удар частицы об стенку

[sup]

(Оффтоп)

Похоже, я не слишком четко сформулировал задачу.
С безменом я предлагаю поступить так.
1. Аккуратно подвесить бутылку, дождаться, пока все устаканится, посмотреть на безмен. Получим вес $W_1$.
2. Привязать резинку к безмену и бутылке. Держим бутылку и безмен так, чтобы резинка была только чуть-чуть натянута. Затем бутылку отпускаем и фиксируем максимальное показание безмена, когда бутылка достигнет самой нижней точки. Это будет вес $W_2$. Утверждается, что этот вес будет вдвое больше, чем $W_1$. И не зависит от жесткости резинки.

Правда во время проведения эксперимента предлагаю соблюдать технику безопасности. Если подвешивать бутылку с пивом или того лучше, с ней, родимой, то результат может оказаться весьма неожиданным.

В свое время, я со своими приятелями физиками, закончившими НГУ, обсуждал этот вопрос. Почему нельзя перейти к пределу. Сошлись на мысли, что в решении присутствует деление на $\Delta x$ - растяжение резинки. Для нерастяжимой нитки эта величина равна 0. Вот и некорректный результат.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #952234 писал(а):

Хотя и доказательство совсем не очевидное. Можно обобщить на множества с непустой внутренностью в $L^2$ и "гладкой" границей. Но по сути это примерно то же самое.

а что неочевидного в доказательстве? строим плоскость касаетельную к сфере в $L^2$ , когда точка доходит до поверхности сферы, вычисляем скорость после удара по правилу "угол падения равен углу отражения" и решаем линейное уравнение с новыми начальными условиями

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #952628 писал(а):

а что неочевидного в доказательстве? строим плоскость касаетельную к сфере

Ну со сферой этот фокус пройдет. Со сферой вообще все просто: каждый билиард лежит в одной плоскости проходящей через центр. А как в более общем случае Вы поступите с биллиардом-попрыгунчиком (см выше) даже не в $L^2$ а в $\mathbb{R}^2$?

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #952634 писал(а):

Ну со сферой этот фокус пройдет

это как раз не фокус а общая теория, а фокус это то о чем Вы ниже написали

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #952655 писал(а):

это как раз не фокус а общая теория, а фокус это то о чем Вы ниже написали

Разумеется, то о чём я написал—фокус. Но и то, о чем Вы написали это до общей теории не дотягивает. Да, есть условия которые предотвратят "попрыгунчиков": например, условие сильной выпуклости (включая отделенность кривизны от 0).

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #952664 писал(а):

Да, есть условия которые предотвратят "попрыгунчиков": н

это все лежит слишком далеко от мейнстрима, какой смысл все время ссылаться на этот пример?. забавный пример, поудивлялись пошли дальше. проблематика в бильярдах немного другая, и в теории удара тоже другая. в системах, которые интересны большинству людей "попрыгунчиков" нет, причем этот факт там бывает тривиален и в отдельном изучении не нуждается.

Red_Herring в сообщении #952664 писал(а):

Но и то, о чем Вы написали это до общей теории не дотягивает.

то о чем я написал, является тривиальным следствием общей теории. и это было возражением на утверждение supо сложности задачи с шаром

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #952628 писал(а):

а что неочевидного в доказательстве? строим плоскость касаетельную к сфере в $L^2$ , когда точка доходит до поверхности сферы, вычисляем скорость после удара по правилу "угол падения равен углу отражения" и решаем линейное уравнение с новыми начальными условиями

Скорость может равняться нулю. Ну вот пример. Начальные данные - точка уже на сфере. Начальная скорость равна 0. Правая часть - что-то типа $t^k \sin (\ln t)$. Локальное решение может осциллировать возле границы сферы. А надо чтобы было внутри сферы. В этом случае склеить решение из кусочков не получается. Произвольная правая часть может сотворить это в любой момент времени.

-- Пт дек 26, 2014 22:05:24 --

Кроме того, я уже однажды говорил. Есть неединственность и гладких решений. Там ударов нет вовсе. Частица подходит к стенке и отходит от нее с нулевой скоростью. Коль скоро есть два гладких решения, то их нельзя построить детерминированной процедурой путем склейки кусочков.

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #952701 писал(а):

в системах, которые интересны большинству людей "попрыгунчиков" нет, причем этот факт там бывает тривиален и в отдельном изучении не нуждается.

Тогда сформулируйте условия, которые бы не отсекали то, что интересно большинству людей, но отсекали бы попрыгунчиков. И между прочим, "большинству людей" вообще математика неинтересна.

И в биллиардах есть различные проблематики.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #952703 писал(а):

Правая часть - что-то типа $t^k \sin (\ln t)$

На множестве более-мене нормальных функций результат тривиален, а для того чтобы писать нетривальное доказательство для правых частей типа того, что Вы привели, нужна серьезная мотивация.

-- Пт дек 26, 2014 19:19:43 --

sup в сообщении #952703 писал(а):

Есть неединственность и гладких решений. Там ударов нет вовсе. Частица подходит к стенке и отходит от нее с нулевой скоростью. Коль скоро есть два гладких решения, то их нельзя построить детерминированной процедурой путем склейки кусочков.

Да, Вам только осталось объяснить откуда берутся такие силы.

-- Пт дек 26, 2014 19:26:53 --

Red_Herring в сообщении #952707 писал(а):

И между прочим, "большинству людей" вообще математика неинтересна.

не надо доводить мои слова до абсурда, Вы прекрасно понимаете о чем речь

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #952709 писал(а):

не надо доводить мои слова до абсурда, Вы прекрасно понимаете о чем речь

Я понимаю так, что под "большинством людей" Вы понимаете тех нескольких математиков, которым интересна эта тематика и с которыми Вы знакомы.

[sup]

Мда, аргумент из серии "а какие они еще по-вашему". Отвечу Вашими же словами. Не имею ни малейшего представления. Сколько видел теорем о разрешимости дифференциальных уравнений, ни разу не видел условия:
идиотские правые части не предлагать.
Допускаю, что в тех задачах, которые Вас интересуют, такие правые части не могут возникнуть. Например у Вас $f \equiv 0$. Но это же не значит, что надо на них наплевать и забыть об их существовании. Кроме того, а как узнать, хорошая правая часть или нет? Ну да, видимо кусочно-монотонные, с конечным количеством участков монотонности. Но ведь задача то модельная. Для нее все это прокатит. А для более сложных уравнений, которые Вы же и придумаете, может для них все будет не так очевидно?
Мотивация очень простая. Вот есть теорема Пеано. Она без лишних разговоров доказывает существование решения довольно общего дифференциального уравнения. Можем мы доказать похожую теорему для волнового уравнения
с ограничением на норму или нет?
Кому это надо? В смысле, принесет ли она пользу народному хозяйству? Насчет урожая помидоров - сомневаюсь. А вот то, что от этого вырастут наши знания об этих задачах - ни малейшего сомнения.

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #952727 писал(а):

Я понимаю так, что под "большинством людей" Вы понимаете тех нескольких математиков, которым интересна эта тематика и с которыми Вы знакомы.

смешно, да. я на каждую Вашу ссылку про "попрыгунчики" приведу 5 ссылок на статьи про бильярды, где этот вопрос не обсуждается. (уверен, что смогу и 10 , лень просто)

sup в сообщении #952732 писал(а):

Сколько видел теорем о разрешимости дифференциальных уравнений, ни разу не видел условия:
идиотские правые части не предлагать.

а почти все теоремы, которые я видел, формулируются именно так.

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #952744 писал(а):

Или не ссылайтесь на физику вообще.

Да я, вроде, и не ссылался ... Я же говорил, что меня интересует переход к пределу в квадратичной нелинейности, когда нет сильной сходимости. А то что задача похожа на задачу из физики. Ну да. Да вы вроде и не отрицали этого.

Oleg Zubelevich в сообщении #952744 писал(а):

а почти все теоремы, которые я видел, формулируются именно так.

Вы непоследовательны. Не очень давно Вы предлагали рассмотреть существование периодического решения для бесконечной системы дифф. уравнений. Как мне представляется, там никак не исключены те самые "идиотские" правые части. Видимо, в тот момент Вас это никак не смущало. Да оно и понятно. Чего там такого особенного. Почему же сейчас Вам не нравится аналогичная постановка. Ну давайте перепишем ее в терминах гармоник. Точно так же возникнет бесконечная система ОДУ. Вы же и спрашивали, есть ли какие задачи для систем. Ну вот вам такая задача. Кстати, для нее можно и периодическое решение искать, только надо еще $u_t$ добавить. Без этого слагаемого там неважно дела обстоят.

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #952744 писал(а):

смешно, да. я на каждую Вашу ссылку про "попрыгунчики" приведу

Ну посмейтесь. Только вот рассмотрим книгу Корнфельда, Синая и Фомина "Эргодическая теория". В ней вопрос о таких биллиардах действительно не обсуждается, но доказывается, что биллиардный поток определен на множестве полной меры. К чему бы это? Почему не везде? А вот чтобы отмести попрыгунчиков.

Или вот в статьях по распространении особенностей для волнового уравнения биллиардный поток определяется везде, но он многозначен. Т.е. эти самые попрыгунчики неявно присутствуют в очень многих работах.

Но даже отбросим всякую экзотику. Рассмотрим сильно выпуклую область, тот же шар. Да, там таких биллиардов нет, но есть биллиарды живущие очень близко от границы, и Ваше доказательство надо дорабатывать достаточно аккуратно чтобы получить результаты равномерные по всем биллиардам. Кстати, в пределе такие биллиарды дают что? — Ах, геодезическую границы. Про "шепчущую галерею" слышали?

Oleg Zubelevich в сообщении #952744 писал(а):

а почти все теоремы, которые я видел, формулируются именно так.

Shakespeare (Hamlet) писал(а):

There are more things in heaven and earth, Horatio,
Than are dreamt of in your philosophy.

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #952754 писал(а):

Только вот рассмотрим книгу Корнфельда, Синая и Фомина "Эргодическая теория". В ней вопрос о таких биллиардах действительно не обсуждается, но доказывается, что биллиардный поток определен на множестве полной меры. К чему бы это? Почему не везде? А вот чтобы отмести попрыгунчиков.

Ну хорошо, вот Вы и ответили на свой вопрос:

Red_Herring в сообщении #952707 писал(а):

Тогда сформулируйте условия, которые бы не отсекали то, что интересно большинству людей, но отсекали бы попрыгунчиков.

Я предлагаю закончить пикировки и заняться делом. В задаче о струне нужно придумать ограничения, которые одновременно были бы интерпретируемы физически и давали бы хорошую геометрию в конфигурационном пространстве. Хорошую в том смысле, что "угол падения равен углу отражения" и задача была бы корректной. Может быть для этого задачу о струне надо заменить другой физически осмысленной гиперболической задачей. Стучание струной по потолку в том виде, что тут предлагался ни к чему хорошему не приведет