного уравнения или системы уравнений, то необходимо заново внимательно рассмотреть данное
дифференциальное уравнение в окрестности этой точки, возможно там есть еще одно решение , которое не будет иметь разрыв.

[Cos(x-pi/2)]

vicont в сообщении #961006 писал(а):

Двумерное плоское пространство. Оно размечено декартовой СК c осями $X,Y$. В этом пространстве нарисован график фунции $y(x)=1/|x|$. Вы двумерный житель, двигаетесь по линии этого графика как по дороге. Находитесь в квадранте $x<0$, $y>0$. Можете ли вы по по этому графику попасть в квадрант $x>0$, $y>0$?
Ответ. Можно.
<...>
В новых координатах исходная функция будет выглядеть $y(v)=v^2$. Видно, что из одной области в другую можно спокойно перейти. А теперь вопрос господам физикам. Изложенное выше бредятина или нет?

С точки зрения мну это бредятина. Потому что не рассмотрена метрика; если подразумевается евклидова метрика, то ответ: "нельзя перейти". В физике тело может перейти из одной точки пространства в другую по заданному пути, только если конечна длина этого пути (и конечно время, требуемое для прохождения этого пути с конечной скоростью).

Взяв на себя роль "капитана Очевидность", докладываю, как бы я составил и разбирал похожую задачку с позиций физики; везде подразумеваю нерелятивистское приближение:

А) Случай, в котором переход по заданному пути возможен.

Пусть тело движется с постоянной скоростью $1 \, m/s$ вдоль декартовой координаты $x'$ и с постоянным ускорением $1 \, m/s^2$ вдоль декартовой координаты $y'$. Пусть начальные условия таковы, что траектория этого тела как функция его времени $t$ описывается выражениями:

$x'(t)=t$ ,
$y'(t)=t^2/2$ ,

так что на чертеже с декартовыми координатами $x', y'$ траектория имеет вид параболы $y'=x'^2/2.$

Пусть метрика пространства евклидова: квадрат длины беск. малого отрезка любой линии даётся в декартовых координатах формулой Пифагора

$(ds)^2=(dx')^2+(dy')^2$ .

Очевидно, что переход, например, из точки "А" указанной параболы с координатой $x'(-1)=-1$ в точку "B" параболы с координатой $x'(1)=1$ возможен - он занимает две секунды времени, и длина $s_{AB}$ этого пути конечна:

$s_{AB}= \int ds= \int\limits_{-1}^1 dt \, \sqrt{(\frac{dx'}{dt})^2+(\frac{dy'}{dt})^2}= \int\limits_{-1}^{1} dt \, \sqrt{1+t^2}$

Рассмотрим описание того же движения тела, но на новом чертеже - с новыми координатами:

$x= x'$ ,
$y=1/y'$ .

В этих новых координатах прежняя траектория тела описывается функциями

$x(t)=t$ ,
$y(t)=2/t^2$ ,

так что на новом чертеже траектория имеет вид двух линий - гипербол $y=2/x^2.$ Чтобы убедиться, что в этом новом описании переход тела "с одной гиперболы на другую" по-прежнему возможен, надо рассмотреть метрику в новой системе координат. Общая формула для метрики в любых двух системах координат гласит (по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование):

$(ds)^2= g_{\alpha \beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}=g'_{\mu \nu}dx'^{\mu}dx'^{\nu}$ .

С учётом формул преобразования приращений координат

$dx'^{\mu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}}dx^{\alpha}$ и $dx'^{\nu}=\frac{\partial x'^{\nu}}{\partial x^{\beta}}dx^{\beta}$

имеем формулу преобразования компонент метрического тензора:

$g_{\alpha \beta}=g'_{\mu \nu}\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x'^{\nu}}{\partial x^{\beta}} $ .

В нашем примере отличны от нуля только $\frac{\partial x'}{\partial x}=1$ и $\frac{\partial y'}{\partial y}=-1/y^2.$ Поэтому в новых координатах метрика даётся формулой:

$(ds)^2=(dx)^2+\frac{1}{y^4}(dy)^2$ .

Тогда длина прежнего пути есть:

$s_{AB}= \int ds= \int\limits_{-1}^1 dt \, \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+\frac{1}{y^4} (\frac{dy}{dt})^2}$ .

Подставив сюда выражения для производных $\frac{dx}{dt}=1,$ $\, \frac{dy}{dt}=-4/t^3\,$ и $y(t)=2/t^2,$ видим, что, как и должно быть, получается прежний ответ для конечной длины пути:

$s_{AB}=\int\limits_{-1}^{1} dt \, \sqrt{1+t^2}.$


Б) Случай, в котором переход по заданному пути невозможен.

Пусть, как и выше, траектория задана выражениями

$x(t)=t$ ,
$y(t)=2/t^2$ ,

так что, как и выше, на чертеже с координатами $x,\, y$ траектория имеет вид двух линий - гипербол $y=2/x^2.$ Однако, пусть теперь, в отличие от предыдущего случая, сказано, что эти координаты декартовы, т.е. метрика имеет вид $(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2.$ Ну и всё, приплыли, переход в этом случае невозможен, т.к. тут тело должно пройти за конечное время бесконечно длинный путь. Путь между точками $x=-1$ и $x=1$ тут будет бесконечно длинным при любом законе движения по гиперболам $y=2/x^2,$ какие ни задавай зависимости от времени $x(t)$ или $y(t)$, потому что вблизи $x=0$ интеграл для пути

$\int ds= \int\limits_{-1}^1 dx \, \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}=\int\limits_{-1}^1 dx \, \sqrt{1+\frac{16}{x^6}}$

расходится.

[vicont]

Мда.... Как оказывается всё непросто в этом мире... Уже метрические тензоры пошли...
Мне казалось, что всё гораздо проще.
Начальная функция $f(x)=1/|x|$ не определена при $x=0$. В результате преобразования я получил функцию $f(v)=v^2$. Ее область определения от минус бесконечности до плюс бесконечности.
В школе меня учили, что при преобразованиях функций надо внимательно следить за областью определения.
Так что правильный результат преобразования $f(v)=v^2$, где $v \neq 0$.
Если бы преобразование было выполнено правильно, то ответ был бы очевиден.

А так, сделав математическую ошибку, получил бредовый результат.

А вот теперь вопрос, касающий непостредственно физики.

У нас есть некоторое пространство. Это пространство размечено некоторой системой координат. Существует функция от координат, вобщем задано определенное поле. Но на некоторой области пространства функция не определена.
Вопрос. Можно ли при помощи преобразований координат разрулить ситуацию и получить поле, оределенное на всём пространстве?

Или эта идея бредовая изначально?

[arseniiv]

vicont в сообщении #961707 писал(а):

Мне казалось, что всё гораздо проще.

Всё действительно очень просто. Вы задаёте вопрос, ответ на который зависит только от метрики (вообще, топологии, раз дело только о непрерывности) пространства (и самой кривой, конечно), но не зависит от того, какие координаты вы брали и какие брали потом ещё. Очевидно, что в $\mathbb R^2$ со стандартной топологией метрикой ваше множество имеет две компоненты связности. Otta выше упоминает, что в $\bar{\mathbb R}\times\mathbb R$ оно — но только после добавления точки в нужное место! — будет связным (в первом случае добавлением одной точки связности добиться нельзя). А ещё можно много другого напридумывать, что итога не изменит — преобразования координат тут как бы и не в кассу, а вот пространство надо называть сразу.