Функциональное уравнение

[Otta]

B@R5uk в сообщении #955248 писал(а):

$$f\left( x \right)-f\left( x+a \right)=g\left( x \right)$$

Без дополнительных сведений о поведении $g$ я ничего не умею говорить. А так, $f(x)=\sum_{k=0}^\infty g(x+ka)$, разумеется, в том случае, когда ряд этот сходится.
(Может, это не всё, надо еще подумать.)
Ну по крайней мере, аддитивная постоянная вроде не помешает.

[StaticZero]

B@R5uk в сообщении #955248 писал(а):

StaticZero, большое Вам спасибо за участие. Ваши сообщения очень содержательны и раскрывают для меня что-то новое

(Оффтоп)

Я надеюсь, это не сарказм.

B@R5uk в сообщении #955248 писал(а):

вы намекаете на то, что не зная хотя бы примерный вид функции $g(x)$ нельзя записать в общем виде решение уравнения?

Скорее всего, это действительно так.

[B@R5uk]

Otta в сообщении #955251 писал(а):

А так, $f(x)=\sum_{k=0}^\infty g(x+ka)$

Ух-ты, здорово! А это же не единственная форма записи ответа? Можно ли, например, суммировать от минус бесконечности до конечного числа?

StaticZero в сообщении #955254 писал(а):

(Оффтоп)

Я надеюсь, это не сарказм.

(Оффтоп)

Не сарказм. Я действительно Вам благодарен.

StaticZero в сообщении #955254 писал(а):

Скорее всего, это действительно так.

Otta в сообщении #955251 писал(а):

Без дополнительных сведений о поведении $g$ я ничего не умею говорить.

Как на счёт такого: $g(x)=x^n$? Уравнение линейно. $g(x)$ всегда можно разложить в ряд Тейлора, а ответ потом собрать тоже в виде этого ряда. Практически мало полезно, но будет уже что-то.

[Otta]

B@R5uk в сообщении #955257 писал(а):

Как на счёт такого: $g(x)=x^n$?

Такое никуда не годится. Перейдите к пределу при $x\to +\infty$ в Вашем уравнении и, думаю, увидите.
Решений не будет.
Upd
Хотя нет, это я поторопилась.
Их бы не было, если бы мы обязали $f$ иметь предел на бесконечности, что не так.

[ИСН]

B@R5uk в сообщении #955257 писал(а):

Как на счёт такого: $g(x)=x^n$?

Тогда $f(x)$ - многочлен степени на 1 больше. Коэффициенты легко подбираются.

[grizzly]

B@R5uk в сообщении #955248 писал(а):

Частный случай $a=0$, $g(x)\ne 0$ меня не интересует.

Я же просил описать свойства начальных данных, которые Вас интересуют. Мой пример подходит под все указанные свойства :)

(Оффтоп)

B@R5uk в сообщении #955248 писал(а):

Знаете анекдот про абсолютное точное и абсолютно бесполезное утверждение?

Это про менеджеров на воздушном шаре, которые не знают, где находятся и куда направляются, только знают, что виноваты программисты? (Только не подумайте чего -- это просто шутка, пришлось к слову :)
Я вижу, что Вам уже помогли и не буду больше мешать.

[StaticZero]

Решим функциональное уравнение

$$ \begin{equation} \label{eq_2} f(x + t) - f(x) = x \end{equation} $$

Ищем решения в виде $P_2(x) + C(x)$, где $C(x)$ некоторая функция, а $P_2(x)$ - полином 2 степени.

$$P_2(x) = ax^2 + bx + c$$

Подставим многочлен в $\eqref{eq_2}$ и методом неопределённых коэффициентов найдём
$a$, $b$. $c$ - произвольная константа. Функция $C(x)$ должна быть непрерывной и периодической с периодом $t$.

Точно так же выполняется поиск решений для $x^n$.

Для $g = \exp$ выписано выше.

Интересным может являться случай $g(x) = \sin{x}$.

[Otta]

StaticZero

(Оффтоп)

Тут не предусмотрена автоматическая нумерация.

[VPro]

Изображение функции $g(t)$ очевидно равно

$$G(p)=\frac{H_1(p)-H_2(p)}{e^{x_1p}-e^{x_2p}}$$

[B@R5uk]

VPro, Вы имеете в виду преобразование Лапласа? Я с ним толком не знаком, но разве там смещаемая функция не умножается на функцию Хевисайда? У меня же этого нет, или я что-то недопонимаю?

StaticZero в сообщении #955270 писал(а):

Интересным может являться случай $g(x) = \sin{x}$.

Ну, тут по аналогии с полиномами понятно в каком виде искать решение. Другое дело, что если частота будет приближаться к некоторой критической, связанной с периодом $a$, то могут возникнуть неприятности.

А что на счёт такого вида функции $g(x)$ :

$$f\left( x+a \right)-f\left( x \right)=\operatorname{sinc}\left( bx \right)$$

В каком виде искать решение в этом случае?

[cool.phenon]

Как я удачно зашел. Этот тип функциональных уравнений называется гомологическими уравнениями, очень хорошо описаны у Полянина. Более того, одно из них было на ТЮМ-2009, когда в правой части $\sin x$. Если правая часть -- непрерывная периодическая функция, существует единственное решение (с точностью до константы).

[VPro]

B@R5uk в сообщении #955435 писал(а):

VPro, Вы имеете в виду преобразование Лапласа? Я с ним толком не знаком, но разве там смещаемая функция не умножается на функцию Хевисайда? У меня же этого нет, или я что-то недопонимаю?

Да, прообраз определен только для неотрицательного аргумента. Но тут главное - идея. Точно также можно построить преобразование Фурье для $g(t)$, где аргумент задан уже на всей оси. Далее - обратное преобразование (его существование заодно дает критерий разрешимости задачи) и дело в шляпе.

[B@R5uk]

cool.phenon в сообщении #955440 писал(а):

называется гомологическими уравнениями

Большое спасибо! Когда знаешь как зверя звать, то и охотится на него как-то проще становится.

cool.phenon в сообщении #955440 писал(а):

очень хорошо описаны у Полянина

А можно по-конкретнее где? Название книжки там, или справочника?

[Red_Herring]

Задача эквивалентна следующей (в иных обозначениях): решить $f(x)-f(x-a)=g(x)$.

Совершенно очевидно, что на любом  полуоткрытом интервале длины $a$ функция $f$ может быть задана произвольно, а затем распространена используя это уравнение: например,

$$ f(x)=\left\{\begin{aligned} &F(x) &&0\le x<a,\\ &F(x-\lfloor x/a\rfloor a) +\sum _{0\le n< \lfloor x/a\rfloor a} g(x-na), &&x\ge a,\\ &F(x-\lfloor x/a\rfloor a)- \sum _{1\le n < -\lfloor x/a\rfloor a} g(x-na), &&x<0 \end{aligned}\right. $$

где $F(x)$ произвольная ф-я на $[0,a)$.

[B@R5uk]

Кусочно-составное решение не интересно. Интересно решение, в котором явно выделена произвольное периодическое слагаемое, не зависящее от $g\left( x \right)$ и целевая часть, представляющая интерес и однозначно определяемая функцией $g\left( x \right)$ .
Впрочем, Ваше, Red_Herring, решение позволяет быть доработанным до разделения этих слагаемых, однако, мне кажется, при этом оно перейдёт в решение уже предложенное Otta в этом посте. Во всяком случае, по виду напоминает.