Размышления о ВТФ для Р = 3

[Феликс Шмидель]

У меня тоже есть идея, но я подожду Вашего ответа.

[Феликс Шмидель]

Моя идея не сработала.
Условия $X^3+Y^3-Z^3 \equiv 0$ и $X^3 Y^3-X^3 Z^3-Y^3 Z^3 \equiv 0$ по модулю простого числа $p$ ведут к противоречию только если $p-1$ не делится на $9$.
Если же $p-1$ делится на $9$, то всегда можно подобрать такие $X, Y, Z$, чтобы вышеуказанные сравнения выполнялись.
Тем не менее, можно получить некоторые необходимые условия, которым должны удовлетворять числа $X, Y, Z$,
например, $Z^2-X Y \equiv 1, X^2+Z Y \equiv 1, Y^2+Z X \equiv 1$ по модулю $9$.

Таким образом идея уважаемого vasili не работает для многих $K$:

vasili в сообщении #958512 писал(а):

Пусть существует такое $P_n$, что справедливо сравнение
$X^{3K} + Y^{3K}-Z^{3K}\equiv 0\mod P_n $.
И пусть $(ZXY, P_n) = 1$.
И очевидно $X^3 + Y^3-Z^3\equiv 0\mod P_n $.

С другой стороны, кроме $X^6+Y^6-Z^6$ и $X^9+Y^9-Z^9$ можно рассмотреть $X+Y-Z$ и тоже придти к противоречию с условием $(ZXY, P_n) = 1$.

Я вовсе не считаю идею уважаемого vasili безнадёжной.
Наоборот, она очень интересная.
Но доказать ВТФ непросто :)

[vasili]

Уважаемый Феликс Шмидель! Вы возбудили надежду, но к сожалению от идеи до ее воплощение в истинное знание целая пропасть. При чистовом оформлении (как всегда) мягко говоря, обнаружена не «точность». А потому показать особо нечего.

Я исследовал сравнение $X^{12} + Y^{12} –Z^{12}\equiv 0\mod P_n$, а также

сравнения : $(Z^2-XY)(Z^4 + Z^2XY + X^2Y^2)\equiv 0\mod P_n$

$(X^2 + ZY)(X^4-X^2ZY + Z^2Y^2)\equiv 0\mod P_n$

$(Y^2 + ZX)(Y^4-Y^2ZX + Z^2X^2)\equiv 0\mod P_n$

С учетом сравнения $X^3 + Y^3-Z^3\equiv 0\mod P_n$
Нужны еще вспомогательные сравнения и тут Вы правы.

[lasta]

vasili в сообщении #958512 писал(а):

тогда благодаря (1) очевидно

$X^3 + Y^3 -Z^3\equiv 0\mod P_1\engo(4)$.

Уважаемый vasili! сравнение не очевидно.

[vasili]

Уважаемый Lasta! Доказательство ВТФ от противного предполагает , что (1) есть равенство для некоторых натуральных попарно взаимно простых чисел(в нашем случае). А равенство всегда при сравнении по модулю дает равенство вычетов. Правая часть равенства (1) дает вычет равный нулю, следовательно и левая часть равенства (1) будет иметь вычет равный нулю, что и записано в (4).

[lasta]

vasili в сообщении #959839 писал(а):

предполагает , что (1) есть равенство для некоторых натуральных попарно взаимно простых чисел(в нашем случае).

Уважаемый vasili! Мне известна рефлексивность в сравнениях, но я имел в виду, что Вы ссылаетесь на (1) (на не доказанное утверждение).

[vasili]

Уважаемый Lasta! Если я допустил (доказывая от противного) равенство(1), то очевидно я допускаю и (4). Мы ведь ссылаемся на (1) доказывая, что одно из чисел Решения является четным и многое другое. Так формулы Абеля без ссылки на (1) найти невозможно.

[lasta]

vasili в сообщении #959861 писал(а):

Так формулы Абеля без ссылки на (1) найти невозможно.

Уважаемый vasili! При выводе формул Абеля сначала доказывается, что сумма или разность степеней при показателе больше 2 являются составными числами и только потом делается вывод для степеней УФ.

[vasili]

Уважаемый Феликс Шмидель!

Кажется «нащупал» путь, но подозрительно примитивный.

И так начну сначала.

1. Пусть натуральные числа $X,Y$ и Z являются примитивным

Решением уравнения $X^3 + Y^3 - Z^3 = 0\engo(1)$,

и пусть одно из чисел Решения кратно 3.

(2-ой случай ВТФ для $P =3$).


2. Для поиска противоречия в (1) будем использовать метод сравнения

чисел по модулю ( метод Гаусса).

3. Выберем в качестве модуля простой делитель числа Y, обозначив его

через $ P_3$.

4. Запишем часть формул Абеля, связанных с Y

Пусть $Y = U_1d_1$, где

$U_1^3 = Z^2 + ZX + X^2\engo(2)$, если $(Y,3) = 1$,

$d_1^3 = Z-X$, если $(Y,3) = 1$,


$3U_1^3 = Z^2 + ZX + X^2\engo(3)$, если $(Y,3) = 3$

$d_1^3/3 = Z-X$, если $(Y,3) = 3$.

Из равенств (2) и (3) следует, что число $U_1$ нечетное и больше 3.

5. Пусть $ P_3 > 3$ такой простой делитель Y , что справедливо

сравнение

$U_1\equiv 0 \mod P_3$,

тогда очевидно и

$Y\equiv0\mod P_3\engo(4)$,

а благодаря примитивности Решения

$(Z, P_3) = 1\engo(5)$ и $(X, P_3) =1\engo(6)$

5. Покажем справедливость следующего сравнения

$Z^6-X^6-Y^6\equiv 0\mod P_3\engo(7)$,

преобразуем левую часть сравнения (7)

$(Z^3-X^3) (Z^3 + X^3)-Y^6\equiv0\mod P_3$,

а благодаря (1) имеем

$Y^3(Z^3 + X^3)-Y^6\equiv0\mod P_3$,

отсюда с учетом (4) левая часть

сравнима с нулем по модулю $P_3$, а значит и правая часть сравнима с

нулем, что и т.д.

6. Преобразуем левую часть сравнения (7)

$[(Z^3-X^3)^2 + 2Z^3X^3]-(Y^3)^2\equiv0\mod P_3$

$(Y^3)^2 + 2Z^3X^3-(Y^3)^2 =2Z^3X^3\equiv 0\mod P_3$,

отсюда

$2Z^3X^3\equiv 0\mod P_3$,

что в силу нечетности модуля и условий (5) и (6), не возможно.


Пришли к противоречию.

[ananova]

vasili в сообщении #961077 писал(а):

6. Преобразуем левую часть сравнения (7)

$[(Z^3-X^3)^2 + 2Z^3X^3]-(Y^3)^2\equiv0\mod P_3$

$(Y^3)^2 + 2Z^3X^3-(Y^3)^2 =2Z^3X^3\equiv 0\mod P_3$,

отсюда

$2Z^3X^3\equiv 0\mod P_3$,

что в силу нечетности модуля и условий (5) и (6), не возможно.

Тут надо перепроверить

$$[(Z^3-X^3)^2 + 2Z^3X^3]-(Y^3)^2=Z^6+X^6-Y^6$$

Т.е. $X^6$ идет с плюсом, а не с минусом, как в начальном уравнении

[vasili]

Уважаемый ananova! Благодарю за найденную грубую ошибку.

[lasta]

vasili в сообщении #958512 писал(а):

тогда благодаря (1) очевидно

$X^3 + Y^3 - Z^3\equiv 0\mod P_2\engo(7)$.

Уважаемый vasili!
Вернемся к Вашему новогоднему началу. Начиная с (7) условие (6) не достаточно, чтобы наложить все ограничения на степени. И допущение о том, что существует примитивное решение не отражается в дальнейших преобразованиях. Они остались бы точно такими же и при противоположном допущении о не существовании примитивного решения. Например, $Z^3$ может быть целым числом и взаимно простым с $P_2$ при иррациональном основании. И, таким образом, полученные в дальнейшем противоречия доказывают, что не существует ни примитивного решения, ни решений с иррациональным основанием.

[vasili]

Уважаемый Lasta! Мне не понятна Ваша логика. Что значит $Z^3$ целое при иррациональном основании? Уравнение ВТФ рассматриваем только в области целых чисел. Модуль $P_2$ выбираем такой, чтобы выполнялось условие $(ZXY,P_2) = 1$.

[lasta]

vasili в сообщении #961664 писал(а):

Что значит $Z^3$ целое при иррациональном основании?

Уважаемый vasili!
Самое элементарное, например, $Z^3=(z_0\sqrt[3]{5})^3$ - целое и может быть взаимно простым с $P_2$ без дополнительного условия взаимной простаты $(ZXY,P_2)=1$. И все дальнейшие выкладки одинаково работают и для иррационального основания не зависимо от нашего желания рассматривать все в области целых чисел.

[vasili]

Продолжение размышления….

1.Пусть натуральные числа $x,y,z$ являются примитивным решение уравнения

$x^3 + y^3-z^3= 0\engo(1)$

пусть $(z, 3) = 3$.
2. Пусть существует такое простое число $p =6m + 5$, что

$(xyz, p) = 1$,

$x^5 + y^5-z^5\equiv 0 \mod p\engo(2)$ и

$x^4 + y^4 + z^4\equiv w\mod p\engo(3)$.

Очевидно, будет справедливо сравнение

$x^3 + y^3-z^3= 0\mod p\engo(4)$

3. Преобразуем сравнение (3)

$(x + y)^4-4x^3y-6x^2y^2-4xy^3 +z^4\equiv w\mod p\engo(5)$

4. Преобразуем сравнение (4)

$(x +y)^3 -3xy(x +y)-z^3\equiv 0\mod p\engo(6)$

5. Умножим сравнение (6) на $x +y$

$(x +y)^4 -3xy(x +y)^2-z^3(x +y)\equiv 0\mod p\engo(7)$

6. Из сравнения (5) вычтем сравнение (7)

$(x + y)^4-4x^3y-6x^2y^2-4xy^3 +z^4-(x +y)^4-3xy(x +y)^2-z^3(x +y) = = -xy +z^3(z +x +y)\equiv w\mod p\engo(8)$

7. Из сравнения (3) вычтем сравнение (4) умноженное на x

$x^4 +y^4 +z^4-(x^4 +xy^3-z^3x) = y^3(y-x) +z^3(z +x)\equiv w\mod p\engo(9)$

8. Из сравнения (8) вычтем сравнение (9)

$-xy +z^3(z +x +y)- y^3(y-x)-z^3(z +x) = x^2 +y^2-(x +y)\equiv 0\mod p$, отсюда

$x^2 + y^2\equiv x + y\mod p\engo(10)$.

9. Из сравнения (10) следует, что:
или
9.1. $x^2\equiv y\mod p$, а $y^2\equiv x\mod p$

$y^2\equiv (x^2)^2\equiv x\mod p$

$x^2\equiv (y^2)^2\equiv y\mod p$,

$ x ^3\equiv 1\mod p\engo(11)$

$ y ^3\equiv 1\mod p\engo(12)$

Так как функция Эйлера $\varphi(6m + 5) = 6m + 4$ не делиться на 3, то из (11) и (12) следует соответственно

$x\equiv 1\mod p\engo(13)$,

$y\equiv 1\mod p\engo(14)$
или
9.2. $x^2\equiv x\mod p$, а $y^2\equiv y\mod p$, отсюда соответственно

$x\equiv 1\mod p\engo(13)$,

$y\equiv 1\mod p\engo(14)$

10. Запишем сравнения (2) и (4) с учетом сравнений (13) и (14) соответственно

$1 + 1-z^5\equiv 0\mod p\engo(15)$

$1 + 1-z^3\equiv 0\mod p\engo(16)$

11. Вычтем из сравнения (15) сравнение (16)

$ -z^3(z^2-1)\equiv 0\modp$, отсюда

$z\equiv ±1\mod p\engo(17)$.

12.Запишем сравнение (4) c учетом сравнений (13), (14) и (17)

$1 + 1-(±1)^3\equiv 0\mod p$, что невозможно, так как ни 2 ни 3 не делятся на $p >3$.

Пришли к противоречию.
Вывод: или 2 случай ВТФ для $n =3$ доказан или не существует простого числа p взятого нами в качестве модуля.