Логика и методология математики.

[dmitgu]

Феликс Шмидель в сообщении #956022 писал(а):

Если утверждение $A$ о существовании решений диофантового уравнения независимо от системы аксиом Пеано, то в стандартной модели арифметики выполняется утверждение "не $A$". Значит теория PA+A не является теорией стандартной арифметики, и то что в ней утверждение $A$ истинно не означает, что оно истинно в стандартной арифметике.
А утверждение $A \rightarrow Prov(#A)$ выполняется в стандартной модели арифметики.

А, может я и начинаю понимать в чем тут дело... Подскажите пожалуйста, Феликс Шмидель я правильно понимаю:
1. Некто доказал в теории множеств $A \rightarrow Prov(PA, #A)$ для $A$ - диофантовых уравнений.
2. На основании этого доказательства и принципа контрапозиции $\neg Prov(PA, #A) \rightarrow \neg A$
3. Затем он доказал $\neg Prov(PA, #A)$
4. На основании правила вывода MP и пп. 2,3 доказал $\neg A$

Верно?

Если так, то тут есть 2 сомнительных момента:
Пункт 1 - на основании каких аксиом он это сделал? Они сами-то соответствуют стандартной модели арифметики?
Пункт 3 - это доказано уже точно не на основании аксиом Пеано, потому что по 2ой теореме Гёделя там никогда не доказано $\neg Prov(PA, #A)$

И к обоим пунктам принципиальный вопрос - а этот некто доказал непротиворечивость своих новых аксиом с хотя бы аксиомами Пеано? Я поясню. Подогнать соответствие придуманных операций аксиомам 2ого порядка для арифметики можно. Там ведь действует принцип финитности. Вот можно сложение или умножение из Пеано проверить и они удовлетворяют полной арифметики. Вроде бы - вот способ решать любые вопросы - перебирай все возможные аксиомы 1го порядка и проверяй их на соответствие аксиомам арифметики 2ого порядка и строй выводы. И в силу полноты арифметики 2ого порядка по предложениям 1ого порядка обязательно докажешь или нужное утверждение или его отрицание. Но тут дикая засада: Противоречивость. Ты можешь выйти на "аксиомы", которые всему чудесно удовлетворяют и всё доказать. А через триллион шагов всплывет противоречие. И доказательство окажется пшиком.

Вот и вопрос - откуда такая уверенность, что "выполняется в стандартной модели арифметики"? Если видимо пункт 1 и явно пункт 3 выходят за рамки теории Пеано? Которая как бы проверена (тоже не абсолютно) и которой можно верить. А доказательство непротиворечивости - это очень сложная штука обычно. Вот для Пеано пришлось опираться на кардинальные числа и разбор ветвей доказательств. А на что опирался Ваш специалист? Или он не доказывал непротиворечивость своих построений для стандартной модели арифметики?

[epros]

Феликс Шмидель, проблема в том, что суждение о том, что такое «стандартная модель арифметики» — это суждение ZFC, т. е. теории первого порядка, которая сама имеет нестандартные модели. Поэтому её понимание стандартности арифметики может оказаться нестандартным

Вообще-то я не скажу, что прямо уж так сильно сомневаюсь в истинности теоретико-множественного доказательства ВТФ. Просто сам факт, что его не удалось получить в арифметике, с моей точки зрения уже как-то снижает его убедительность.

[epros]

dmitgu в сообщении #956115 писал(а):

1. Некто доказал в теории множеств $A \rightarrow Prov(PA, #A)$ для $A$ - диофантовых уравнений.
2. На основании этого доказательства и принципа контрапозиции $\neg Prov(PA, #A) \rightarrow \neg A$
3. Затем он доказал $\neg Prov(PA, #A)$
4. На основании правила вывода MP и пп. 2,3 доказал $\neg A$

При такой постановке вопрос может быть, как я понимаю, только к п. 3. Ибо если в некой теории доказано, что «в стандартной модели натуральных чисел нет таких чисел, что...», то остальные выводы очевидны. Вопрос остаётся только к тому, насколько мы можем доверять той аксиоматике, в которой доказан п. 3.

[dmitgu]

epros в сообщении #956193 писал(а):

При такой постановке вопрос может быть, как я понимаю, только к п. 3. Ибо если в некой теории доказано, что «в стандартной модели натуральных чисел нет таких чисел, что...», то остальные выводы очевидны. Вопрос остаётся только к тому, насколько мы можем доверять той аксиоматике, в которой доказан п. 3.

Да и к п. 1 есть вопросы. Но ведь это все равно частность. Ну решили одно диофантово уравнение допустим, но ведь их совокупност не разрешима (решение 10 проблемы Гильберта это доказало). То есть все равно придется расширять любую теорию 1 порядка новыми аксиомами чтоб решить некоторые следующие диофантовы ураввнения (доказать их нерешаемость) из бесконечности оставшихся. И никакая теория множеств от этого не спасет.

[Феликс Шмидель]

dmitgu в сообщении #956115 писал(а):

3. Затем он доказал $\neg Prov(PA, #A)$

Пункт 3 - это доказано уже точно не на основании аксиом Пеано, потому что по 2ой теореме Гёделя там никогда не доказано $\neg Prov(PA, #A)$

Гёдель доказал, что утверждение $\neg Prov(PA, #(1=0)) \rightarrow \neg Prov(PA, #G)$ является теоремой арифметики PA.
Некто может доказать, что утверждение $\neg Prov(PA, #(1=0)) \rightarrow \neg Prov(PA, #A)$ является теоремой арифметики PA.

[dmitgu]

Феликс Шмидель в сообщении #956333 писал(а):

Гёдель доказал, что утверждение $\neg Prov(PA, #(1=0)) \rightarrow \neg Prov(PA, #G)$ является теоремой арифметики PA.

Вот тут как раз и "песец". Потому что именно на основании этой импликации Гёдель и сделал вывод о невозможности доказать непротиворечивость $\neg Prov(PA, #(1=0))$ внутри теории. Потому что иначе будет доказано утверждение Гёделя, которое не может быть доказано в непротиворечивой теории. Более того, лбая недоказуемость не может быть доказана, потому что это будет означать непротиворечивость теории. Ведь в противоречивой теории доказано всё.

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #953230 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #953134 писал(а):

на практике математика обычно обосновывается теорий множеств $ZFC$

Вот только не надо сводить всю математику к ZFC. Ничего ZFC не обосновывает, её саму дай бог обосновать. Это просто очень удобный инструмент. Но не всюду.

Хотелось бы понять почему не надо сводить всю математику к $ZFC$.

Мне не нравится, что я аппелирую к нашему представлению о числах $1, 2, ...$ для описания истинных арифметических утверждений.
Есть другой путь: выбираем теорию множеств $S$, например $ZFC$ для обоснования математики.
Называем доказуемые утверждения $S$ истинными, если доказуемо отрицание - ложными.
Недоказуемые утверждения не считаем истинными или ложными.
Пусть $T$ - некоторая теория, например, арифметика Пеано.
Выбираем модель (of intended interpretation) теории $T$ в теории множеств $S$, например стандартную модель арифметики.
Нызываем истинные в этой модели утверждения истинными в теории $T$.
Просто и строго.

[Феликс Шмидель]

С другой стороны, мы не можем ставить наше представление о целых положительных числах в зависимость от аксиом теории множеств.
Что будет если добавить к теории множеств аксиому, нестандартно влияющую на истинность в стандартной модели арифметики? В этом случае истинное утверждение в этой модели может оказаться ложным арифметическим утверждением.
Сомнения уважаемого epros становятся понятными.

[Феликс Шмидель]

Надо добавить в изложение понятие об истинных математических утверждениях.
Это понятие истинности должно соответствовать классической логике, согласно которой каждое утверждение либо истинно, либо ложно.
Понятие истинности используется в математике, например, в теореме Тарского о невыразимости истины.
Эту невыразимость можно использовать для доказательства теоремы Гёделя о неполноте.
Можно добавить в наше введение следующее:

Цитата:

Классическая математика основана на классической логике, в которой каждое утверждение либо истинно, либо ложно.
Мы не можем определить, что такое истинное утверждение, но будем считать эту истинность заданной и частично определённой принятыми аксиомами.
Все доказанные на основании принятых аксиом утверждения будем считать истинными.

С каждой теорией будем связывать её стандартную модель в теории множеств и все истинные в этой модели утверждения будем считать истинными утверждениями теории.

[epros]

Феликс Шмидель в сообщении #957250 писал(а):

Это понятие истинности должно соответствовать классической логике, согласно которой каждое утверждение либо истинно, либо ложно.

Тут нам с Вами не по пути. Я считаю, что утверждение о том, что логика обязана быть двузначной — это догмат какой-то религии. Если Вы решили записаться в число сторонников этого культа, то это, конечно, Ваше личное дело...

[Феликс Шмидель]

epros в сообщении #958001 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #957250 писал(а):

Это понятие истинности должно соответствовать классической логике, согласно которой каждое утверждение либо истинно, либо ложно.

Тут нам с Вами не по пути. Я считаю, что утверждение о том, что логика обязана быть двузначной — это догмат какой-то религии. Если Вы решили записаться в число сторонников этого культа, то это, конечно, Ваше личное дело...

Но вы же не будете отрицать, что на этой логике основана классическая математика.
А на другой логике основана конструктивная математика, которая далеко не так распространена, как классическая.

[epros]

Ну, мало ли что в какой степени распространено. Это всего лишь вопрос традиции. Но придавать этой традиции некое абсолютное значение — не для меня.

[Феликс Шмидель]

Вербицкий пишет:

Цитата:

В большинстве версий "оснований математики" математика базируется на теории множеств.
В обучении математике, нам приходится поступать так же. Отчасти это связано с тем, что альтернативные подходы (конструктивная математика, теория категорий и другие) труднее и менее известны. А отчасти с тем, что базовые понятия теории множеств (отображения, произведение множеств, подмножества, биекции, классы эквивалентности) необходимы математику в любом случае.

Математика и основания математики это разные вещи.
Обычно математик не сверяет свои доказательства с аксиомами, не говоря уже о формализации.
Он убеждается в отсутствии ошибок совсем другим способом.
В том числе и экспериментально, сравнивая следствия из доказанной теоремы с уже известными фактами.
И возникает вопрос: для чего нужны альтернативные подходы?

[epros]

Феликс Шмидель в сообщении #958153 писал(а):

Он убеждается в отсутствии ошибок совсем другим способом.
В том числе и экспериментально, сравнивая следствия из доказанной теоремы с уже известными фактами.

Как-то уж больно прямолинейно Вы представляете себе применение математики. Каким же экспериментам соответствует возможность разделить шар на конечное количество кусков, из которых можно сложить два таких же шара?

Феликс Шмидель в сообщении #958153 писал(а):

И возникает вопрос: для чего нужны альтернативные подходы?

Вы, конечно, очень здорово придумали: Окрестить всё, что не соответствует сложившейся традиции, «альтернативными подходами», что автоматически предполагает пренебрежительное к ним отношение. У меня другое представление: Я не ищу никаких «альтернатив к существующему», а ищу общие подходы. Из которых, в частности, видно, что классическая логика — частный случай, получивший развитие в силу достаточно случайных исторических причин.

[alex_dorin]

Я таки не понял в чем вопрос, если он существует, от Феликс Шмидель ?