Решения однородного ДУ второго порядка

[Dmitro]

Спасибо Red_Herring. Порешаю.

Provincialka, наверное вы правы. Нечего тут пытаться чувствовать. Покрутить варианты и запомнить нужные.

Цитата:

А почему, когда есть два разных вещественных корня, нужно брать линейную комбинацию экспонент, а не, скажем, арктангенсов - это совсем понятно?

Ну не то чтобы совсем. Видимо «причина» в свойствах экспоненты – в производной от нее она опять же присутствует. Наверное, никакая другая функция такими свойствами не обладает…

Ой, пока я ответ сочиняю, тут уже дискусиия.

-- Чт дек 25, 2014 21:40:38 --

Someone, да, если сделать замену $y=ue^{p_1t}$, то получим $u$, которая будет содержать $t$. Но почему замена именно такая.
И вариант «прокрутить все функции» как-то не совсем научный.

Как раз, чтобы студентам объяснить причины (основы) такого «разногласия» в решениях я и хочу сначала сам разобраться. Нет, ну можно конечно сказать «есть такое правило…», но говорить такое «голословно» или сказать «не верите - проверьте» как-то не честно, по-моему.

[Someone]

Dmitro в сообщении #952255 писал(а):

Но почему замена именно такая.

Мы же знаем, что $y_1=e^{p_1t}$ — решение. И у нас есть ожидание, что в результате такой подстановки уравнение упростится.

Кроме того, известен метод понижения порядка однородного линейного дифференциального уравнения $n$-го порядка, если известно одно частное решение: подстановка $y=y_1\int udt$ (работает и для уравнений с переменными коэффициентами).

Dmitro в сообщении #952255 писал(а):

получим $u=t$

$u=C_1t+C_2$.

Dmitro в сообщении #952255 писал(а):

И вариант «прокрутить все функции» как-то не совсем научный.

Почему? Неужели Вы думаете, что для решения задачи не надо ничего угадывать, и всё можно вывести строго логически?

[provincialka]

Я диффуры не веду. Но когда мы интегрируем по частям функции вида $x^ke^{ax}$ (или с синусами) всегда говорю: присмотритесь, запомните. Такие функции понадобятся вам в курсе диф. уравнений. Может, кто и запоминает.
Может, прежде чем решать такие уравнения, попытаться построить одно-два? Например, для функции $f(x) = xe^x$ найти уравнение с постоянными коэффициентами (однородное или наименьшего порядка), решением которого она является.

[Red_Herring]

Dmitro
Надо понимать, что некоторые задачи решаются разными способами (например, в этой задаче можно еще использовать операционное исчисление и ТФКП) и эти способы основаны на разных свойствах этих задач. Использовать нужно тот, который быстрее всего решает задачу и с меньшей вероятность сделать ошибку (длинные и сложные вычисления повышают её вероятность). Но знать лучше все и когда видишь как разные способы приводят к одному и тому же ответу (и не всегда сразу видно, что это один и тот же ответ), то получаешь удовлетворение как от сложившегося паззла. Картина получается объёмной, а не плоской.

Я вовсе не предлагаю решать все задачи тем методом, который я изложил, но он освещает еще одну грань. Кстати, угадывание—отнюдь не плохой метод и решение в виде экспоненты мы действительно просто угадываем.

[Dmitro]

Проанализировал коэффициенты частного решения неоднородного ДУ в общем виде.
$y(0)=y_0$; $y’(0)=D$; частное решение $y_1(t)$:
1) корни действительные разные
$y(t)=C_1e^{p_1t}+C_2e^{p_2t}$
$C_1=\dfrac {p_2(y_0-y_1(t))-D} {p_2-p_1}; C_2=\dfrac {D-p_1(y_0-y_1(t))} {p_2-p_1}$

2) корни равные $p_1=p_2=p$
$y(t)=(C_1t+C_2)e^{pt}$
$C_1=D-p(y_0-y_1(t)); C_2=(y_0-y_1(t))$

3) корни комплексно-сопряженные $p_{1,2}=\alpha \pm j\nu$
$y(t)=(C_1sin \nu t+C_1cos \nu t)e^{\alpha t}$
$C_1=\dfrac 1 \nu (D-\alpha(y_0-y_1(t)); C_2=(y_0-y_1(t))$

Действительно, если в первом случае устремить $p_2 \to p_1$ или в третьем $\nu \to 0$, то получим вариант решения 2). Полный вывод для случая 1), правда, пока вывел не до конца, но вольфрам выдал совпадающий результат.
В общем, проделал примерно то, что Red_Herring советовал.
Я так понял, три случая решения не нужно воспринимать как три «совершенно разных случая» – это три варианта записи одного решения (для конкретного вида корней). Причем это одно решение, которое с гиперболическими функциями, Red_Herring здесь уже приводил.
Нужно еще поразмыслить над тем, чем $e^{kt}$ отличается от $kte^{kt}$.

Someone, метод замены-подстановки конечно даст тот же результат. Решение ДУ второго порядка с равными корнями я проверял в частном случае как неоднородное ДУ первого порядка, правая часть которого является решением такого же ДУ первого порядка с константой в правой части. Естественно, получил ответ по варианту 2).

(Оффтоп)

По поводу замен при решении интегралов как-то мне тоже не очень приятно. Еще когда учился, не по себе было. Решал конечно. Но опять эти «разрозненные» правила: если функция такого вида – то делаем такую замену, если другого – то другую. Но хотелось понять как до этих подстановок можно было дойти. Не думаю, что математики сидели и проверяли все возможные функции. Видимо это применение опыта «от обратного»: много разных функций надифференцировали, а потом подумали «а что если наоборот». Ну да ладно, это мой извращенный способ учиться – проверять всё и не доверять даже основам. Просто когда учился времени всё проверить не было.

Спасибо за ответы.

Может подскажите литературу, по этой теме. Чтоб и вопрос Brukvalub закрыть

Цитата:

нужно брать линейную комбинацию экспонент, а не, скажем, арктангенсов

а то я опять засомневался. Не думаю, что сумму экспонент в решении путем прозрения нашли. Наверное можно же это и доказать, только не от обратного.
Если решения ДУ получены путем угадывания, то почему в учебниках пишут наоборот – сначала есть ДУ и ищем его решение, а не наоборот (как было бы логичнее при угадывании решения) – вот есть функция, и давайте-ка найдем ДУ, решением которого она является. Хотя такой способ я видел в каком-то учебнике по теормеханике, где искали ДУ под синусоиду в решении.
А пока покручу функции по совету provincialka

[Red_Herring]

Dmitro в сообщении #953190 писал(а):

Не думаю, что сумму экспонент в решении путем прозрения нашли.

Ну разумеется, экспоненту нашли путём угадывания. В математике интуиция играет важнейшую роль.
[quote]
Если решения ДУ получены путем угадывания, то почему в учебниках пишут наоборот – сначала есть ДУ и ищем его решение, а не наоборот (как было бы логичнее при угадывании решения) /quote]
Если есть ДУ, то мы ищем решение (в том числе угадываем). Если есть решения, то мы ищем ДУ (в том числе угадываем).