Функциональное уравнение

[B@R5uk]

Помогите, пожалуйста, разрешить такое функциональное уравнение относительно $f\left( x \right)$ и $g\left( x \right)$:

$$\begin{align} & {{h}_{1}}\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x+{{x}_{1}} \right) \\ & {{h}_{2}}\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x+{{x}_{2}} \right) \\ \end{align}$$

С какой стороны к такого рода задачам вообще подбираться?

[StaticZero]

А про функции $h_1$, $h_2$ что-нибудь известно?

[B@R5uk]

Да. Они заданы. То есть, даны функции $h_1\left(x\right)$ и $h_2\left(x\right)$, а так же числа $x_1$ и $x_2$. Надо найти функции $f\left( x \right)$ и $g\left( x \right)$

[amon]

Ну, тогда даже я это решу. (Намек на то, что элементарные операции дают ответ).

[B@R5uk]

StaticZero в сообщении #955218 писал(а):

Попробуйте вычесть из второго уравнения первое.

$$g\left( x+{{x}_{2}} \right)-g\left( x+{{x}_{1}} \right)={{h}_{2}}\left( x \right)-{{h}_{1}}\left( x \right)$$

Справа известная функция, а слева разность неизвестных в разных точках. Что с этим делать? В упор не вижу. Можно сделать замену переменной и избавится от $x_2$ под первой функцией, но вычитаемое никуда от этого не денется. Намекните, что дальше?

Даже задачу можно так переформулировать: дана функция $g\left( x \right)$ и число $a$, найти функцию $f\left( x \right)$, удовлетворяющую уравнению

$$f\left( x \right)-f\left( x+a \right)=g\left( x \right)$$

Блин, походу оно однозначно не решается, если добавить к $f\left( x \right)$ произвольную периодическую добавку $\varphi \left( x \right)$, удовлетворяющую условию:

$$\varphi \left( x \right)=\varphi \left( x+a \right)$$

то получим это:

$${f}'\left( x \right)-{f}'\left( x+a \right)=f\left( x \right)+\varphi \left( x \right)-f\left( x+a \right)-\varphi \left( x+a \right)=f\left( x \right)-f\left( x+a \right)$$

То есть, несколько совершенно разных функций может удовлетворять уравнению. Что с этим делать?

[ИСН]

Что хотите. Дифференциальному уравнению тоже может удовлетворять несколько совершенно разных функций. А обычному уравнению - несколько совершенно разных чисел. Жизнь.

[grizzly]

А можете перечислить все свойства функций $h_1$ и $h_2$, которые могут пригодиться при решении данной задачи? А также все закономерности, которые могут связывать данные уравнения с числами $x_1$ и $x_2$.

Если это покажется сложным, тогда просто приведите полное условие задачи.

[StaticZero]

Можно несколько видоизменить равенство, сделая его таким:

$$ \begin{equation} \label{eq_1} f(x + a) - f(x) = g(x) \end{equation} $$

Пусть $x_0$ - корень $g(x)$. При подстановке в равенство $\eqref{eq_1}$ получаем, что
$f(x_0 + a) - f(x_0) = 0$. Если $f(x)$ считать непрерывной, то на отрезке $[x_0; x_0 + a]$ (для определённости $a > 0$; если это не так, переставим концы отрезка) существует корень производной (по теореме Ролля). Если корней $g(x)$ нет, то нет и корней производной $f$, и значит, что она монотонная. Только я не знаю, может ли это чем-то помочь.

[B@R5uk]

grizzly в сообщении #955233 писал(а):

А можете перечислить все свойства функций $h_1$ и $h_2$, которые могут пригодиться при решении данной задачи?

Непрерывны, сколько надо раз дифференцируемы, ограничены на всей области определения. Однако последним хотелось бы не пользоваться и решать в более общем виде в классе дифференцируемых функций.

ИСН в сообщении #955230 писал(а):

Жизнь.

ОК. Пусть будет так. Решение представимо в виде суммы однородного и неоднородного слагаемого, если говорить терминами дифференциальных уравнений. С однородным всё понятно — любое периодическое. Как найти неоднородную часть?

grizzly в сообщении #955233 писал(а):

просто приведите полное условие задачи.

Думаю, это заведёт в такие дебри, что не выбраться. Разве уже сказанного не достаточно, чтобы описать все возможные решения?

[demolishka]

Этим условием

B@R5uk в сообщении #955219 писал(а):

$$f(x)-f(x+a)=g(x)$

вы описали всевозможные функции $f$. Что вам еще надо?

[B@R5uk]

demolishka в сообщении #955243 писал(а):

Что вам еще надо?

Чему равно $f\left( 0 \right)$ ?

[StaticZero]

B@R5uk в сообщении #955240 писал(а):

Непрерывны, сколько надо раз дифференцируемы, ограничены на всей области определения. Однако последним хотелось бы не пользоваться и решать в более общем виде в классе дифференцируемых функций.

Следовательно, и $g(x)$ в примере выше непрерывная, дифференцируемая.

Вообще говоря, при разных функциях $g$ (см. мои посты) функция $f$ может принадлежать разным "классам". Иллюстрация: пусть $g(x) = \exp(x)$, тогда $f(x) = \dfrac{1}{e^a - 1} \exp(x) + c(x)$.
Пусть $g(x) = b = \operatorname{const}$, тогда $f(x) = \dfrac{bx}{a} + c(x)$ ($c(x)$ - периодическая с периодом $a$). В первом случае это "класс" экспоненциальных функций, а во втором - "класс" многочленов.

[grizzly]

B@R5uk в сообщении #955240 писал(а):

Разве уже сказанного не достаточно, чтобы описать все возможные решения?

А, ну тогда, конечно, этого достаточно. Это сильно упрощает задачу.

Ответ к задаче: Данная система функциональных уравнений в общем случае неразрешима.
Доказательство: Рассмотрим, для примера, следующий случай: $h_1(x)\equiv 1$, $h_2(x)\equiv 0$; $x_1=0$, $x_2=0$. Подставив все данные в систему, придём к противоречию. ЧТД.

[provincialka]

B@R5uk в сообщении #955244 писал(а):

Чему равно $f\left( 0 \right)$ ?

Произвольному числу. Потому что вместе с парой $f(x),g(x)$ решением будет также пара $f(x)+C, g(x) - C$ для любой константы $C$.

[B@R5uk]

StaticZero, вы намекаете на то, что не зная хотя бы примерный вид функции $g(x)$ нельзя записать в общем виде решение уравнения?

$$f\left( x \right)-f\left( x+a \right)=g\left( x \right)$$

То есть выход заключается в том, чтобы разложить $g(x)$ по какому-либо функциональному базису, для которого решение найти можно, и общее решение записать как ряд или интеграл разложения?

provincialka в сообщении #955247 писал(а):

Произвольному числу.

Я как бы об этом уже сам писал выше. Периодическую добавку, разумеется, надо занулить, тогда ответ будет однозначный. Помогите, пожалуйста, чем-нибудь конструктивным.

grizzly в сообщении #955246 писал(а):

Доказательство

Знаете анекдот про абсолютное точное и абсолютно бесполезное утверждение? Частный случай $a=0$, $g(x)\ne 0$ меня не интересует.


StaticZero, большое Вам спасибо за участие. Ваши сообщения очень содержательны и раскрывают для меня что-то новое.