удар частицы об стенку

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #955061 писал(а):

правая часть чего равна нулю? правая часть волнового уравнения равна $h$, как только что было написано.Повторяю вопрос: чему равно $f$?

Да, конечно. У нас $f=h(x,t)$ — неизвестная функция, сосредоточенная на $\{(x,t): u(x,t)=a\}$ где $y=a$ положение стенки

[sup]

Прошу прощения, не заметил $f$

$$\iint \Bigl[-(u_t^2+u_x^2)\frac{\partial}{\partial t} \phi + 2u_xu_t\frac{\partial}{\partial x}\phi \Bigr]dxdt=0$$

В законе сохранения энергии реакция $h$ никак не фигурирует. Если выражаться неформально, то стенка лишь разворачивает скорость, но не изменяет энергию.

Насчет портабельности - не буду спорить. Но мне надо было просто посмотреть, что там происходит. Кроме того, как всегда сначала нужна отладка, поскольку в программе куча ошибок. Опять же не ясно, какую точность выбрать. А как это лучше сделать? Прямо в отладчике смотрим как оно все там.

[Red_Herring]

sup в сообщении #955064 писал(а):

В законе сохранения энергии реакция $h$ никак не фигурирует. Если выражаться неформально, то стенка лишь разворачивает скорость, но не изменяет энергию.

Она конечно не меняет полную энергию но плотность энергии меняет. Т.ч. я не уверен что $h$ не фигурирует там (исключая случай, когда $\phi=0$ вблизи контакта.

[sup]

Red_Herring в сообщении #955058 писал(а):

Интересно, а как происходят следующие удары—или их может и не быть за счет порождения высших гармоник и соответственно уменьшения амплитуды?

Мне тоже это было интересно Есть удары ! Любопытная картинка. Но я пока не очень доволен. Потому что потом начинается мелкая волна на графике - скорее всего артефакты счета накапливаются. А поначалу все классно. Я даже не ожидал, что так будет. Попробую сделать "как надо" и выложить.

-- Чт янв 01, 2015 15:01:51 --

А вот нет вклада от реакции. И у Шацман нет. А она доказала разрешимость и единственность. Для простой ситуации - первого удара об стенку можно выписать точное решение. Оно простое. Берем "нормальное" решение и все, что выше стенки, зеркально отражаем вниз. Какое-то время это и будет решением.

-- Чт янв 01, 2015 15:04:24 --

В случае, когда есть линия разрыва производных, то отдельно выписываем баланс энергии с одной стороны и с другой стороны. А потом складываем. На линии все сократится.

[Red_Herring]

sup в сообщении #955067 писал(а):

Для простой ситуации - первого удара об стенку можно выписать точное решение. Оно простое. Берем "нормальное" решение и все, что выше стенки, зеркально отражаем вниз. Какое-то время это и будет решением.

Не понял: если решение такое то до $t=\pi/2$ прогиб растет а потом убирается?

[sup]

Подскажите, куда временно можно выложить картинки. Я сделаю пару-тройку скриншотов.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #955067 писал(а):

И у Шацман нет

а как она это интегральное равенство аргументировала?

[sup]

Ну вот вроде. Берем 40 гармоник. (черная линия)
Красная линия - синус с отражением.
Первая картинка
http://files.webfile.ru/041165592abf4c4 ... bcb098c186
Сразу после удара.
Через некоторое время струна отходит от стенки. Красная линия - лишь ориентир. Это уже не решение.
http://files.webfile.ru/5d5dbbd13046aa2 ... a81b141255
А вот максимальное отклонение
http://files.webfile.ru/0eeb73a70d4d97a ... aff77b3dbc
После этого струна начинает двигаться в обратную сторону
http://files.webfile.ru/efa8c574e6100a6 ... 34298c5aeb
И вот снова удар
http://files.webfile.ru/f612c27bda7544e ... 2db9b0e37a

-- Чт янв 01, 2015 15:57:38 --

Короче, че-то я тут наворотил

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #955067 писал(а):

В случае, когда есть линия разрыва производных, то отдельно выписываем баланс энергии с одной стороны и с другой стороны. А потом складываем. На линии все сократится.

а различные значения пробной функции до и после как сократятся?

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #955078 писал(а):

а как она это интегральное равенство аргументировала?

А никак не аргументировала! Просто написала и все.
Но я уже указывал, как его можно получить, когда есть линии разрыва. На линии значения пробной функции и слева и справа совпадают

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #955085 писал(а):

Но я уже указывал, как его можно получить, когда есть линии разрыва

я не понял, то что Вы выше написали, пожно подробно

[sup]

На линии разрыва производные меняют знак. Но в тождестве они "идут парами", поэтому в целом знак не меняется.

-- Чт янв 01, 2015 16:05:42 --

Хорошо. Сейчас попробую строго расписать.

[sup]

Надо различать "свежие" разрывы, которые возникают в момент удара. И "контактные" разрывы - результат эволюции тех самых, исходных. На исходных разрывах для вектора нормали выполняется неравенство $|n_t| > |n_x|$. Это условие означает, что скорость точки разрыва больше скорости распространения возмущений. Дальше уже струна просто отойдет от стенки. Нас будет интересовать именно момент удара и что там будет сразу же после.

На линии разрыва $u=c$. Значит вектор нормали $\bar{n} = (u_t, u_x)$. Если слева и справа решение гладкое, то нормаль слева и справа может отличаться только множителем. Значит на линии разрыва
$u_t(x+0,t) = \lambda u_t(x-0,t), u_x(x+0,t) = \lambda u_x(x-0,t)$
Сохранение энергии означает, что

$$\int (u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t))dx = \operatorname{const} \qquad (*)$$

Пусть линия разрыва одна. Тогда слева и справа от линии выполнено соотношение
$\frac{\partial}{\partial t} (u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t)) - 2\frac{\partial}{\partial x}( u_t(x,t)u_x(x,t)) = 0$
Интегрируем слева и справа, суммируем и учитываем закон сохранения энергии $(*)$. Значит на линии разрыва равен 0 скачок функции

$$u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t) - 2\frac{n_x}{n_t}u_t(x,t)u_x(x,t)$$

Форма знакоопределенная, отсюда следует, что $u_t, u_x$ просто меняют знак.
Отсюда легко следует, что
$\frac{\partial}{\partial t} (u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t)) - 2\frac{\partial}{\partial x}( u_t(x,t)u_x(x,t)) = 0$
во всем цилиндре в смысле распределений. Ну, умножаем на пробную функцию, интегрируем, на линии следы посокращаются.

-- Чт янв 01, 2015 17:49:17 --

Виноват, не заметил реплику.

Red_Herring в сообщении #955072 писал(а):

Не понял: если решение такое то до $t=\pi/2$ прогиб растет а потом убирается?

Некоторое время это будет решением. В точности до того момента, пока точка контакта бежит со скоростью больше 1. Как только скорость станет равна 1, струна отойдет от стенки. И такая простая функция уже не будет решением.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #955104 писал(а):

Интегрируем слева и справа, суммируем и учитываем закон сохранения энергии $(*)$. Значит на линии разрыва равен 0 скачок функции

$$u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t) - 2\frac{n_x}{n_t}u_t(x,t)u_x(x,t)$$

это можно подробнее? там Вы наверное используете формулу Грина, потом надо как-то контур стягивать или не надо? как закон сохранения энергии используется?

-- Чт янв 01, 2015 15:27:27 --

sup в сообщении #955104 писал(а):

Это условие означает, что скорость точки разрыва больше скорости распространения возмущений

это ,видимо, гипотеза которую следует включить в определение абсолютно упругого удара или нет? надо же быть уверенным , что на решении так и происходит

[sup]

Рассмотрим цилиндр $(0,1)\times (t_0,t_1)$. Пусть линия разрыва $\Gamma$. Тогда интегрируя соотношения для баланса энергии слева и справа от разрыва и суммируя, получаем

$$\int (u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t))dx \Bigr{|}_{t_0}^{t_1} = \int \limits_{\Gamma} (\delta (u_t^2 + u_x^2)n_t - \delta (2u_t u_x)n_x )d\Gamma$$

где $\delta (\cdot)$ означает скачок на линии разрыва. Левая часть равна 0. Значит и правая тоже.
В силу произвольности $t_0,t_1$ получаем, что под интегралом стоит 0.

-- Чт янв 01, 2015 18:49:11 --

Oleg Zubelevich в сообщении #955109 писал(а):

это ,видимо, гипотеза

Нет. Там нужен более тщательный анализ. Несколько нудно, но "проходимо". Там возникают задачи типа Гурса. Возня всякая. В любом случае, это же модельные рассуждения. Для решений, у которых $u_t,u_x \in L_2(Q)$, линии разрыва все равно толком не определить.