Релятивистский КУРВИМЕТР

[DESIGNER]

Всем добрый день!
Прошу участников форума высказаться по описанной ниже проблеме.

Известно устройство для измерения расстояний под названием курвиметр. Курвиметр состоит из зубчатого ролика и счётчика пройденного количества зубцов. Для измерения длины кривой по ней прокатывают роликом курвиметра [1]. Курвиметр можно использовать двумя способами, - перемещая его вдоль неподвижного измеряемого отрезка, или перемещая измеряемый отрезок по колесу неподвижного курвиметра. Очевидно, что его показания не могут зависеть от того каким из этих двух способов измерять длину отрезка, или, строго говоря, в какой системе отсчета мы производим измерения – в системе отсчета, где неподвижна ось колеса курвиметра, а измеряемый отрезок движется, касаясь колеса курвиметра; или в системе отсчета, где неподвижен измеряемый отрезок, а колесо курвиметра катится по нему. Это не требует доказательства, так как результат (количество зубцов колеса курвиметра) одного и того же физического эксперимента не может зависеть от выбора инерциальной системы отсчета, в которой этот эксперимент рассматривается. Проверим это для случая релятивистских скоростей.

Измерение длины быстро движущегося отрезка
Чтобы избежать необходимости учета упругих деформаций в колесе курвиметра при его вращении (парадокс Эренфеста [4 с.38]), немного модифицируем колесо. Пусть колесо представляет собой набор из $N$ тонких жестких одинаковых стержней, лежащих в одной плоскости, и одним концом жестко закреплённых в точке $O$, являющейся центром колеса (фрагмент такого колеса изображен на рис. 1). Стержни распределены равномерно по кругу. То есть, колесо представляет собой набор спиц, делящих круг на равные сегменты, но без обода (внешние концы спиц никуда не прикреплены).
По определению, собственной длиной отрезка называется его длина в той системе отсчета, в которой он покоится [3 с.27]. Пусть собственная длина $L_0$ измеряемого отрезка $CD$ равна собственной длине окружности, на которой лежат незакрепленные, внешние концы спиц колеса. Тогда, приняв $N$ сколь угодно большим, собственная длина $dL$ отрезка $AB$, соединяющего внешние концы двух соседних спиц, равна:
$dL = L_0/N$

Рис. 1. Колесо курвиметра катится по неподвижному отрезку прямой.

Найдем, что покажет такой курвиметр в системе отсчета, где отрезок $CD$ неподвижен, а колесо катится по нему без проскальзывания с некоторой скоростью $V$ (рис. 1). На любом участке движения колеса длина отрезка $AB$, который соединяет внешние концы соседних спиц, соприкасающихся с измеряемым отрезком $CD$, равна его собственной длине $dL$, т.к. отрезок $AB$ неподвижен. Следовательно, чтобы пройти от начала до конца отрезка $CD$, последовательно отмеряя спицами интервалы $dL$, – колесу курвиметра потребуется $N = L_0/dL$ своих сегментов. Таким образом, в системе отсчета, где отрезок $CD$ неподвижен, наш курвиметр зафиксирует длину отрезка $CD$, равную $N$ сегментам колеса.
Перейдем в систему отсчета, связанную с центром вращения колеса курвиметра. В этой системе отсчета колесо равномерно вращается вокруг неподвижной точки $O$, а отрезок $CD$ движется со скоростью $V$ (рис. 2).

Рис. 2. Колесо курвиметра касается движущегося отрезка прямой.

В этой системе отсчета длина спиц колеса не подвержена Лоренцеву сокращению [2 с.74; 3 с.27; 4 с.38], поэтому длина окружности, на которой лежат незакрепленные, внешние концы спиц колеса, равна $L_0$. В силу симметрии колеса, длина $dL$ отрезка $AB$, соединяющего внешние концы двух соседних спиц, равна собственной длине отрезка $AB$:
$dL = L_0/N$
Отрезок $CD$ в этой системе отсчета в результате Лоренцева сокращения имеет меньшую длину [2 с.18, 74; 3 с.27]:
$L = L_0/\gamma$
где $\gamma$ > 1 – Лоренц-фактор.
Чтобы пройти от начала до конца отрезка $CD$, последовательно отмеряя спицами интервалы $dL$, – колесу курвиметра потребуется $n = L/dL$ своих сегментов. Подставив в это уравнение выражения для $L$ и $dL$, получим:
$n = N/\gamma < N$
Таким образом, в системе отсчета, где неподвижен центр колеса, наш курвиметр зафиксирует длину отрезка $CD$, равную $n < N$, т.е. отличную от зафиксированной в системе отсчета, где неподвижен отрезок $CD$, что является логическим противоречием.

Список литературы
1. Большая советская энциклопедия. – М.: Советская энциклопедия. 1969 –1978
2. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. В 4 т. Т.I. Работы по теории относительности 1905-1920; под редакцией И.Е. Тамма, Я.А. Смородинского, Б.Г. Кузнецова. – М.: НАУКА, 1965
3. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т.II. Теория поля. – 7-е изд., испр. – М.: НАУКА, 1988
4. Эренфест П. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ КВАНТЫ СТАТИСТИКА. Сборник статей. – М.: НАУКА, 1972

[aa_dav]

Это модификация парадокса транспортёра, с теми же следствиями. Он один из мало обсуждаемых, поэтому не могу сразу найти ссылку.
В целом решение опять таки опирается на тупо преобразования Лоренца, которое кроме каких то частных сокращений длин в основании имеет более комплексные преобразования, если их не учитывать и возникают всякие парадоксы. Более того, сокращения длин и замедления времени - это эффекты второго порядка, с помощью одних только них невозможно вообще правильно решить мало мальски сложный случай.

Здесь вот что происходит. Относительность одновременности гласит, что когда в нижней ИСО точки А и В соприкоснулись с отрезком одновременно в верхней ИСО сперва отрезка касается точка А, и позже через некоторое время точка В, но так как в моменты касаний они лежат на вертикальной линии проходящей через центр колеса, который движется, то и расстояние между ними в верхней ИСО получается большим. Тут я немного срезал в рассуждении предположив по сути что в нижней ИСО А и В вообще коснулись отрезка одновременно, но это для простоты понимания где роется собака, решается оно по этой линии рассуждений, или попросту применением ПЛ, что несколько многоэтажно рассматривать, мне лень.
Иными словами несмотря на то, что в нижней ИСО отрезки между А и В являются такими же как если бы колесо вообще не вращалось, допустим L0, эта L0 не является собственной длиной отрезка АВ, в ИСО отрезка АВ длина его больше L0 (см. парадокс Белла). Поэтому шаги в верхней ИСО будут отчетливо больше по размеру, чем в нижней.
Парадокс транспортёра вообще интересная штука, в нём еще видно что в верхней ИСО количество спиц одновременно находящихся сверху колеса будет больше, чем количество спиц снизу колеса, и расстояния между концами спиц сверху меньше, чем расстояния между концами спиц снизу.

[rustot]

ИСО, в которой неподвижен центр вращения

кончик спицы длиной $r$ двигается по окружности с угловой скоростью $w$

$x = r \sin(w t)$
$y = r (1 - \cos(w t))$

и по координатам 0,0 периодически касается карты, имея в этот момент ту же скорость что и поверхность карты. значит карта движется со скоростью $v = w r$ и шаг между точками, отмечаемыми кончиком этой спицы на карте составляет в этой исо $l = v T = v \frac{2\pi}{w} = 2\pi r$

ИСО, в которой неподвижна карта

преобразуем уравнение движения кончика спицы в исо, двигающуюся со скоростью $v = w r$ относительно первой

$(\gamma x' + \gamma v t') = r\sin(w (\gamma t' + \gamma \frac{v x'}{c^2}))$
$y' = r(1 - \cos(w (\gamma t' + \gamma \frac{v x'}{c^2})))$

$x' - x_0' = \frac{r}{\gamma} \sin (\frac{w}{\gamma} t' + k(x' - x_0'))$ (где $x_0' = -v t'$ координата центра вращения)
$y' = r(1 - \cos(\frac{w}{\gamma} t' + k(x' - x_0')))$
$k = \frac{\gamma w^2 r}{c^2}$

плавающая фаза $k(x'-x_0')$, задающая неравномерность движения кончика спицы по двигающемуся эллипсу, нам в данном случае не мешает, поскольку в интересующие нас моменты $y'=0$ она как раз равна нулю. таким образом кончик спицы касается карты с периодом $T = \frac{2\pi}{w/\gamma} = \gamma 2 \pi r / v$ и его координата $x'$ в этот момент равна координате центра $x_0' = - v t'$. таким образом кончик спицы делает отметины с шагом $\gamma 2 \pi r$

вы можете самостоятельно повторить это для остальных спиц, добавляя для каждой из них фазу $2\pi/N$ под синусом и косинусом, где $N$ - количество спиц. после этого, взяв разность одномоментных координат кончиков спиц, вы разберетесь в чем именно ошиблись оперируя вместо координат напрямую всякими окольными "сокращениями", которые вообще то именно из координат и выводятся. угловая скорость кончиков спиц в нижней половине эллипса будет больше чем в верхней, то есть в верхней части они будут погуще, а в нижней пореже

[rustot]

можно разобрать и обратный случай. курвиметр изначально изготовлен такой хитрой конструкции, чтобы именно при поступательном движении центра концы спиц двигались бы вокруг двигающегося центра равномерно по окружности

$x = v t - r \sin(w t)$
$y = r(1-\cos(w t))$
$v = w r$

тогда можно вычислить что будет с концами спиц в исо, где центр покоится

$\gamma x' + \gamma v t' = v (\gamma t' + \gamma \frac{v x'}{c^2}) - r\sin(w (\gamma t' + \gamma \frac{v x'}{c^2}))$
$y' = r(1 - \cos(w (\gamma t' + \gamma \frac{v x'}{c^2})))$

$x' = -\gamma r \sin(\gamma w t' + k x')$
$y' = r(1-\cos(\gamma w t' + k x'))$
$k = \frac{\gamma w^2 r}{c^2}$

в первой исо шаг $2\pi r$, во второй $2\pi r / \gamma$

[DESIGNER]

rustot в сообщении #951485 писал(а):

таким образом кончик спицы делает отметины с шагом $\gamma 2 \pi r$

Все, что вы написали - верно (с точки зрения теории относительности). Но при этом, в системе отсчета, где неподвижен измеряемый отрезок, получается, что собственная длина окружности больше $2\pi r$, т.к. суммирование собственных длин всех сегментов этой окружности дает значение $\gamma 2\pi r > L_0$, а по условию собственная длина окружности должна быть $L_0$.
В системе отсчета измеряемого отрезка никто не запрещает уменьшаться длине сегментов верхней части колеса, т.к. они движутся, но сегмент, соприкасающийся с измеряемым отрезком, - неподвижен, у него нет причин увеличивать свою длину, которая уже итак максимальна (равна собственной длине).

Представленный вами расчет соответствует случаю, когда курвиметр представляет собой не набор спиц, а сплошной диск (с нанесенными на обод метками). В этом случае, в системе отсчета, связанной с центром колеса, все сегменты обода диска растянуты (деформированы). Именно это объясняет тот факт, что и в системе отсчета измеряемого отрезка - длина сегмента, соприкасающегося с ним, больше собственной длины. Если же колесо представляет собой набор спиц, то причин увеличивать длину (относительно своей собственной длины) у сегмента, соприкасающегося с измеряемым отрезком, - нет. Его ничто не растягивает.
Можете назвать физическую причину удлинения отрезка, когда на него не действуют никакие силы?

[rustot]

DESIGNER в сообщении #951934 писал(а):

что собственная длина окружности больше $2\pi r$

нет, в этой системе отсчета периметр эллипса на котором мгновенно располагаются все кончики спиц МЕНЬШЕ чем $2\pi r$. но кончики спиц двигаются по нему неравномерно, с переменной угловой скоростью, внизу с большим шагом вверху с малым, поэтому если самый большой шаг между ними умножить на их количество, то получается $\gamma 2 \pi r > 2 \pi r$, но это произведение не является длиной периметра.

DESIGNER в сообщении #951934 писал(а):

Представленный вами расчет соответствует случаю, когда курвиметр представляет собой не набор спиц,

как так? я именно для кончиков спиц сделал рассчет, для их конечного количества. для диска пришлось бы переходить к бесконечному их количеству и пределам и всяким деформациям и напряжениям, но вы облегчили мне задачу, сделав ее более наглядной без лишних сущностей

DESIGNER в сообщении #951934 писал(а):

Если же колесо представляет собой набор спиц, то причин увеличивать длину (относительно своей собственной длины) у сегмента, соприкасающегося с измеряемым отрезком, - нет.

вот поэтому и не надо решать задачи в сто путем "наложения эффектов" и не размышлять есть тут причины наложить эффект или нет причин. считайте в лоб, преобразуйте уравнения движения интересующих вас точек из исо в исо, а "эффекты наложатся" автоматически. преобразуйте уравнения движения двух не связанных друг с другом мух и тогда выясните "есть причины" к изменению расстояния между ними в новой исо или их нет

DESIGNER в сообщении #951934 писал(а):

Можете назвать физическую причину удлинения отрезка, когда на него не действуют никакие силы?

движение материальных точек, берущихся в качестве его краев, с разной скоростью. вполне физическая причина. скорость одинакова - разность координат $\int (\vec{v_1}-\vec{v_2}) dt$ не меняется, иначе меняется. преобразовав скорости двух независимых точек в другую исо вы обнаруживаете что они разные

[xinef]

Я думаю, что система со спицами - эквивалентна диску, потому, что расстояние между спицами жестко определено их связью на оси- это не независимое движение двух тел.

[Someone]

DESIGNER в сообщении #951934 писал(а):

Все, что вы написали - верно (с точки зрения теории относительности). Но при этом, в системе отсчета, где неподвижен измеряемый отрезок, получается, что собственная длина окружности больше $2\pi r$

Так и есть: собственная длина вращающейся окружности больше $2\pi r$.

Вы неправильно рассуждаете.
В той ИСО, где измеряемый отрезок покоится, посмотрите на кусочек окружности вблизи точки касания. Этот кусочек тоже покоится (не считая очень медленного движения в направлении, перпендикулярном отрезку), поэтому имеет естественную длину. Как и измеряемый отрезок. Если окружность была в состоянии покоя размечена на миллиметровые деления, и так же был размечен измеряемый отрезок, то деления на отрезке и на окружности будут соответствовать друг другу.
Теперь посмотрим на то же самое в системе отсчёта, где покоится центр катящегося колеса. В этой системе отсчёта измеряемый отрезок и касающийся его кусочек окружности движутся с одинаковой скоростью, равной скорости центра колеса (естественно, с противоположным знаком). Поэтому они сокращаются в равной мере, и опять деления на отрезке и на окружности будут соответствовать друг другу.
Поэтому результат измерения не будет зависеть от того, в какой системе отсчёта мы будем на него смотреть.

[rustot]

xinef в сообщении #951937 писал(а):

Я думаю, что система со спицами - эквивалентна диску, потому, что расстояние между спицами жестко определено их связью на оси- это не независимое движение двух тел.

если заменить кончики спиц на автономных самодвижущихся роботов, следующих запрограммированной траектории независимо друг от друга, ничего не изменится

[12d3]

Немного не в тему. А будут ли спицы прямыми в исо, где курвиметр вращается? Как это можно было бы посчитать?

[rustot]

12d3 в сообщении #951941 писал(а):

Немного не в тему. А будут ли спицы прямыми в исо, где курвиметр вращается? Как это можно было бы посчитать?

подставить в формулы выше другую точку на спице, $r/2$ например. нет, не будут прямыми

[xinef]

rustot в сообщении #951939 писал(а):

xinef в сообщении #951937 писал(а):

Я думаю, что система со спицами - эквивалентна диску, потому, что расстояние между спицами жестко определено их связью на оси- это не независимое движение двух тел.

если заменить кончики спиц на автономных самодвижущихся роботов, следующих запрограммированной траектории независимо друг от друга, ничего не изменится

А разве между роботами расстояние не будет возрастать при движении?
А что изменится, если заменить их на диск с насечками?

[rustot]

xinef в сообщении #951943 писал(а):

А разве между роботами расстояние не будет возрастать при движении?
А что изменится, если заменить их на диск с насечками?

если их запрограммировали ездить по той же траектории что и кончики спиц, с чего между ними будет другое расстояние чем между кончиками спиц? если роботов запустить, а спицы не убирать, они же всегда будут каждый около своего кончика спицы находиться, как может при этом расстояние между ними стать другим чем расстояние между соседними с ними кончиками спиц в другой исо? при переходе в другую исо не могут касающиеся друг друга точки робота и спицы вдруг оказаться на расстоянии друг от друга

xinef в сообщении #951943 писал(а):

А что изменится, если заменить их на диск с насечками?

ничего не изменится

[12d3]

Я про ИСО, где центр курвиметра неподвижен. Исо, где центр движется, трогать не буду.

[xinef]

rustot в сообщении #951944 писал(а):

xinef в сообщении #951943 писал(а):

А разве между роботами расстояние не будет возрастать при движении?
А что изменится, если заменить их на диск с насечками?

если их запрограммировали ездить по той же траектории что и кончики спиц, с чего между ними будет другое расстояние чем между кончиками спиц? если роботов запустить, а спицы не убирать, они же всегда будут каждый около своего кончика спицы находиться, как может при этом расстояние между ними стать другим чем расстояние между соседними с ними кончиками спиц в другой исо? при переходе в другую исо не могут касающиеся друг друга точки вдруг оказаться на расстоянии друг от друга

Тогда объясните мне, как могут точки, находящиеся на концах движущегося стержня сблизиться, а расстояние между движущимися вслед друг за другом шарами - увеличиться?