Производные табличной функции

[B@R5uk]

iifat в сообщении #958438 писал(а):

из ничего невозможно извлечь ничего

Ну прямо уж таки совсем ничего! Аналитичность и набор значений в точках -- это уже кое-что. Было бы бесконечное число точек, так функция уже бы однозначно определялась. Потом, всегда же можно потребовать от функции ещё чего-нибудь, чтобы упростить задачу.

[iifat]

B@R5uk в сообщении #958555 писал(а):

Было бы бесконечное число точек, так функция уже бы однозначно определялась

Хм. Представьте себе таблицу значений функции в целых точках. Вы по-прежнему уверены, что функция на действительной прямой определена однозначно?

B@R5uk в сообщении #958555 писал(а):

всегда же можно потребовать от функции ещё чего-нибудь, чтобы упростить задачу

Разумеется. Про этот путь вам уже говорили: исходя из модели, наложить ограничения. Накладывать ограничения исключительно дабы упростить задачу — можно, конечно, но опять же, говорить при этом об оценке/минимизации погрешностей по меньшей мере странно.
Ну вот представьте себе, я называю вам четыре числа: 1, 2, 3, 4. Попробуйте представить себе метод, вычисляющий пятое с минимальной погрешностью.

[B@R5uk]

iifat в сообщении #958568 писал(а):

Вы по-прежнему уверены, что функция на действительной прямой определена однозначно?

Предельная точка должна быть у множества. Бесконечность не подходит.

iifat в сообщении #958568 писал(а):

говорить при этом о погрешностях по меньшей мере странно

Ни разу ни странно. Меня вдохновляет вот эта тема. Из формулы Тейлора можно кое-чего извлекать в самом общем случае. Например, если известно значение функции в двух близких точках $x$ и ${x}_{0}$, а так же факт того, что вторая производная функции в окрестности, содержащей эти точки, мала, меньше, допустим, $\alpha$, то пользуясь формулой Тейлора можно получить следующее:

$$\begin{matrix} f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)+{f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{1}{2}{f}''\left( \xi \right){{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}, \\ \xi \in \left[ {{x}_{0}},x \right] \\ \end{matrix}$$

$${f}'\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}-\frac{1}{2}{f}''\left( \xi \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)$$

То есть рассчитав значение производной как величину

$$\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$$

мы ошибёмся не более чем на $\frac{1}{2}\left( x-{{x}_{0}} \right)\alpha$. Разве это уже не достижение? Хотя, разумеется, этого мне мало.

-- 08.01.2015, 17:03 --

iifat в сообщении #958568 писал(а):

Попробуйте представить себе метод, вычисляющий пятое с минимальной погрешностью.

Если последовательность порождена аналитической функцией (или хотя бы функцией из класса $C^4[0,6]$) и четвёртая производная достаточно мала, то пятое число мало (на сколько именно — можно оценить) отличается от пяти. Здесь я сделал много допущений, но на практике нас же именно такие случаи интересуют, именно такие допущения являются конструктивными. Хотелось бы по-больше узнать именно о таких подходах.

[iifat]

Мне кажется, если я поднапрягусь, я смогу опровергнуть ваши рассуждения. Вы почему-то вовсе выкидываете третью производную, а это моветон. То бишь, в пределе всё верно, а вот на конкретных данных — нет. Впрочем, лень.

B@R5uk в сообщении #958581 писал(а):

Если последовательность порождена аналитической функцией

Как я уже говорил, многочлен пятой степени, будучи бесконечно дифференцируемым, позволит мне выбрать пятую точку где угодно. Повышая степень, подозреваю, могу добиться и любых желаемых значений любых производных в заданных точках. Смогу ли добиться ограниченности производных на всём отрезке — сказать не берусь, но таки ж заметьте: мне вы эти ограничения предъявляете, а себе — нет. У вас нет, как я понял, никакой модели и требование ограниченности вы накладываете произвольно, для упрощения вычислений.

[B@R5uk]

Модели нет и не будет. Данные есть и с ними надо работать. Что вы предлагаете в этом случае?

iifat в сообщении #958594 писал(а):

Впрочем, лень.

Какой смысл говорить что-либо бездоказательно? Вы даже не ссылаетесь ни на какие авторитетные источники, которые могли бы доказать ваши утверждения за вас. Какой месседж вы хотите до меня донести?

-- 08.01.2015, 17:38 --

iifat в сообщении #958594 писал(а):

Вы почему-то вовсе выкидываете третью производную, а это моветон.

Значений в четырёх точках, а так же условия ограниченности четвёртой производной достаточно, чтобы оценить значение самой функции и её первых трёх производных.

[iifat]

B@R5uk в сообщении #958602 писал(а):

Что вы предлагаете в этом случае?

Предлагаю забыть про погрешность.

B@R5uk в сообщении #958602 писал(а):

Какой смысл говорить что-либо бездоказательно?

Разумеется, никакого. Тогда какой смысл предлагать бездоказательно ограничение какой-нить производной и просить оценить погрешность? Вы полагаете, есть какой-нить общемировой закон? Даже если и есть, чем вы её ограничите?

B@R5uk в сообщении #958602 писал(а):

Значений в четырёх точках, а так же условия ограниченности четвёртой производной достаточно

Почитал. Да, вы правы. Если ограниченность заменить на ограниченность конкретную (конкретным числом), таки да, можно прикинуть погрешность в пятой точке. Вот только ни ограничения, ни ограниченности у вас, как я понял, нет.
Впрочем, дерзайте.

[B@R5uk]

iifat в сообщении #958628 писал(а):

Вот только ни ограничения, ни ограниченности у вас, как я понял, нет.

Меня сейчас интересуют только методы оценок, какие бы то ни было. В них могут быть наложены любые возможные ограничения. Я хочу познакомиться с темой, а уж потом можно будет выбрать то, что наиболее подходит.

Подскажите, пожалуйста, какую-нибудь литературу по этому вопросу.

[amon]

Со своей стороны, могу поделиться, на мой взгляд, назидательной историей о дифференцировании экспериментальных данных. Некий, тогда довольно широко известный в узких кругах экспериментатор, сообщил о сделанном им открытии. Он утверждал, что открыл тонкую структуру спектра (не важно чего), причем эта структура почти не менялась от образца к образцу, что в ФТТ дело очень редкое. Беглых взгляд на экспериментальные спектры давал число особенностей в разы, если не в десятки раз меньшее, и никакой декларируемой квази-эквидистантности глазом не наблюдалось. Допрос с пристрастием 3-й степени показал, что товарищ пользовался дифференцированием спектра для выявления тонких особенностей. Программу для этого написал приятель экспериментатора, она интерполировала и сглаживала данные сплайнами, и позволяла их дифференцировать. Беглый подсчет показал, что число особенностей с хорошей точностью равнялось удвоенному числу сплайнов (они были кубические). С тех пор экспериментатор запил.

Это я к тому, что дифференцирование экспериментальных данных (с шумом) - очень нехорошая идея, и если уж без этого никак, то следует в эту тему влезать глубоко, иначе смеяться будут.

[maxmatem]

B@R5uk
У меня такой вопрос.
А если данные значения интерполировать чем нибудь и как нибудь(Удобным способом)
А потом полученную функцию и дифференцировать.

Лили таким наивным способом погрешность будет огромной?

[B@R5uk]

maxmatem в сообщении #958761 писал(а):

Лили таким наивным способом погрешность будет огромной?

Не совсем понял вопрос, но хотелось бы знать как оценивать погрешность способа до того, как его использовать.

[maxmatem]

B@R5uk
Я же говорю, мы можем интерполировать ваши данные?(можем.)А уж каким способом это другое дело.
Так вот я чего имел в виду.

Есть задачи численного дифференцирования. Так вот, я думал возьмем ваши значения, интерполируем(получим функцию.....) а потом ее будем дифференцировать в тех же точках.

или это бред

[B@R5uk]

Очень много методов численного дифференцирования можно таким образом интерпретировать. Во всяком случае те из них, которые понимают заданные значения функции, как точно известные.

-- 08.01.2015, 22:43 --

(Оффтоп)

maxmatem, поставьте, пожалуйста, в поле "откуда" пробел после слова "МПГУ" и пред открывающейся скобкой. А то форма таблицы форума искажается.

[maxmatem]

B@R5uk

(Оффтоп)

Так лучше? и я не совсем понял, тк у меня на экране все норм отображается

[B@R5uk]

Нашёл книжку Бахвалов, Жидков, Кобельников - Численные методы. Изложено очень много основных моментов и идей очень кратко. Некоторые хотелось бы изучить по-подробней.

[Утундрий]

B@R5uk
Я всё-таки настоятельно рекомендую копать в сторону Тихонова. Оглавление, как я видел, вы уже осилили, так попробуйте почитать сам текст.