Вы по-прежнему уверены, что функция на действительной прямой определена однозначно?
Предельная точка должна быть у множества. Бесконечность не подходит.
говорить при этом о погрешностях по меньшей мере странно
Ни разу ни странно. Меня вдохновляет
вот эта тема. Из формулы Тейлора можно кое-чего извлекать в самом общем случае. Например, если известно значение функции в двух близких точках

и

, а так же факт того, что вторая производная функции в окрестности, содержащей эти точки, мала, меньше, допустим,

, то пользуясь формулой Тейлора можно получить следующее:
![$$\begin{matrix}
f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)+{f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{1}{2}{f}''\left( \xi \right){{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}, \\
\xi \in \left[ {{x}_{0}},x \right] \\
\end{matrix}$$ $$\begin{matrix}
f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)+{f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{1}{2}{f}''\left( \xi \right){{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}, \\
\xi \in \left[ {{x}_{0}},x \right] \\
\end{matrix}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/c/3fc0b6b1570c26a7ad07d7eff045918382.png)

То есть рассчитав значение производной как величину

мы ошибёмся не более чем на

. Разве это уже не достижение? Хотя, разумеется, этого мне мало.
-- 08.01.2015, 17:03 --Попробуйте представить себе метод, вычисляющий пятое с минимальной погрешностью.
Если последовательность порождена аналитической функцией (или хотя бы функцией из класса
![$C^4[0,6]$ $C^4[0,6]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/d/cbd2d42d7b8aaebca0c59341e68c3c7882.png)
) и четвёртая производная достаточно мала, то пятое число м
ало (на сколько именно — можно оценить) отличается от пяти. Здесь я сделал много допущений, но на практике нас же именно такие случаи интересуют, именно такие допущения являются конструктивными. Хотелось бы по-больше узнать именно о таких подходах.